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文档简介
天津市天津一中2025届高二数学第一学期期末达标检测试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的图象如图所示,则下列大小关系正确的是()A.B.C.D.2.在各项均为正数等比数列中,若成等差数列,则=()A. B.C. D.3.设,,,则下列不等式中一定成立的是()A. B.C. D.4.已知的周长等于10,,通过建立适当的平面直角坐标系,顶点的轨迹方程可以是()A. B.C. D.5.已知数列的通项公式为,是数列的最小项,则实数的取值范围是()A. B.C. D.6.过点,且斜率为2的直线方程是A. B.C. D.7.在一次体检中,发现甲、乙两个单位的职工中体重超过的人员的体重如下(单位:).若规定超过为显著超重,从甲、乙两个单位中体重超过的职工中各抽取1人,则这2人中,恰好有1人显著超重的概率为()A. B.C. D.8.已知直线,两个不同的平面,下列命题正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则9.已知数列的前n项和为,,,则=()A. B.C. D.10.若正实数、满足,且不等式有解,则实数取值范围是()A.或 B.或C. D.11.已知抛物线的焦点为F,点P为该抛物线上的动点,若,则当最大时,()A. B.1C. D.212.已知向量与向量垂直,则实数x的值为()A.﹣1 B.1C.﹣6 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.半径为的球的表面积为_______14.已知点,,,则外接圆的圆心坐标为________15.数列的前项和为,则_________________.16.若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件,则m最大值为________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:()的左、右焦点分别为,焦距为,过点作直线交椭圆于两点,的周长为.(1)求椭圆的方程;(2)若斜率为的直线与椭圆相交于两点,求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.18.(12分)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,求m的取值范围19.(12分)已知中,内角的对边分别为,且满足.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.20.(12分)已知如图①,在菱形ABCD中,且,为AD的中点,将沿BE折起使,得到如图②所示的四棱锥,在四棱锥中,求解下列问题:(1)求证:BC平面ABE;(2)若P为AC中点,求二面角的余弦值.21.(12分)已知抛物线的焦点为,点在第一象限且为抛物线上一点,点在点右侧,且△恰为等边三角形(1)求抛物线的方程;(2)若直线与交于两点,向量的夹角为(其中为坐标原点),求实数的取值范围.22.(10分)已知函数.(1)当时,求的极值;(2)当时,,求a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据导数的几何意义可得答案.【详解】因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率,所以由图可得,故选:C2、A【解析】利用等差中项的定义以及等比数列的通项公式即可求解.【详解】设等比数列的公比为,∵成等差数列,∴,即,解得或(舍去),∴,故选:.3、B【解析】利用特殊值法可判断ACD的正误,根据不等式的性质,可判断B的正误.【详解】对于A中,令,,,,满足,,但,故A错误;对于B中,因为,所以由不等式的可加性,可得,所以,故B正确;对于C中,令,,,,满足,,但,故C错误;对于D中,令,,,,满足,,但,故D错误故选:B4、A【解析】根据椭圆的定义进行求解即可.【详解】因为的周长等于10,,所以,因此点的轨迹是以为焦点的椭圆,且不在直线上,因此有,所以顶点的轨迹方程可以是,故选:A5、D【解析】利用最值的含义转化为不等式恒成立问题解决即可【详解】解:由题意可得,整理得,当时,不等式化简为恒成立,所以,当时,不等式化简为恒成立,所以,综上,,所以实数的取值范围是,故选:D6、A【解析】由直线点斜式计算出直线方程.【详解】因为直线过点,且斜率为2,所以该直线方程为,即.故选【点睛】本题考查了求直线方程,由题意已知点坐标和斜率,故选用点斜式即可求出答案,较为简单.7、B【解析】列举出所有选取的情况,再找出满足题意的情况,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】不妨用表示每种抽取情况,其中是指甲单位抽取1人的体重,代表从乙单位抽取人的体重.则所有的可能有16种,如下所示:,,,,,,,,,,,,,,,其中满足题意的有6种:,,,,,故抽取的这2人中,恰好有1人显著超重的概率为:.故选:.8、A【解析】根据线面、面面位置关系有关知识对选项逐一分析,由此确定正确选项.【详解】对于A选项,根据面面垂直的判定定理可知,A选项正确,对于B选项,当,时,和可能相交,B选项错误,对于C选项,当,时,可能含于,C选项错误,对于D选项,当,时,可能含于,D选项错误.故选:A9、D【解析】利用公式计算得到,得到答案【详解】由已知得,即,而,所以故选:D10、A【解析】将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,可得出关于实数的不等式,解之即可.【详解】因为正实数、满足,则,即,所以,,当且仅当时,即当时,等号成立,即的最小值为,因为不等式有解,则,即,即,解得或.故选:A.II卷11、B【解析】根据抛物线的定义,结合换元法、配方法进行求解即可.【详解】因为点P为该抛物线上的动点,所以点P的坐标设为,抛物线的焦点为F,所以,抛物线的准线方程为:,因此,令,,当时,即当时,有最大值,最大值为1,此时.故选:B12、B【解析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值【详解】解:向量,与向量垂直,则,由数量积的坐标公式可得:,解得,故选:【点睛】本题考查空间向量的坐标运算,以及数量积的坐标公式,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】由球的表面积公式计算【详解】由题意.故答案为:14、【解析】求得的垂直平分线的方程,在求得垂直平分线的交点,则问题得解.【详解】线段中点坐标为,线段斜率为,所以线段垂直平分线的斜率为,故线段的垂直平分线方程为,即.线段中点坐标为,线段斜率为,所以线段垂直平分线的斜率为,故线段的垂直平分线方程为,即.由.所以外接圆的圆心坐标为.故答案为:.【点睛】本题考查直线方程的求解,直线交点坐标的求解,属综合基础题.15、【解析】利用计算可得出数列的通项公式.【详解】当时,;而不适合上式,.故答案:.16、【解析】解不等式,得到或,,根据必要不充分条件,得到是A的真子集,从而求出,得到m的最大值.【详解】,解得:或,所以记或,;若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件,则是A的真子集故,所以m最大值为故答案为:-2三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】(1)根据题意可得,,再由,即可求解.(2)设直线的方程为,将直线与椭圆方程联立求得关于的方程,利用弦长公式求出,再利用点到直线的距离求出点到直线的距离,利用三角形的面积公式配方即可求解.【详解】解(1)由题意得:,,∴,∴∴椭圆的方程为(2)∵直线的斜率为,∴可设直线的方程为与椭圆的方程联立可得:①设两点的坐标为,由韦达定理得:,∴点到直线的距离,∴由①知:,,令,则,∴令,则在上的最大值为∴的最大值为综上所述:三角形面积的最大值2.【点睛】本题考查了根据求椭圆的标准方程,考查了直线与椭圆额位置关系中三角形面积问题,考查了学生的计算能力,属于中档题.18、.【解析】由x2﹣8x﹣20≤0,解得﹣2≤x≤10.根据非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}.又x∈P是x∈S的必要条件,可得,1﹣m≤1+m,解得m范围【详解】由x2﹣8x﹣20≤0,解得﹣2≤x≤10.∴P=[﹣2,10]非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}.又x∈P是x∈S的必要条件,∴,1﹣m≤1+m,解得0≤m≤3∴m的取值范围是[0,3]【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题19、(1)2;(2).【解析】(1)利用正弦定理以及逆用两角和的正弦公式得出,而,即可求出的值;(2)根据题意,由余弦定理得,再根据基本不等式求得,当且仅当时取得等号,即可求出面积的最大值.【小问1详解】解:由题意得,由正弦定理得:,即,即,因为,所以【小问2详解】解:由余弦定理,即,由基本不等式得:,即,当且仅当时取得等号,,所以面积的最大值为20、(1)证明见解析;(2)【解析】(1)利用题中所给的条件证明,,因为,所以,,即可证明平面;(2)先证明平面,以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,平面的一个法向量,利用向量的夹角公式即可求解【详解】(1)在图①中,连接,如图所示:因为四边形为菱形,,所以是等边三角形.因为为的中点,所以,.又,所以.在图②中,,所以,即.因为,所以,.又,,平面.所以平面.(2)由(1)知,,因为,,平面.所以平面.以为坐标原点,,,的方向分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系:则,,,,.因为为的中点,所以.所以,.设平面的一个法向量为,由得.令,得,,所以.设平面的一个法向量为.因为,由得令,,,得则,由图象可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.21、(1)(2)【解析】(1)根据△恰为等边三角形由题意知:得到,再利用抛物线的定义求解;(2)联立,结合韦达定理,根据的夹角为,由求解.【小问1详解】解:由题意知:,由抛物线的定义知:,由,解得,所以抛物线方程为;【小问2详解】设,由,得,则,,则,,因为向量的夹角为,所以,,则,且,所以,解得,所以实数的取值范围.22、(1)极大值,没有极小值(2)【解析】(1)把代入,然后对函数求导,结合导数可求函数单调区间,即可得解;(2)构造函数,将不等式的恒成立转化为函数的最值问题,结合导数与单调性及函数的性质对进行分类讨论,其中当和时易判断函数的单调性以及最小值,而当时,的最小值与0进一步判断【小问1详解】当时,的
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