2024年中考数学真题重组卷及答案（广东省卷专用）

2024年中考数学真题重组卷01（广东省卷专用）（考试时间：试卷满分：120分）姓名：__________________班级：______________得分：_________________一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）12023·四川甘孜·统考中考真题）下列各数中，最小的是()12A．−2B．0C．D222023·广东·统考中考真题）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．3（2023·江苏·统考中考真题）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约据4900用科学记数法表示为（A．0.49×1042023·青海西宁·统考中考真题）下列说法正确的是（）4B．4.9×104C．4.9×103D．49×102）A．检测神州十六号载人飞船零件的质量，应采用抽样调查B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件C．数据，，576D．甲、乙两组数据的方差分别是s2=，s=2，则乙组数据比甲组数据稳定乙2甲52023·四川攀枝花统考中考真题）以下因式分解正确的是（）(−)．(+)2−a=ax2m3+m=mm2A．C．axBx2+2x−3=x(x+2)−3D．x2+2x−3=(x−3)(x+)6（2023·海南·m∥nABC是直角三角形，B90C在直线n1=50°，则∠2的度数是（）A60°B．C．D40°7（2023·湖北黄石·ABCDABCDAD与BC重合，得到折痕EFA落在EFB﹐同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE=1，则MN=（）3233A．B．1C．D．228（2023·山东淄博ABC是O的内接三角形，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC边上一点，连接AD并延长交O于点E．若AD=2，DE=3，则O的半径为（）3A．10B．10C．210D．310292023·四川攀枝花统考中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为，点P是对角线BD上的一点，PCPF⊥AD于点F，⊥于点E，连接，当PE:PF=1:2时，则（）5A．B．210辽宁丹东·统考中考真题）抛物线于点C点Dx=1C．5D．32y=ax+bx+ca≠02()与x轴的一个交点为A(−0)，与y−4abc>0；；()()=ax2bxa+(≠)<+<−2y<y12Ex,yFx,yy0xx2x12②，是抛物线112213−,0xPPC+PDPx③在轴上有一动点的值最小时，则点的坐标为；④若关于的方程7ax2+b(x−2)+c=−4(a≠0)无实数根，则b的取值范围是b<1．其中正确的结论有（）A1个B．2个C．3个D4个二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）x−12023·江苏统考中考真题）方程=1的解是．2x+1nn12海南·统考中考真题）设为正整数，若n<2<n+1，则的值为．11−4x−2=0的两根分别为m、，则n+=13四川攀枝花·统考中考真题）x2．mn14（2023·江苏盐城·1．15（2023·浙江衢州·AB在xOA，ABx轴上方作正方形k=(>)k0的图象分别交边CD，于点P，Q．作PMx轴于点M，⊥OACD，．反比例函数yxQN⊥yOA=2AB轴于点．若NQ为的中点，且阴影部分面积等于，则的值为6k．3小题，第题10分，第1718小题各7分，共分）16江苏·1）计算：−2++03)−9；2x13x1,x−1+>(−)（2）解不等式组：x+<1.32−−1x1131−÷，其中x=3．+(−)017辽宁丹东·统考中考真题）先化简，再求值：x22−2x+1x−1x−118海南·统考中考真题）某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：调查问题在下列课外活动中，你最喜欢的是（A．文学；．科技；．艺术；D．体育填完后，请将问卷交给教务处．根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：(1)本次调查采用的调查方式为（填写“普查或“抽样调查”n(2)在这次调查中，抽取的学生一共有人；扇形统计图中的值为；(3)已知选择科技类课外活动的50名学生中有30名男生和50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是；(4)若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有人．3小题，每小题9分，共分）192023·湖北黄石该设备的生产成本为万元件．设第个生产周期设备的售价为万元件，售价与之间的函数解xz/zx0<x≤12z=20时，z=13．xx=16z=14x析式是，其中是正整数．当时，；当mx+n,12<x≤20(1)求m，的值；(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式①当12<x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大最大的利润是多少万元?nyy=5x+20．②当0<x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围．aamx相交于点．A(2,3)，B(n)20山东淄博·统考中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；=(2)将直线AB向下平移至CDC(0)D在AD，BDABD的面积；−y△m(3)请直接写出关于x的不等式+b>的解集．x21广东·统考中考真题）综合探究如图ABCD中(>)，BD相交于点OA关于BD的对称点为′′交BD于点E，连接CA．′(1)求证：′⊥′；(2)以点O为圆心，为半径作圆．①如图2，O与CD相切，求证：′=′；②如图3，O与CA相切，AD1，求的面积．′=O2小题，每小题分，共分）22（2023·辽宁丹东·ABC中，∠BAC=90°ABC=30°AB=6D是DEFG边形DEFGDEGEDG60DE2∠=°=可以绕α点D旋转，连接AG和CE，设直线AG和直线CE所夹的锐角为．(1)在菱形DEFGDE在线段AG与CE的数量α关系及的值；(2)当菱形DEFGD旋转到如图②所示的位置时，（）中的结论是否成立若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)设直线AG与直线CE的交点为P，在菱形DEFG绕点D旋转一周的过程中，当EF所在的直线经过点B时，请直接写出△APC的面积．23山东淄博·统考中考真题）如图，一条抛物线y=ax2+bx经过的三个顶点，其中O为坐标9(−)A3x=原点，点，点B在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为184(1)求该抛物线对应的函数表达式；(2)求点B的坐标；(3)设C为线段AB的中点，P为直线上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的AA1，P，C对应点为．问是否存在点P，使得以，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出1所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2024年中考数学真题重组卷01（广东省卷专用）（考试时间：试卷满分：120分）考点细目表题号1题型对应知识点单选题单选题单选题单选题单选题单选题单选题单选题单选题单选题填空题填空题填空题填空题填空题解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题解答题有理数比较大小轴对称图形识别科学记数法234统计的基础概念因式分解56平行线的性质和直角互余问题矩形和折叠问题78圆周角和相似三角形综合问题几何综合问题910121314151617181920212223二次函数图形与性质解分式方程无理数的估算问题一元二次方程根与系数的关系几何概率反比例函数和几何综合实数和不等式计算分式化简求值问题统计和概率问题销售问题一次函数和反比例函数问题几何大综合问题旋转和相似解直角三角形的交汇问题二次函数综合一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）12023·四川甘孜·统考中考真题）下列各数中，最小的是()12A．2B．0C．D2【答案】A【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．12【详解】解：正数大于零，零大于负数，得−2<0<<，故选：A．22023·广东·统考中考真题）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；由此问题可求解．AD选项找不到一条直线能使直线两旁部分能够完全重合；故选A．3（2023·江苏·统考中考真题）健康成年人的心脏每分钟流过的血液约4900用科学记数法表示为（A．0.49×10【答案】C【分析】将4900a×104B．4.9×104C．4.9×103D．49×102≤a<10，n为正整数．n的形式即可，其中1【详解】解：4900的小数点向左移动34.9，因此4900=4.9×10故选C．3，42023·青海西宁·统考中考真题）下列说法正确的是（）A．检测神州十六号载人飞船零件的质量，应采用抽样调查B．任意画一个三角形，其外角和是°是必然事件C．数据，，576s2甲=，s=2，则乙组数据比甲组数据稳定乙2D．甲、乙两组数据的方差分别是【答案】C【分析】根据普查和抽样调查、事件的分类、中位数、方差的意义分别进行判断即可【详解】解：A．检测神州十六号载人飞船零件的质量，应采用普查，故选项错误，不符合题意；B．任意画一个三角形，其外角和是°是不可能事件，故选项错误，不符合题意；C．数据，，57的中位数是，故选项准确，符合题意；s2甲=，s=2，则乙组数据比甲组数据更不稳定，故选项错误，不符乙2D．甲、乙两组数据的方差分别是合题意．故选：．52023·四川攀枝花统考中考真题）以下因式分解正确的是（）(−)(+)2−a=ax2m3+m=mm2A．C．axB．x2+2x−3=x(x+2)−3D．x2+2x−3=(x−3)(x+)【答案】B【分析】利用平方差公式，x2−1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x−3=(x3)(x．+−【详解】解：ax+；故B正确，符合题意．+2x−3=(x+3)(x−；故CD不正确，不符合题意．故选：．6（2023·海南·m∥nABC是直角三角形，B90C在直线n．1=50°，则∠2的度数是（2−a=a(x2−=a(x+x−；故A不正确，不符合题意．m3+m=(m2x2）A60°B．C．D40°【答案】D【分析】延长AB交直线nD，根据平行线的性质求出∠【详解】延长AB交直线nD，如图所示．ADC，再根据直角三角形的特征解答即可．∵m∥n，∴∠=∠=°．1在RtBCD中，2=°−=°．故选：D．72023·湖北黄石ABCDABCDAD与得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕﹐同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE=1，则=（）3233A．B．1C．D．22【答案】C【分析】根据折叠的性质，得出∠ABM=∠NBM，=，进而得到∠ABM在RtBEK中，由特殊锐角的三角函数可求即可．=∠MBN=∠NBC30，=°【详解】解：根据折叠的性质可知：∠ABM=∠NBM，=，AE=BE=1，∥，∴ANBN∵四边形ABCD是矩形，AD∥EF∥BC==2∴ABC90，∠=°，∴∠AEN=∠ABC=∠BEN=90°，BEBN12在Rt△BEN中，sinBNE∠==，∴∠BNE=30°，∴∠BNE=∠NBC=30°∴ABM∠=∠NBM30，=°MNBN在△中，tanNBM∠=，3∴=，23233∴MN=，故选：C．8（2023·山东淄博是O的内接三角形，=，∠BAC=120°，D是边上一点，连接AD并延长交O于点E．若AD=2，DE=3，则O的半径为（）3A．10B．C．210D．3102【答案】A【分析】连接,OC,CE,根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=30°,根据等边三角形的性质得到AC=OA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【详解】连接,OC,CE,∵ABAC,BAC120,=∠=°∴∠B=∠ACB=30°∴=°,∵=,∴AOC是等边三角形,∴AC=,∵∠AEC=∠ACB=30°，∠CAD=∠EAC,∴AEC,ACAE∴=，ADAC∴AC2=·AE,∵AD3,==∴AC=ADAE×=2×(+)=2310，∴OA=AC=10，即O的半径为10，故选:A.92023·四川攀枝花统考中考真题）如图，已知正方形ABCD的边长为，点P是对角线上的一点，PF⊥AD于点F，⊥于点E，连接，当PE:PF=1:2时，则（）52A．B．2C．5D．3【答案】CPE=AF∠PFD=90°=，可求，DF的长，由勾股定理可求AP的长，由“”可证△ABP≌△CBP，可得AP=PC=5．【详解】解：如图：连接AP，四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=3∠ADB=45°，，⊥，⊥，∠BAD90，=°∴四边形是矩形，∴=，∠PFD=90°，PFD是等腰直角三角形，∴=，PE:PF=1:2，∴AF:DF=1:2，∴AF=1，==PF，DF2∴AP=AF2+PF2=1+4=5，AB=BC，ABD∠=∠CBD45=°，=BPBP，∴，∴AP=PC=5，故选：C．y=ax+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点为2A(0)，与y10辽宁丹东·统考中考真题）抛物线于点CDx=−14>0；()()=ax2bxa+(≠)<+<−y<y12②Ex,y，Fx,y是抛物线y0上的两个点，若x1x2，且x1x22，则；③11223−,0xP+P；④若关于x的方程在轴上有一动点，当PCPD的值最小时，则点的坐标为7ax2+b(x−2)+c=−4(a≠0)无实数根，则b．其中正确的结论有（的取值范围是b<1）A1个B．2个C．3个D4个【答案】Aabc0yax2bxc向上平移个到位长度得到yax2+bx，>><=++c=1+x2则yax2+bx=的对称轴也为直线x=1x+x<−2()2<−1Ex,y离对称轴的距离大1112()2Cx′′xP于Fx,y离对称轴的距离，即可判断②；作点关于轴对称的对应点C，连接CD轴于点，2把A(−)得到bac==−aC3a，′()0代入y=ax2+bx+c0=9a−b+c把x=−1代入y=ax2+bxc得出+D−4a)CDy=7ax+a的函数解析式为2b−4<−4ay=ax2+bx+cy=b−4与直线求出b1，结合b0，即可判断④．<>【详解】解：由图可知，∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，∴abc0，>><∴abc<0，故①不正确，不符合题意；∵yax=2+bx+c向上平移c个到位长度得到y=ax2+bx，∴yax2+bx=的对称轴也为直线x=1，x+x<−2∵∴，121+x2<−1，2x<x∵，21()()2∴Ex,y离对称轴的距离大于Fx,y离对称轴的距离，112∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，∴1y2，故②不正确，不符合题意；>′′作点C关于x轴对称的对应点C，连接CDx轴于点P，把A(−0代入)得：bxc的对称轴为直线x=−1，y=ax2+bx+c0=9a−b+c，∵抛物线yax=2++b−=1，则b2a，=∴2a∴09a6ac，整理得：，c=−a=−+(−)′()∴C,a，则C3a，把x=−1代入y=ax2+bxc得：，+y=a−b+c=a−2a−a=−4a(−)∴D4a，′y=+n，设直线CD的函数解析式为′(D(−−4a))把C3a，代入得：a=nm=7a，解得：，−4a=−m+nn=a′y=7ax+a∴直线CD的函数解析式为，把y=0代入得：0=7ax+a，3解得：x=−，73∴P−,0，故③正确，符合题意；7ax2+b(x−2)+c=−4(a≠0)整理为ax2bx++c=2b−4，方程(−−)D4a，∵由图可知，当2b−4<−4a时，抛物线y=ax2+bx+cy=b−4与直线没有交点，则原方程无实数根，∵b=a，∴2b−4<−2b，解得：b1，<∵b>0，∴b的取值范围为0b1，故④不正确，不符合题意；综上：正确的有③，共1个，故选：A．<<二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）x−12023·江苏统考中考真题）方程=1的解是．2x+1【答案】x=2【分析】将分式方程转化为整式方程，求解即可．x−12x+1=1可得：x−1=2x+1【详解】解：由解得x=−2经检验x=−2是原分式方程的解，故答案为：x=2nn12海南·统考中考真题）设为正整数，若n<2<n+1，则的值为．【答案】1【分析】先估算出2的范围，即可得到答案．【详解】解：1<2<4，∴1<2<4，即1<2<2，1<2<1+1，∴n=1，故答案为：1．11−4x−2=0的两根分别为m、，则n+=13四川攀枝花·统考中考真题）x【答案】22．mn11m+n【分析】依据题意，由根与系数的关系得，mn4，+=mn=−2，再由+=进而代入可以得解．mnmn【详解】解：由题意，根据根与系数的关系可得，m+n=4，mn=−2，11m+n4−2∴+===−2，mnmn故答案为：2．14（2023·江苏盐城·1．5【答案】9【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：设小正方形的边长为，则总面积为，其中阴影部分面积为，5∴飞镖落在阴影部分的概率是，95故答案为：．9152023·浙江衢州·B在x，ABx轴上方作正方形kOACDABEFy=(k0)的图象分别交边CDBE于点QPMx轴于点QN⊥y>⊥x轴于点．若OA=2ABQ为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为．【答案】24OA4a==2akA(4a,0)B(6a,0)C(4a,4a)QN⊥y1()轴，点P在CD上，可得P,4a，由于Q为BE的中点，⊥x轴，可得BQ=AB=a，则Q6a,a，4a2kk由于点Q在反比例函数y=(k0)的图象上可得k6a>=2，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面4ax积为，从而可得12×4ak×a=6，即可求解．【详解】解：设OA4a，=∵OA=2AB，∴=2a，∴OB=ABOA=6a，+()∴B6a,0，在正方形ABEF中，==a，Q为BE的中点，∴BQ=12AB=a，()∴Q6a,a，Q在反比例函数y∴k=6a×a=6a∵四边形OACD是正方形，kx=(k>0)的图象上，2，()∴C6a,6a，∵P在CD上，∴P点纵坐标为4a，kx∵P点在反比例函数y=(k>0)的图象上，k∴P点横坐标为x=，4ak∴P,4a，4a∵HMO=HNO=NOM=90，∠∠∠°∴四边形OMHN是矩形，k∴NH=，=a，4ak∴SOMHNNHMH=×=×a=6，4a∴k24，=故答案为：24．3小题，第题10分，第1718小题各7分，共分）16江苏·1）计算：−2++03)−9；2x13x1,x−1+>(−)（2）解不等式组：x+<1.3）02）x1<）根据化简绝对值，零指数幂，求一个数的算术平方根，进行计算即可求解；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．−2++3)−90）=2+1−3=0；+>(−)2x13x1①（2）x−1，x+<②3解不等式①得：x4，解不等式②得：x<1，<∴不等式组的解集为：x<1．2−−1x1131−÷，其中x=3．+(−)017辽宁丹东·统考中考真题）先化简，再求值：x22−2x+1x−1x−1x【答案】，13【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可．2−1x13−÷【详解】解：x2−2x+1x−1x−1(=x+1x−))(x−1(−)x−1−×223(−)x1x1(−)xx1x−1==×(−)x123x，3−112=+(−3)0=2+1=3，∵xx33===1．∴原式318海南·统考中考真题）某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：调查问题在下列课外活动中，你最喜欢的是（A．文学；．科技；．艺术；D．体育填完后，请将问卷交给教务处．根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息，解答下面的问题：(1)本次调查采用的调查方式为（填写“普查或“抽样调查”n(2)在这次调查中，抽取的学生一共有人；扇形统计图中的值为；(3)已知选择科技类课外活动的50名学生中有30名男生和名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是；(4)若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有人．【答案】(1)抽样调查(2)200，2(3)5(4)350）根据抽样调查的定义即可得出答案；n（2）根据喜欢文学的人数除以其所占的百分比可得总人数，用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值；（3）根据概率公式求解即可；（41000乘以选择文学”类的百分比即可．）解：根据题意得：本次调查采用的调查方式为：抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）解：根据题意得：在这次调查中，抽取的学生一共有：7035%200÷=n÷×=扇形统计图中的值为：4420010022，故答案为：200，；25=（3）解：恰好抽到女生的概率是：，2故答案为：；5（4）解：根据题意得：选择文学类课外活动的学生有：100035%350×=故答案为：350．3小题，每小题9分，共分）192023·湖北黄石该设备的生产成本为万元个生产周期设备的售价为万元与之间的函数解析式是xz/zx0<x≤12z=mx+n,12<x≤20xx=z=14时，z=．，其中是正整数．当时，；当x20(1)求m，的值；n(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式y5x20．y=+①当<x≤时，工厂第几个生产周期获得的利润最大最大的利润是多少万元?②当0<x≤时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．1【答案】(1)m=−，n=；4(2)①14，405；②400<a≤403.75．1）用待定系数法求出m，的值即可；n（2）①当<x≤(售价-成本)关于=×wx求出最值；②当0<x≤20时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论．wxwxx20时，z=代入z=+n得：）把x时，=z=14；16m+n=1420m+n=131，解得：m=−，n=；41（2）①设第个生产周期创造的利润为xw万元，由（1）知，当<x≤z=−x+18时，，4=(−)∴wz10y，1=−(5x+)x1810+−20，45454=−x2+35x=−(x−14)2+405，5−<0，<x≤，∵4∴当x=时，取得最大值，最大值为w405，∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；z=，②当0<x≤20时，=(−)∴w1510(5x2025x100，+=+25x+100(0<x≤12)w=∴则5，x14−(−)2+<x≤20)4wx与的函数图象如图所示：a由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于万元，∴当x=，15时，w=403.75，当x=，时，w=，a400<a≤403.75．∴的取值范围mx相交于点A(2,3)，B(n)．20山东淄博·统考中考真题）如图，直线y=+b与双曲线y=(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线AB向下平移至CD处，其中点C(0)，点D在轴上．连接AD，，求−y△的面积；m(3)请直接写出关于x的不等式+b>的解集．x61【答案】(1)y=，y=−x+4x2(2)(3)2<x<6或x<0m6()()=m()y=代入【分析】1将A3代入双曲线y出Bn,1，xx确定B点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；1()=−−y2由平行求出直线CD的解析式为yx过点D作⊥交于GAB与轴的交点为H，222x,可推导出=,cos∠HFO=DG=DH=25,则ABD的与轴的交点为F再由出551=×25×25=面积2()3.数形结合求出x的范围即可mx()y=代入双曲线）将A2,3，∴m=6,6∴双曲线的解析式为y=，x6()=将点Bn,1代入y，x∴n=6,(),∴B6,1()()y=+b,代入A3,B6,1将2k+b=36k+b=1∴，1k=−解得2，b=412∴直线解析式为y=−x+4；（2）∵直线AB向下平移至CD,∴ABCD,11设直线CD的解析式为y∴1+n=0解得n=1∴直线CD的解析式为y=−=−x+C(−0)代入y=−x+n,2212x1−(−)D1∴过点D作DG⊥AB交于G,yx设直线AB与轴的交点为H，与轴的交点为F,()(),H0,4,F8,0∴∵HFO∠+∠OHF90,OHG=°∠+∠HDG90,=°∴=,∵OHOF8,==∴=45，∴cos∠HFO=2，5∵DH5，=2∴DG=DH=25，5AB=25，12=×25×25=10∴ABD的面积16（3）由图可知2<x<6或x<0,−x−1>时.2x21广东·统考中考真题）综合探究如图ABCD中(>)于点E，连接′．，BD相交于点OA关于的对称点为′′交(1)求证：′⊥′；(2)以点O为圆心，为半径作圆．①如图2，O与CD相切，求证：′=′；②如图3，O与′相切，=1，求O的面积．【答案】(1)见解析2+2(2)①见解析；②π4∠=°是的1A关于的对称点为′可知点E是′的中点，AEO90′中位线，继而得到OE∥AC，从而证明′⊥CA；′′()=O（2O作⊥于点交CD于点GOAF与CD相切，得到=，继而得到OE=OF，从而证明是∠EAF的角平分线，即∠OAE=∠OAF，==x，求得=2x∠AOE+∠OAE=90°，从而得到，利用直角三角形两锐角互余得到∠OAE=30°，即′AC=30°，最后利用含度角的直角三角形的性质得出′=′；1′==′′=′C②先证明四边形AEOH是正方形，得到AH，再利用是ACA的中位线得到，2从而得到OH=CH，=°是等腰直角三∠AOE=45°△()=AE=OE=r=2−1rRt△ADE+=AD角形，AE，设，求得，在中，AE2DEπ．22即2+22+2()2r2+2−1r2=12，解得r2=，从而得到O的面积为S=πr=244）∵点A关于的对称点为′，∴点E是′的中点，AEO90，∠=°又∵四边形ABCD是矩形，O是的中点，′∴是ACA的中位线，′∴OE∥AC∴AAC∠′=∠AEO90，=°∴′⊥CA′（2）①过点O作⊥于点，延长交CDG，则∠OFA=90°，∵四边形ABCD是矩形，ABCD===∴，，∴OCG∠=OAF，∠OGC=∠OFA=90°．∵∠OCG=OAF，∠OGC=∠OFA=90°，CO，=()∴OAF，∴．=∵O与CD相切，为半径，∠OGC=90°，∴，=∴OE=OF又∵∠AEO=90°即⊥，⊥，∴是∠EAF的角平分线，即∠OAE=∠OAF，设==x，则==x，又∵CO=∴OCG∠=∠ODG=x∴∠AOE=∠OCG+∠ODG=2x又∵∠AEO=90°，即△是直角三角形，∴∠AOE+∠OAE=90°，即2x+x=90°解得：x，=°∴∠OAE=30°，即′AC30，=°′′AC=30°′C=90°，，在Rt△AAC中，∴ACCA，=′∴′=AC2−′2=CA(′)2−′2=CA′；⊥′②过点O作OHAC于点H，∵O与′相切，∠′HO=90°∴OEOH，=∵AAC∠′=∠AEOAEO=∠′=∠′°AHO90=′∴四边形AEOH是矩形，又∵OE=OH，′∴四边形AEOH是正方形，∴AH，==′′又∵是ACA的中位线，1∴=′AC212′==′AC∴AHCH∴OHCH=∠′=°又∵AHO90，∴∠OCH=45°′又∵OE∥AC，∴∠AOE=45°又∵∠AEO=90°，∴△AEO是等腰直角三角形，AE=，设AEOEr，则AO=DO=AE==2+OE=2r2()DE=DO−OE=2r−r=2−1r∴△=AD，=1在RtADE中，AE2+DE22()2即r2+=2−1r2=12112+2r2==∴(2−)24−2241+2+2∴O的面积为：S=πr2=π42小题，每小题分，共分）222023·辽宁丹东ABC中，∠BAC=90°ABC=30°=6D是边形是菱形（DEFGEDG60，且DE2，菱形∠=°=可以绕点D旋转，连接和CE，设直线和直线CE所夹的锐角为α．(1)在菱形DE在线段与CEα及的值；(2)当菱形D不成立，请说明理由；(3)设直线与直线CE的交点为PDEF所在的直线经过点B时，请直接写出△的面积．【答案】(1)AG=，α=60；°(2)（1）中结论成立，证明见解析；203(3)或237）根据AG=AD−GD=23−，CE=CD−DE=23−2=AG，即可得出答案；（2）证明ADGCDE，即可求解；（3BDEMPG1、2，∠MPC=∠ADM=60，°MC则PM==1中，AC23AMACsin60===3=3+1=4，=+tan60进而求解；当BF重合时，也符合题意，由（1、2）知，∠MPA=∠ADC=60AE°，根据42tan∠ACE===，在△中，用解直角三角形的方法即可求解．AC233）解：AG=，α=60°，理由如下：，AB=6，=2，BC=2AC=43，在ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°则AC=ABtan30°点D是的中点，∴===23，则AG=AD−GD=23−，CE=CD−DE=23−2，∴CE=AG,为等边三角形，∴∠ADC=60°=α；（21）的结论成立，理由：证明：延长交CD于点，交CE于点N，∠ADG+∠GDC=60∴∠ADG=∠CDE，°=∠GDC+∠CDE，AD=CD，GD=ED，ADGCDE，∴AG=，DCE=DAN，ATD=CTN，∴∠ANC=∠ADC=60∴α=60°，°；（3）解：当、F共线时，如下图，连接AD，根据图形的对称性，当、、F共线时，且点D是的中点，则、GC共线，分别过点GE作的垂线，垂足分别为H、，交CE于点P，∠EDG=60则∠BDE=∠CDG=60则∴∠EBH=∠HDE=∠MCG=60°，°，°,即BDE，均为等边三角形，1∴BH=HD=DM=CM=BC=3，4由（）知为等边三角形，则AM⊥CD