2025届江苏省南通市如皋中学高二上数学期末监测试题含解析

2025届江苏省南通市如皋中学高二上数学期末监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（）A.在上是增函数 B.当时，取得最小值C.当时，取得极大值 D.在上是增函数，在上是减函数2．已知直线，，点是抛物线上一点，则点到直线和的距离之和的最小值为（）A.2 B.C.3 D.3．直线的倾斜角，则其斜率的取值范围为（）A. B.C. D.4．圆与圆的位置关系为（）A.外切 B.内切C.相交 D.相离5．设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（）A. B.C. D.6．双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，下列结论不正确的是（）A.该双曲线的离心率为B.该双曲线的渐近线方程为C.点P到两渐近线的距离的乘积为D.若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为327．等比数列中，，，则（）A. B.C. D.8．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且该圆的半径等于椭圆长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则b的值为（）A. B.C. D.9．下列数列是递增数列的是（）A. B.C. D.10．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11．设函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是______.14．已知抛物线的焦点F在直线上，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△的面积是△面积的4倍，则直线l的方程为____________15．以下数据为某校参加数学竞赛的名同学的成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.则这人成绩的第百分位数可以是______16．抛物线的焦点到准线的距离是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，（1）求的单调区间；（2）当时，求证：在上恒成立18．（12分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点分别在棱、上·（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积19．（12分）已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值时两圆外切？（2）m取何值时两圆内切？（3）当m=45时，求两圆公共弦所在直线的方程和公共弦的长20．（12分）已知关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）若，求的最小值，并求此时的值.21．（12分）设函数，其中，为自然对数的底数.(1)讨论单调性；(2)证明：当时，.22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）设点是平面上任意一点，直接写出线段长度最小值.（不需证明）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项.【详解】根据图象知：当，时，函数单调递减；当，时，函数单调递增.所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；故当时，取得极小值，选项C不正确；当时，不是取得最小值，选项B不正确；故选：D.2、C【解析】由抛物线的定义可知点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离.【详解】解：由题意，抛物线的焦点为，准线为，所以根据抛物线的定义可得点到直线的距离等于，所以点到直线和的距离之和的最小值即为焦点到直线的距离，故选：C.3、B【解析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项.【详解】直线的倾斜角为，则斜率为，在上为增函数.由于直线的倾斜角，所以其斜率的取值范围为，即.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题.4、A【解析】根据两圆半径和、差、圆心距之间的大小关系进行判断即可.【详解】由，该圆的圆心为，半径为.圆圆心为，半径为，因为两圆的圆心距为，两圆的半径和为，所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切，故选：A5、B【解析】当可求得；当时，可证得数列为等差数列，利用等差数列通项公式可推导得到，由求得后，利用可求得结果.【详解】当时，，解得：；当时，由得：，即，，数列是以为首项，为公差的等差数列，，解得：，，经检验：满足，，故选：B.6、D【解析】根据双曲线的离心率、渐近线、点到直线距离公式、三角形的面积等知识来确定正确答案.【详解】由题意可知，a＝3，b＝4，c＝5，，故离心率e，故A正确；由双曲线的性质可知，双曲线线的渐近线方程为y＝±x，故B正确；设P（x，y），则P到两渐近线的距离之积为，故C正确；若PF1⊥PF2，则△PF1F2是直角三角形，由勾股定理得，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6（不妨取P在第一象限），∴2|PF1||PF2|＝100﹣2|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|＝32，可得，故D错误.故选：D7、D【解析】设公比为，依题意得到方程，即可求出，再根据等比数列通项公式计算可得；【详解】解：设公比为，因为，，所以，即，解得，所以；故选：D8、B【解析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相切，从而列方程可求出b的值【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，所以蒙日圆方程为，因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切，所以，解得，故选：B9、C【解析】分别判断的符号，从而可得出答案.【详解】解：对于A，，则，所以数列为递减数列，故A不符合题意；对于B，，则，所以数列为递减数列，故B不符合题意；对于C，，则，所以数列为递增数列，故C符合题意；对于D，，则，所以数列递减数列，故D不符合题意.故选：C.10、D【解析】根据长方体中，异面直线和所成角即为直线和所成角，再结合余弦定理即可求解.【详解】解：连接、，如下图所示由图可知，在长方体中，且，所以，所以异面直线和所成角即为，又，，由余弦定理可得∶故选：D.11、A【解析】利用导数的几何意义求解即可【详解】由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即，故选：A12、D【解析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.【详解】设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值，当M在位置或时等号成立.故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先由极差以及平均数得出，进而得出中位数.【详解】由可得，，，因为乙得分的平均值为24，所以，所以甲、乙两组数据的中位数是.故答案为：14、【解析】设A，B分别为，由焦点在已知直线上求F坐标及抛物线方程，再根据题设三角形的面积关系可得，并设直线l为，联立抛物线应用韦达定理求参数m，即可知直线l的方程.【详解】设点A，B的坐标分别为，直线，令可得，故焦点F的坐标为，所以，由，，而△的面积是△面积的4倍，所以，即，设直线l为，联立方程，消去x后整理为，所以，代入，有，可得，则直线l的方程为故答案为：.【点睛】关键点点睛：根据抛物线焦点位置及其所在直线求抛物线方程，由面积关系得到交点纵坐标的数量关系，注意交点在x轴两侧，再设直线联立抛物线求参数即可.15、【解析】利用百分位数的求法直接求解即可.【详解】解：将所给数据按照从小到大的顺序排列：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.数据量，∵是整数，∴故答案为：.16、4【解析】由y2＝2px＝8x知p＝4，又焦点到准线的距离就是p，所以焦点到准线的距离为4.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）单调减区间为，单调增区间为；（2）证明见解析.【解析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性从而求得函数单调区间；（2）根据题意，转化目标不等式为，分别构造函数，，利用导数研究其单调性，即可证明.【小问1详解】因为，故可得，又为单调增函数，令，解得，故当时，；当时，，故的单调减区间为，单调增区间为.【小问2详解】当时，，要证，即证，又，则只需证，即证，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值；令，，又为单调增函数，且时，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，取得最小值.则，且当时，同时取得最小值和最大值，故，即，也即时恒成立.【点睛】本题考察利用导数求函数的单调区间，以及利用导数研究恒成立问题；处理本题的关键是合理转化目标式，属中档题.18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算知，即可证得结论；（2）利用空间向量结合已知的面面角余弦值可求得，再利用线面平行的已知条件求得，再将四面体视为以为底面的三棱锥，利用锥体的体积公式即可得解.【小问1详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，其中，，若是的中点，则，，，于是，∴，即【小问2详解】由题设知，，，是平面内的两个不共线向量设是平面的一个法向量，则，取，得又平面的一个法向量是，∴，而二面角的余弦值为，因此，解得或（舍去），此时设，而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，解得，从而将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.19、（1）（2）（3）直线方程为4x+3y-23=0，弦长为【解析】（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值；（2）由两圆的圆心距等于两圆的半径之差为，求得m的值．（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长试题解析：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，两圆的圆心距d==5，两圆的半径之和为+，由两圆的半径之和为+=5，可得m=（2）由两圆的圆心距d=="5"等于两圆的半径之差为|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）当m=45时，两圆的方程分别为（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=16，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为4x+3y-23=0第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为d==2，可得弦长为考点：1．两圆相切的位置关系；2．两圆相交的公共弦问题20、（1）;（2），.【解析】（1）利用根与系数的关系，得到等式和不等式，最后求出的值；（2）化简函数的解析式，利用基本不等式可以求出函数的最小值.【小问1详解】由题意知：，解得【小问2详解】由（1）知，∴，由对勾函数单调性知在上单调递减，∴，即当，函数的最小值为21、（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】（1）求导数，分和，两种情况讨论，即可求得的单调性；（2）令，利用导数求得单调递增，结合，得到，进而证得.【详解】（1）由函数，可得，当时，，在内单调递减；当时，由有，当时，，单调递减；当时，，单调递增.(2)证明：令，则，当时，，单调递增，因为，所以，即，当时，可得，即【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大