2022学年高二数学上学期期末高频考点专题01 直线与方程（知识串讲解析版）

2022学年高二数学上学期期末高频考点

专题01直线与方程

【知识梳理】

知识点一直线的倾斜角

在平面直角坐标系中，当直线/与X轴相交时，我们以X轴为基准，X轴正向与直线/向上的方向之间

所成的角叫做直线/的倾斜角。

规定：当直线和X轴平行或重合时，直线倾斜角为0°,所以倾斜角a的范围是

知识点二直线的斜率

斜率公式：已知点6(%,%)、£(乙，为)，且《鸟与x轴不垂直，过两点q(X1,y)、的直线的

斜率公式k=—~~—(玉#x,).

工2一占

知识点三直线方程的5种形式

名称方程适用条件

点斜式y—泗=左。-xo)不含垂直于X轴的直线

斜截式y=kx+b不含垂直于X轴的直线

y一y二1一百

两点式不含直线x=xi(x#x2)和直线y=yi(yi^y2)

力一X马一斗

截距式­=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

一般式❸Ar+By+C=0,A2+B2/0平面内所有直线

知识点四两条直线平行

1.对于两条不重合的直线小h，其斜率分别为心，心，有h〃120k尸瓜

对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点

(1吊〃/2台心=依成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与，2不重合.

(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，h与/2的倾斜角都是90°,则ly//h.

(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是:

/1〃/2<=>%1=他或/|，/2斜率都不存在.

知识点五两直线垂直

1.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于一1；反之，如果它们的斜率之积等

于一1,那么它们互相垂直,即/]_L/20h左2=-1.

对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点

(1)/」/2台俗心=一1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②石70且明#0.

(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直.

(3)判定两条直线垂直的一般结论为：

或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零.

知识点六两条直线的交点

1.两直线的交点坐标

几何元素及关系代数表示

点AA(afh)

直线//：Ar+By+C=0

点A在直线/上Aa+劭+C=0

A\x+B\y+C\=0[x=a

直线与/2的交点是A方程组"的解是

Azx+B2y+C2=0ly=b

2.两直线的位置关系

[Aix+Biy+Cj=0

方程组L।।「_八的解一组无数组无解

直线/l与/2的公共点个数一个无数个零个

直线h与h的位置关系相交重合平行

【概念解读】两直线相交的条件

(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交.当方程组只有一解时，两直线相交.

⑵设/i：Aix+Biy+G=0,/2：A2x+B2y+C2=0,则/i与/2相交的条件是4是一A2B1WO或拉知2,30）.

（3）设两条直线/］：y=k\x+b\,I2：丁=%>+%，则/1与72相交台心WZ2.

3.直线系方程

经过两直线1:Ax+By+C4）,7:Jx+By+C4）交点的直线方程可写为Ax+By+C〃（力x+By+C）4）（它不能表

11112222111222

示直线1）.反之，当直线的方程写为Ax+By+C4（/x+By+C）4时,直线一定过直线1:Ax+By+CR与直

211122211i1

线1:Ax+By+C=0的交点.

2222

知识点七两点间的距离

1.两点间的距离公式公式：点P|（X|,）1）,尸2（x2，竺）间的距离公式|P|P2|="V（X|—X2）2+（y|—”）2.

2.两点间的距离公式文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术

平方根.

3.【概念解读】两点间距离公式的理解

（1）此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成内尸2|=d（X2—乃）2+叫一》）2.

（2）当直线PP2平行于X轴时，甲产2|=咫一X||.

当直线P1P2平行于y轴时，|PiP2|=|y2-yi|.

当点尸|、P2中有一个是原点时，一心尸,+产.

知识点八点到直线的距离

1.点到直线的距离定义：点到直线的垂线段的长度

|Axo+8y（）+C|

2.点到直线的距离公式：点Po（xo,刈）到直线/：Ar+3y+C=0的距离d=

yjA2+B2

3.点到直线的距离公式需注意的问题

（1）直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.例如，求PoUo,州）到直线y=kx

网-yo+b|

+力的距离，应先把直线方程化为日一），+6=0,得〃=

出2+1

4.点到几种特殊直线的距离

⑴点Po（xo，yo）到X轴的距离

⑵点p（xo,yo）到），轴的距离j=|xo|；

⑶点p（xo,"）到与X轴平行的直线y=6（bW0）的距离4=例一例；

（4）点P（xo，泗）到与y轴平行的直线x=”（aW0）的距离d=\xo—a\.

知识点九两平行线的距离

1.两平行线间的距离定义：夹在两条平行直线间公垂线段的长度

2.两平行线间的距离公式：两条平行直线东Ar+B.y+G=0与/2：Ax+By+C2=0（GWC2）之间的距离

“\a-c\

d=,=2

y）A2+B2

2.对平行线间的距离公式的理解

（1）利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x,y的系数对应相等.

（2）当两直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决

①两直线都与X轴垂直时，/l：X=X\,I2：X=X2,则”=|X2—X||；

②两直线都与y轴垂直时，/i：y=y”h：>="，则”=仅2—yi].

【典型例题】

题型一：直线的斜率与倾斜角

例1、过点4（-低直）与点8（-夜，遍）的直线的倾斜角为（）

A.45°B,135°C.45°或135°D.60°

【答案】A

解：因为直线48的斜率k=-弄？示=1,

直线4B的倾斜角的范围为[0。,180。），

所以直线4B的倾斜角为45。，

故选4.

训练1、直线3%+V3y—1=0的倾斜角是（）

A.7B.=

„27Tc57r

【答案】c

解：设直线3x+Uy-1=0的倾斜角为Q(04c<7T),

由直线3x+V5y-l=0，可得其斜率k=-8，

所以tan。=-瓜,a=g,

即直线3x+V3y—1=0的倾斜角为小

故选C.

训练2、在直角坐标系xOy中，已知点4(0,-1),B(2,0),过4的直线交%轴于点C(a,0),若直线4c的倾斜

角是直线4B倾斜角的2倍，则a=()

A.7B.7C.1D「

443

【答案】B

【解答】

解：设直线/C的倾斜角0是直线AB倾斜角a的2倍，

即有=tan2a=-斗喏

Ll-tan2a

由k/ic=^AB=2f

即有工=空，

a1--

4

解得a="

4

故选民

例2、(多选)下列说法中，正确的是()

A.直线的倾斜角为a,且tana>0,贝Ua为锐角

B.直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

C.若直线的倾斜角为a,贝!]sina>0

D.任意直线都有倾斜角a,且a力90。时，斜率为tana

【答案】AD

【解答】

解：因为直线的倾斜角a的取值范围为[0。,180°),

故tana>0时，a为锐角，故选项A正确；

当直线斜率为tana时，a不一定是倾斜角，如a=-60。，故选项B错误；

又因为直线的倾斜角a的取值范围为[0。,180。)，则sina》0,故选项C错误；

任意直线都有倾斜角a,且aH90。时,斜率为tana,故选项。正确，

故选AD.

训练1、设直线，的方程为x+ycos9+3=0(eeR),则直线I的倾斜角a的取值范围是()

A.[0.7T)B.U谭)

【答案】C

解：当cos9=0时，方程变为x+3=0,其倾斜角为*

当cos。羊0时，由直线方程可得斜率4=-•二，

COW

vcosQE[—1,1]且cos。H0,

kG(—8,-1]U[1,4-oo),

BPtanaG(-oo,-1]u[l,+oo),

又ae[0,71),

••・alW)%,争，

由上知，倾斜角的范围是g,"

故选C.

训练2、(多选)已知直线xsina+ycosa+1=0(a6R),则下列命题正确的是()

A.直线的倾斜角是兀一a

B.无论a如何变化，直线不过原点

C.无论a如何变化，直线总和一个定圆相切

D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1

【答案】BCD

【解答】

解：4根据直线倾斜角的范围为[(),7T),而7T—aeR,所以力不正确；

8.当％=?=0时，zsinc++1=1#(),所以直线必不过原点，8正确；

C.由点到直线的距离公式得原点到直线的距离为1,所以直线总和单位圆相切，C正确;

D当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为

5=--------=...2I,所以。正确，

2sinacoNO|sin2a!

故答案为BCD.

例3、三点A(3,l),B(-2,k),C(8,11)在一条直线上，则k的值为()

A.-8B.-9C.—6D.—7

【答案】B

【解析】

解：，.•三点4(3,1),8(-2,fc),C(8,11)在一条直线上,

.,k-l

**=%，H即n不=。11-1，

解得k=-9.

故选民

训练1、如图，直线5L，b的斜率分别为自，七，七，贝女)

A.k]<k，2<攵3

B.kr<k3<k2

C.k3<k2<k]

D.k3<<k2

【答案】B

【解答】

解：根据图象易得，自<0,k2>k3>0,

k]<卜3Vk?,

故选8.

例4、己知两点4(-3,4),8(3,2),过点P(l,0)的直线2与线段4B有公共点，则直线/的斜率k的取值范围是()

A.(-1,1)B.(-oo,-l)u(l,+oo)

C.[-1,1]D.(-oo,-l]u[l,+oo)

【答案】D

解：如图所示：

•••点4(-3,4),B(3,2),过点P(l,0)的直线I与线段48有公共点，

・••直线]的斜率k>七8或々<kPA,

•••P4的斜率为黑=-1,PB的斜率为衿=1,

・••直线，的斜率k>1或k<-1,

故选D.

训I练1、直线1过点PQ0)，且与以4(2,1),8(0,6)为端点的线段有公共点，则直线阖率的取值范围为

【答案】(一8,-我]u[1,+<»)

解：的4=式=1,=

2—10—1

因为直线过点P(L0),且与以4(2,1),8(0,b)为端点的线段力B有公共点，

所以用6(—co,—V3]U[1,4-oo),

故答案为(―8,—U[1,4-00).

训练2、已知点M(5,3)和点N(—3,2),若直线PM和PN的斜率分别为2和-%则点P的坐标为；若过

4(0,-2)的直线/与线段MN总有交点，则直线，的斜率取值范围为.

【答案】(1,一5)

(―8,—[1,+8)

”=2

解:设P(x,y),则有僵—二

Vx+3一中

解得《二，则P点坐标为(1,—5);

根据题意AMA=言=1，=含=一%

因为过4(0,-2)的直线，与线段MN总有交点，如图：

所以直线，斜率的范围为(—8,-刍U[1,+8).

故答案为(1,-5)；(―oc,--]U[1.+ac).

*5

题型二：五种直线方程

例1、(多选)下列说法中，正确的有()

A.过点PQ2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0

B.直线y=3%-2在＞/轴上的截距为一2

C.直线x-V3y+1=0的倾斜角为60°

D.过点(5,4)并且倾斜角为90。的直线方程为5=0

【答案】BD

解：对4:过点P(l,2)且在x,y轴截距相等的直线方程,

要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，

当直线过原点时，直线方程为2x-y=0;

当直线不过原点时，直线方程为x+y-3=0,所以A错误.

对8：直线y=3%-2在y轴上的截距，令x=0,得y=-2,

所以直线y=3x-2在y轴上的截距为一2,所以B正确.

对C：直线x-V3y+1=0的斜率为弓，设倾斜角为a,

则taua=€[0,TT)，所以a=30°,所以C错误.

对D：过点(5,4)并且倾斜角为90°,斜率不存在，

所以直线方程为x=5,即工一5=0,所以。正确.

故选BD.

例2、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程.

(1)斜率是一,经过点)(8,—2)；

(2)经过点B(4,2),平行于x轴;

(3)在x轴和y轴上的截距分别是|,-3；

经过两点

(4)3(3,—2),P2(5,-4).

(5)已知直线，经过点8(3,-1),且倾斜角是30

【答案】解：(1)由点斜式得了一(-2)=-1%-8),化成一般式得％+2了-4=0.

(2)由题意得y=2,化成一般式得y-2=0.

(3)由截距式得三+三=1,化成一般式得2x-y—3=0.

2

(4)由两点式得若元=言，化成一般式得久+y-l=0.

(5)由题意得直线2斜率为k=弓，由点斜式得y+1=-3)

化成一般式得遮x-3y-3-百=0

例3、（多选）下列说法正确的是（）

A.直线y=ax-3a+2（aGR）必过定点（3,2）

B.过（%】,月），（尤2/2）两点的直线方程为黄=急

C.直线Bx+y+1=0的倾斜角为60°

D.直线x-y-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8

【答案】AD

解：4、.直线y=ax—3Q+2=a（x-3）+2,过点（3,2）,所以A正确；

B、当/工工2，月装力时，过（%2，、2）两点的直线方程为卷母二卷奇■，所以B不正确；

C、直线8x+y+l=0即为）/=一8％-1,斜率为—百，所以倾斜角为120。，C错误；

D、直线x-y-4=0在x、y两坐标轴上的截距分别为:4,—4,与坐标轴围成的三角形的面积是:1x4x4=

8,所以。正确：

故选：AD.

训练1、（多选）一下列说法不正确的是（）

A.经过定点P（xo，y（））的直线都可以用方程y-y（）=k（x-x（））表示

B.在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程:+；=1来表示

C.经过任意两个不同的点P1（X1，%）,P2（X2，y2）的直线都可以用方程悬=言表示

D.经过点（2,3）,（m,n）两点的直线方程为（y-3）（m-2）=（x-2）（n-3）

【答案】ABC

解：若经过定点尸（g,,（））的直线斜率不存在，

则直线方程不可以用方程y-y0=Kx-X。）表示，故选项4错误；

在坐标轴上截距相等的直线若经过原点，则该直线方程不可以用方程：+?=1来表示，故选项8错误；

方程转=言要满足条件勺#%2,力中及，，故仅表示与坐标轴不平行的直线，

Z2yi-*2,*1

故选项c错误；

经过点(2,3),(m,n)两点的宜线方程为(y-3)(6-2)=(x—2)(n-3),故。正确.

故选ABC.

例4、过点4(4,1),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()

A.4x—y=0或x+y—5=0B.x+y-5=0

C.x-4y=0或x-y+3=0D.x-4y=0或x+y-5=0

【答案】D

解：当直线过原点时，斜率为:，

4

直线的方程是y==x-4y=0.

当直线不过原点时.，设直线的方程是：x+y=a,

把点4(4,1)代入方程得a=5,

直线的方程是x+y=5.

综上，所求直线的方程为x-4y=0或x+y-5=0.

故选：D.

训练1、已知直线过点(2,3),它在K轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则此直线的方程为

［答案】3x-2y=0或x+2y-8=0

解：(1)当此直线过原点时，直线在%轴上的截距和在y轴上的截距都等于0,显然成立，

所以直线斜率为日且过原点，所以直线解析式为y=|x,化简得3x-2y=0；

(2)当直线不过原点时，由在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍得到直线的斜率为一3

直线过(2,3),

所以直线解析式为y-3=-i(x-2),

化简得：%+2y-8=0.

故答案为3%-2y=0或x+2y-8=0.

训练2、过点4(4,1),且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()

A.4i—g=0或i+y—5=0B.£+y—5=0

C.c—4g=0或rr—〃+3=0D.c—4g=0或c+g—5=0

【答案】D

解：当直线过原点时，斜率为:，

4

直线的方程是y==x-4y=0.

当直线不过原点时.，设直线的方程是x+y=a,

把点4(4,1)代入方程得a=5,

直线的方程是x+y=5.

综上，所求直线的方程为％-4y=0或x+y-5=0.

故选：D.

题型三：平行与垂直

例1、设直线％：Q%+3y+12=0,直线%：x+(Q-2)y+4=0.当。=时，匕〃％；当。=时,

h112.

【答案…I

解：直线匕：ax4-3y4-12=0,直线，2：%+(a—2)y+4=0.

由k//%得：7=*7,

解得Q=-1,

由㈠%,得ax1+3(a—2)=0,解得a=|.

故答案为：-1；

训练1、(多选)已知直线53x+y-3=0,直线％：6x+my+l=0,则下列表述正确的有()

A.直线，2的斜率为一3

B.若直线人垂直于直线%，则实数m=-18

C.直线k倾斜角的正切值为3

D.若直线，1平行于直线，2,则实数6=2

【答案】BD

解：直线k3x+y-3=0,直线％：6x+my+1=0,

当m=0时，直线L的斜率不存在，故选项4错误；

当直线。垂直于直线%，则有3x6+1xm=0,解得m=-18,故选项8正确；

直线4的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故选项C错误；

当直线k平行于直线L则0,解得m=2,故选项C正确.

故选：BD.

例2、已知直线Ei：xsina+y-1=0,直线%：%—3ycosa+1=0,若/山2,则sin2a=()

A.IB,-|C.|D,--

【答案】A

解：因为直线kN・sina+y-1=(),直线，2：工一3y+1=(),且匕1%，

所以疝m—3co«a=0,即sine=：k-oesn,

所以sin%=1—ccjtra=1—(-siiki)2=1—-siirn,

*i9

即sin%=2,

1()

1

所以sin2a=2sinacosa=2sina--sina

故选A.

例3、设直线k：x-my+m—2=0,l2：mx+(m—2)y—1=0,则"m=-2"是直线'Z〃。”的

条件.(从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”及“既不充分也不必要”中选择一个填空)

【答案】充要

解：由—m•m—(m—2)=0,解得7n=l或—2.

其中m=1时两条直线重合，舍去.

•."m=-2"是直线“匕〃G”的充要条件.

故答案为充要.

例4、已知直线ax+2y+6=0和直线％：x+(a—l)y+a2—1=0.

⑴当及〃％时，求a的值；

(2)当口_L»2时，求a的值.

【答案】(1)-1;(2)|

【解析】1)(方法1)当Q=1时，/i：x+2y+6=0,l2：x=0,%不平行于G；

当Q=0时，I］：y=-3,l2：%-y-1=0,匕不平行于％；

当awl且a70时，两直线可化为ky=-^x-3,

ay=±x-(a+i),

ra__J_

。〃，2=-5一F'解得Q=-l,综上可知，当Q=-l时，Zt11l2.

1-3*—(a+1)

(方法2)・••3/12

ra(a—1)—1x2=0,Q2-d-2=0

ta(a2-1)-1x6^0<=>'解得Q=—1

a(a2-1)H6

故当@=一1时，匕〃%.

(2)(方法1)当Q=1时，，i：x+2y+6=0,%：%=0，匕与%不垂直，故Q=1不成立；

当a=0时，，匕：y=-3,12：%—y—1=0,匕不垂直于G，故Q=0不成立；

当QW1且a看0时，ky=-^x-3,l：y=4%—(a+1)由(一2)•上二-1,得a=；.

n21-a\2/1—a3

(方法2)•・•匕_L，2，二。+2(。-1)=0，解得a=g.

训练1、已知直线，的方程为3x—4y+4=0

(1)求过点(-2,2)且与直线，垂直的直线方程；

(2)求与直线Z平行且距离为2的直线方程.

【答案】解：(1)设与直线/：3%-4丫+4=0垂直的直线方程为&：+：如+6=(),

把点(-2,2)代入，得一8+6+b=(),解得6=2,

二过点(-2,2)且与直线/垂直的直线方程为：4x+3y+2=0.

(2)设与直线，平行且距离为2的直线方程为31-初+c=(),

则与=2，解得c=14或c=-6.

，9+216

•••与直线2平行且距离为2的直线方程为31-物-6=0或3工-如+14=().

训练2、如图，已知AABC的顶点分别为4(2,4),5(0,-2),C(—2,3),求：

卜y

(1)直线4B的方程；

(2)48边上的高所在直线的方程；

(3)与48边平行的中位线所在直线的方程.

【答案】解：(1)1•膜8=空?=3,

N-U

直线4B的方程为y=3x-2,即3x-y-2=0.

(2)由(1)可设力B边上的高所在直线的方程为y=-1x+m,

由该直线过点C(-2,3),得3=|+m,解得m=g,

故所求直线的方程为y=-+1,即x+3y-7=0.

(3)48边的中位线与4B平行且过4c的中点(0,今，

边的中位线所在宜线的方程为y=3x+1,即6x-2y+7=0.

训练3、已知直线I的方程为的一y+l=0

(1)求过点4(3,2),且与直线［垂直的直线"方程；

(2)求与直线/平行，且到点P(3,0)的距离为遥的直线%的方程.

【答案】解：(1)设与直线I：2》一丫+1=0垂直的直线匕的方程为：x+2y+m=0,

把点4(3,2)代入可得，3+2x2+m=0,解得m=-7.

•••过点4(3,2),且与直线，垂直的直线匕方程为：x+2y-7=0；

(2)设与直线八2x-y+l=0平行的宜线G的方程为：2x-y+c=0,

•・•点P(3,0)到直线%的距离为b.

.I2X3+CI一店

解得C=-1或一11.

•••直线，2方程为：2x-y-1=0或2x-y-11=0.

例5、m€R,动直线k：x+my-1=0过定点力，动直线-y-2m+遮=0过定点B,若直线及与。

相交于点P(异于点48),则4P4B周长的最大值是.

【答案】2+2V2

解：直线kx+my-1=0过定点4(1,0),

直线％：mx—y—2m+V3=0,即m(x—2)=y—百，

可得过定点B(2,机)，

由于1•m+m•(―1)=0,

则，i与％始终垂直，P又是两条直线的交点，

则有P41PB,

：.\PA\2+\PB\2=\AB\2=4.

由a?+b2>2ab可得2(。2+fe2)>(a+Z))2,

则2(|PA|2+\PB\2)>(|P*+\PB\)2,

即有伊川+\PB\<V23<4=2VL

当且仅当|P*=\PB\=&时，上式取得等号，

则^P4B周长的最大值为2+2V2.

故答案为2+2V2.

训练1、已知直线八：〃//-!/-3///+14)与直线，2：%+my—3m-1=0相交于点P,线段AB是圆C:(x+I)2+

(y+1产=4的一条动弦，且|48|=2b，则|同+而|的最大值为.

【答案】8V2+2

解：由题意得圆C的圆心为(一1,一1)，半径r=2，

易知直线k：mx-y-3m4-1=0恒过点(3,1),

直线%：x+my-3m-1=0恒过(1,3),且6J-/2，

二点P的轨迹为(X-2尸+(y-2/=2,圆心为(2,2),半径为我,

若点。为弦4B的中点，位置关系如图：

二可+而=2PD.

连接CO,由|48|=2%，易知|C0|=J4-(V3)2=1-

•••|^lmax=|PC|max+|CD|

=V32+32+V2+1=4V2+1，

二I两+而Imax=2|而Imax=8近+2.

故答案为8&+2.

训练2、已知直线，已x+y=0与12：x-ky+2k-2=0相交于点4,点B是(x+2)2+(y+3)2=2上的

动点，则点4与8的距离最大值为()

A.3V2B.5V2C.5+2V2D.3+2V2

【答案】C

解：因为直线小kc+y=0恒过定点。(0,0),

直线公工一/0/+2左一2=0恒过定点仪2,2),且A，％，

故两宜线的交点4在以0C为直径的圆上，圆的方程D：(X-1)2+(y-=2,且不包含点(0,2),

要求|4B|的最大值，转化为在圆D：(x-I)2+(y-=2上找一点4在圆8：(x+2)2+(y+3)2=2上

找一点B,使AB最大，

根据题意可得两圆的圆心距J(1+2产+(1+3)=5>2位，两圆相离，

则|4BImax=5+271

故选c.

例6、设zneR,若过定点4的动直线y-1=m(x-2)和过定点B的动直线x+my+2-4m=0交于点”(M

与4B不重合)，则|M*+2|MB|的最大值为()

A.5B.5V2C.5A/5D.5V6

【答案】C

解：由题意可知，动直线y-l=m(x-2)经过定点4(2,1),

动直线x+my+2-4m=0经过定点B(—2,4),

,••动直线y-1=m(x-2)和动直线x+my+2-4m=0的斜率之积为一1,

两条直线始终垂直，

又是两条直线的交点，

MA1MB,

\MA\2+\MB\2=\AB\2=25,

设N4BM=3,贝力M川=5sin9,\MB\=5cos9,

由|M*202|M8|20,可得。€0,J,

|A/.4|+2\MB\=5(siiW+2cow0)=5x/5x

氐.2瓜

令一.sma=-----

5

所以|A/.4|+2|AfB|=5>/5(sin0cosn+cosdsina)=5V后siu(0+a),

故|M川+21MBi的最大值为56.

故选C.

题型四：两直线交点

例1、直线/+2//-2：0与直线21+y—3=()的交点坐标是()

A.(4,1)B.(1,4)C.(1,0D.

【答案】C

解：联嘴解得

••・交点坐标为G，;).

故选C.

例2、求经过直线小2x—y+4=0与直线%：工一丫+5=0的交点”，且满足下列条件的直线方程.

(1)与直线x—2y—1=0平行；

(2)与直线x+3y+1=0垂直.

［答案］解：联立《二喳：)。

解得后：；，可得交点

(1)若直线平行于直线x-2y-l=0,则斜率为:，

故可得方程为y-6="x—1),即x—2y+11=0；

(2)若直线垂直于直线x+3y+l=0,则斜率为3,

故可得方程为y—6=3(x—1),即3x-y+3=0.

训练1、若三直线2x+3y+8=0,x—y—l=0和x+ky=0相交于一点，则％=()

A.-2B.iC,2D,

【答案】D

解：:三直线2x+3y+8=0,x-y—1=0和x+ky=0相交于一点，

.•由隹加72。，得忧二：即交点为(T-2),

代入直线工+ky=0,

所以-l+(-2)k=0,解得女=一右

故选。.

训练2、若直线久+仍/+9=0经过直线5%-6丁-17=0与直线4%+3)/+2=0的交点，则b等于()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

解:联立篇

解得％=1,y=-2,

・•・直线5%-6y-17=0与直线4%+3y+2=0的交点为(1,一2),

•••直线x+by+9=0经过点(1,-2),

l-2b+9=0,

解得b=5.

故选：D.

例3、（多选）两条直线％-my+2=0和mx+3y-9=0的交点位于第二象限，则徵的值可能为（）

A.1B.-4C.-2D.—3

【答案】BCD

9m-6

X=----

x-my+2=0/日3+m2

解：由mx4-3y-9=0信2ni+9

y-3+m2

:直线x-my+2=0和7nx+3y-9=0的交点位于第二象限,

2

0m<-

嘉雪、＞解得3

、9'

2＞m>——

3+mU2

m的取值范围为，＜m＜|,

故选BCD.

训练1、已知直线kx-y+2k+l=0与直线2x+y-2=0的交点在第一象限，则实数k的取值范围

()

A.-1<fc<-1B.fc<-|或k>-1

C.k<-幽D.-|<fc<!

【答案】D

kx-y+2k+1=0

解:联立

2%+y—2=0

解得：乂=啜,y=^(k4—2).

•••直线kx-y+2fc+l=0与直线2x+y-2=0的交点在第一象限,

•••崇”筌＞。・

解得：十V，

则实数k的取值范围是（—?3）.

故选：D.

例4、过两直线，i：x-3y4-1=0,%：%+2y+6=0的交点且与3%+y-1=0平行的直线方程为

【答案】3x+y+13=0

解:由"群仁:，解得忆二:，

所以两宜线，1：x—3y+1=0,%：x+2y+6=0的父点为(一4,—1),

设与3x+y-1=0平行的直线方程为3x+y+m=0,

则3x(-4)+(-l)+m=0,

解得m=13,

所以所求的直线方程为3x+y+13=0.

故答案为3x+y+13=0.

训练1、经过两条直线2x-y+4=0和x-y+5=0的交点，并且垂直于直线x-2y=0的直线方程是

【答案】2x+y-8=0

解：联立得：尸y三哪

(%-y+5=0(2)

①一②得：x=1,把x=1代入②，解得y=6,

原方程组的解为：｛;二;

所以两直线的交点坐标为(L6),

又因为直线x-2y=0的斜率为号所以所求直线的斜率为-2,

则所求直线的方程为：y—6=—2(x—1),即2x+y—8=0.

故答案为2x+y-8=0.

例5、(多选)己知三条直线2%-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形，则实

数m的取值为()

A.|B.7C.-|D.：

3333

【答案】ABC

【解答】

解：因为三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0不能构成三角形，

所以直线mx-y—1=。与2x—3y+1=。或4x+3y+5=0平行，

或者直线mx—y-1=0过2久―3y+1=0与4x+3y+5=0的交点,

直线mx—y—1=042x—3y+1=0,4%+3y+5=0分别平行时，

m=|,或m=一；,

直线2x-3y+1=0与4x+3y+5=0的交点坐标为

代入直线mx-y-1=0中，可得?n=-|,

所以实数m的取值集合为{一(,-|,|},

故选ABC.

训练1、己知两直线k：x—2y+4=0,%：4x+3y+5=0.

(1)求直线。与，2的交点P的坐标；

(2)求过及，%交点P，且在两坐标轴截距相等的直线方程；

(3)若直线，3：ax+2y-6=0与G不能构成三角形，求实数a的值.

【答案】解：⑴崎；XTsU。，解得：二之

所以点P的坐标为(一2,1).

(2)设所求直线为I,

①当直线I在两坐标轴截距为不零时，设直线方程为：7+7=1.

则F+;=l,解得t=-1,

所以直线的/方程为彳+七=1,即x+y+l=0.

(ii)当直线I在两坐标轴截距为零时，设直线方程为：y=kx,

则1=kx(-2),解得k=

所以直线的，方程为y=—：x,即x+2y=0.

综上，直线的，方程为尤+y+1=0或％+2y=0.

(3)(i)当b与k平行时不能构成三角形，此时：CLx(-2)-2x1=0,解得。=一1；

(ii)当巳与％平行时不能构成三角形，此时：ax3-2x4=0,解得a=*

(iii)当白过及,，2的交点时不能构成三角形，此时：a-(-2)+2xl-6=0,解得a=-2.

综匕当a=-l或［或-2时，不能构成三角形.

例6、在平面直角坐标系xOy中，已知点P,B,C坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2),E为线段BC上一点,

直线EP与x轴负半轴交于点4,直线与AC交于点。.

(1)当E点坐标为9时，求直线。。的方程；

(2)求与面积之和S的最小值.

【答案】解：⑴•••点P,B,C坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2),

・・・当E,|)H寸，易知直线PE的方程为y=x+l,

所以4(—1,0),

・••直线AC的方程为y=2%+2①，

又直线BP的方程为y="1x+1②，

①②联立方程组得D(-1,§,

所以直线0。的方程为y=-3%,

(2)易知直线BC的方程为x+y-2=0,

设E(a,2—a),直线PE的方程为y=当工+1,所以4(含,0),

因为4在x轴负半轴上，

所以0<a<1,

S=SAABE+SMEB=：(2-三)x(2-a)+2-a=：巴,0<a<1,

令t=l-a,则S=；(3t+B+4)2百+2(当且仅当t=当时取等号),

当t=^时，a=l-圣

答：s的最小值为75+2.

题型五：平面上的距离

例1、点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为()

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

解：因为直线y=k(x+l)恒过点(一1,0),要使得点(0,—1)到直线的距离最大，

此时点到直线的距离即为(0,-1)与(-1,0)两点的距离，

此时最大距离为y(o+i)2+(-i-o)2=\/2.

故选8.

训练1、设直线乙：①+3〃-7=0与直线L：x-y+l=0的交点为P,则P到直线/:x+ay+2-a=0

的距离最大值为()

A./ioB.4C.3他D./il

【答案】A

解：由C==o°得忧”"OU)，

又+ay+2—a=0,即a(y-1)+x+2=0过定点M(-2,l),

P到直线l:x+ay+2-a=。的距离最大值为\PM\=7(-2-I)2+(1-2)2=V10.

故选4

训练2、已知点P(4,0),直线，:(2+2比一(/1+1»-44—6=0,则点P到直线/距离的取值范围为

【答案】(0,2&]

解：

直线，:(4+2)x-(A+l)y-4A-6=0,

A(x—y-4)+2x-y-6=0,

pc—y—4=0(x=2

(2x—y—6=0\y=-2'

所以直线过定点(2,-1),

则J(4-2)+(0+2)=2V2.

由于(2+2)x4-(A+l)xO-41-6=0无解，所以P在直线的卜，

所以P到直线/距离的取值范围为(0,2a].

故答案为：(0,272]

例2、已知m,n满足m+n=l,则点(1,1)到直线mx—y+2n=0的距离的最大值为()

A.0B.1C.V2D.2V2

【答案】C

解：将n=1-7n代入直线方程，可得(x-2)m-y+2=0,

二直线m%-y+2n=0必过定点(2,2),

当点与点(2,2)的连线与直线7nx-y+2n=0垂直时•，点(1,1)到直线mx—y+2n=。的距离的最大值,

故点(L1)到直线mx-y+2n=0的距离的最大值为，(2—1尸+(2—1阿=V2.

故选：C.

例3、已知直线/过直线J：x-2y+3=0与直线2x+3y—8=0的交点，且点P(0,4)到直线1的距离

为2,则这样的直线［的条数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解答】解:方法-：由图察得

即直线I过点(1,2).

设点Q(l,2),

因为|PQ|=7(1-0)2+(2-4)2=V5>2.

所以满足条件的直线1有2条.

故选C

方法二：依题意，设经过直线。与％交点的直线加勺方程为2*+3丫-8+/10-2丫+3)=0(；1€/?),

即(2+X)x+(3-2A)y+3A-8=0.

化简得5於-84-36=0,解得;1=一2或装，

代入得直线，的方程为y=2或4x-3y+2=0.

故选C.

例4、已知m,n,a,beR,且满足3nl+4n=6,6a+8b=1,则-a)2+(n—b)2的最小值为

【答案】］

解：设点A(m,n),B(a,b),直线k：3x+4y=6,直线％：6%+8y=1.

由题意知点A(m,n)在直线/1：3万+4丫=6即6%+8〉=12上，点B(a