(许洛平)许昌、洛阳、平顶山市2025届高三第一次质量检测（一模） 数学试卷（含答案解析）

豫西北教研联盟(许洛平)2024—2025学年高三第一次质量检测数学注意事项： 2024.10.291.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(x.-3),b=(3x,x+2),若a·b=0,则x=A.-1B.2C.2或-1D.2或-22.已知集合A={x||<x<2},B={x|1<x<a},若B⊆A,则实数a的取值范围是A.(2,+∞)B.(1,2]C.(-∞,2]D.[2,+∞)3.已知sinα+π4A.19B.-19C.894.下列选项中，p是q的充要条件的是A.已知非零向量(a,b,c,p:a·c=b·c,q:a=bB.已知x∈R,p:x²+2x-3<0,q:0<x<1C.在△ABC中,p:A>B,q:sinA>sinBD.直线l₁:ax+2y+6=0,l₂:x+(a-1)y+3=0,p:l₁∥l₂,q:a=25.已知fx=lnx+A.{x|-2≤x≤4}B.{x|-4≤x≤2}C.{x|x≥4或x≤-2}D.{x|x≥2或x≤-4}6.过双曲线C:x2a2-y2b2=1（a＞b＞0）A.2B,3C.2D.5数学第1页(共4页)7.已知数列{an},{bn}中,a₁=2,b₁=6,an₊₁=2A.4B.5C.6D.78.已知a>0,若函数fx=-aA.(e,+∞)B.(1,e)C.(0,1)D.(1,+∞)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知ab=14且a,b∈(0,A.a2+b2≥1210.在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边与以O为圆心，l为半径的圆交于点A32-12,射线OA绕点O逆时针旋转2θ后交圆O于点B，若点B的纵坐标为y,设A.α=B.fC.函数y=f(θ)的单调递增区间为-D.f(θ)的对称中心为π11.在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的中点，P为线段A₁E上的动点，Q为底面ABCD(含边界)上的动点,且平面A₁QC⊥平面A₁DC,则A.直线BP与平面BCC、B₁所成角的最大值为πB.点Q的轨迹长度为5C.三棱锥Q-A₁D₁E的体积为定值D.若A1P=λA1E,且PQ∥平面ADD₁数学第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足z(4-3i)=2+i,则|z|=.13.设抛物线C:y²=4x的焦点为F,直线l:4x-5y+4=0与C的一个交点为M,直线MF与C的另一个交点为N,则|MN|=.14.已知三棱锥P-ABC、AC=22,PB=2,AB⊥BC,二面角P-AB-C的大小为60°,当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时，其外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)设F₁,F₂为椭圆C:x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）(1)求椭圆C的方程；(2)过点F₂作直线l与C交于A,B两点,△F₁AB的面积为1227,16.(15分)已知函数fx=32sinx+cos2x2,在△ABC中,角A,B,C(1)求B;(2)若2b²=2c²+ac,求a+bx数学第3页(共4页)17.(15分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥PD,△PCD为等边三角形,四边形ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,CD=2AB=2.(1)证明:平面PAD⊥平面PDC;(2)若PA与平面ABCD所成的角为60°,求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.18.(17分)已知函数f(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x-y+1e=0,(2)若a≤-1e2,判断函数(3)当a=0时,证明:(eᵐfx≤1-mx+m²,其中0≤x≤2,0<19.(17分)已知有穷数列a₁,a₂,…,an(n≥4)的各项均为正整数，记集合M={x|x=aja(1)若数列{an}为1,2,4,8,试写出集合M,并求card(M(2)若{an}是递增数列且card(M)=n-1,求证：{a(3)判断card(M)是否存在最大值，若存在，试说明理由.数学第4页(共4页)原卷扫描版豫西北联盟第一次联考数学答案原卷扫描版一、选择题1.C2.C3B4.C5.D6.A7.B8.D二、选择题9.ACD10.BC11.ABD三、填空题12.5513.25/4四、解答题15.解:(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0),因为||OG|=|OH|,|OF₁|=|OF₂|,所以四边形GF₁HF₂为平行四边形，其面积设为S，则所以c=l,…………2分分…………………所以又解得………………4分所以椭圆C的方程为……………5分(2)易知l的斜率不为0,设l:x=my+1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),联立x=my+1x24所以分…………………7所以分…………………9由分…………………10解得m=±1,…………12所以l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.…………………1316.解:(1)因为fx=3所以由fB=sinB+π61因为0<B<π,所以π6<B+π所以B+π6=(2)由(1)得cosB=12=a2+c2-b22ac8分把a=32c代入2b²=2c²+ac,可得b=7211分13分17.(1)证明:取DC的中点F,连接AF,PF,则AF⊥DC.1515分又△PDC为等边三角形,PF⊥DC,所以CD⊥平面PAF,所以PA⊥DC.…3分又PA⊥PD,所以PA⊥平面PDC,PA⊂平面PAD,平面PAD⊥平面PDC.分………………6(2)由(1)知CD⊥平面PAF,∴平面PAF⊥平面ABCD,则点P在平面ABCD内的射影在直线AF上，即∠PAF为直线PA与平面ABCD所成的角,则∠PAF=60°,......7分由(1)知PA⊥平面PDC,..PA⊥PF,又△PCD为边长为2的等边三角形，则.PF=则PA=1,AF=2⇒BC=2,…………8分以F为原点,FC,FA所在直线为x,y轴,过点F在面PAF中做FE的垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，过P作PG⊥AF,交AF于G,则PG=32又分…………………9设平面PBC的法向量为n=令z₁=2,则x1:n=302乂PA设平面PAD的法向量为m=令z₂=1,则x3分…………………1设平面PBC与平面PAD的夹角为α则cos综上，平面PBC与平面PAD的夹角余弦值为…………1518.解:(1)因为f所以…………………1f'（1）=-a又…………2所以f（x）在点（l,f（1））处的切线方程为…………3分即由已知得a=-1…………43分(2)因为fx=xex令φ(x)=f'(x),则…………………………5依题意,当x>2时,φ'(x)>0,所以f'(x)在(2,+∞)上单调递增;当x<2时,φ'（x）<0,所以f'（x）在（-∞,2）上单调递减分………6分………………………7因为a≤-1e2,则f'xₘᵢₙ≥所以f（x）在R上单调递增……………8(3)欲证eᵐ⋅fx≤1-mx+m²成立，即证设Fx=xex-1-memx-则F'x=设Gx=1-xex-1-me则………………………12由（2）知,G（x）在（-∞,2）单调递减;在（2,+∞）单调递增……13所以G（x）在[0,2]单调递减,且G（m）=0,0<m<2.………………14故当0≤x<m时,G(x)>0,即F'(x)>0,则F(x)在[0,m)单调递增;当m<x≤2时,G（x）<0,即,则F（x）在（m,2]单调递减…………15故F(x)在x=m处取极大值,且极大值为F(m)=0,…………………………16所以当x∈[0,2]时,F(x)≤F(m)=0恒成立,即fx4即成立………………1719.解:（1）因为分…………………2所以集合M={2,4,8},所以card（M）=…………………4(2)证明:因为{an}是递增数列,且card(M)=n-1,因为{an}是递增数列，所以a所