2024-2025学年新教材高中数学第10章概率10.1.4概率的基本性质学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE10.1.4概率的基本性质学习目标核心素养1.通过实例，理解概率的性质．(重点、易混点)2．驾驭随机事务概率的运算法则．(难点)1.通过对概率性质的学习，培育数学抽象素养．2．通过利用随机事务概率的运算法则求解随机事务的概率，培育数学运算素养.甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3.问题：甲获胜的概率是多少？概率的基本性质性质1对随意的事务A，都有P(A)≥0.性质2必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.性质3假如事务A与事务B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．性质4假如事务A与事务B互为对立事务，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．性质5假如A⊆B，那么P(A)≤P(B)．性质6设A，B是一个随机试验中的两个事务，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思索1：设事务A发生的概率为P(A)，事务B发生的概率为P(B)，那么事务A∪B发生的概率是P(A)＋P(B)吗？[提示]不肯定．当事务A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；当事务A与B不互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．思索2：从某班任选6名同学作为志愿者参与市运动会服务工作，记“其中至少有3名女同学”为事务A，那么事务A的对立事务eq\x\to(A)是什么？[提示]事务A的对立事务eq\x\to(A)是“其中至多有2名女同学”．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若A与B为互斥事务，则P(A)＋P(B)＝1. ()(2)若P(A)＋P(B)＝1，则事务A与B为对立事务． ()(3)某班统计同学们的数学测试成果，事务“全部同学的成果都在60分以上”的对立事务为“全部同学的成果都在60分以下”． ()[提示](1)错误．只有当A与B为对立事务时，P(A)＋P(B)＝1.(2)错误．(3)错误．事务“全部同学的成果都在60分以上”的对立事务为“至少有一个同学的成果不高于60分”．[答案](1)×(2)×(3)×2．甲、乙两名乒乓球运动员在一场竞赛中甲获胜的概率是0.2，若不出现平局，那么乙获胜的概率为()A．0.2 B．0.8C．0.4 D．0.1B[乙获胜的概率为1－0.2＝0.8.]3．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参与奥运会乒乓球女子单打竞赛，甲夺得冠军的概率为eq\f(3,7)，乙夺得冠军的概率为eq\f(1,4)，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．eq\f(19,28)[由于事务“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事务“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事务不行能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事务概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为eq\f(3,7)＋eq\f(1,4)＝eq\f(19,28).]4．若P(A∪B)＝0.7，P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则P(A∩B)＝________.0.3[因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，所以P(A∩B)＝P(A)＋P(B)－P(A∪B)＝0.4＋0.6－0.7＝0.3.]互斥事务、对立事务的概率公式及简洁应用【例1】备战奥运会射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该选手射击一次，(1)命中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．[解]记“射击一次，命中k环”为事务Ak(k＝7,8,9,10)．(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)记“至少命中8环”为事务B．B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.(3)记“命中不足8环”为事务C．则事务C与事务B是对立事务．所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.互斥事务、对立事务的概率公式的应用(1)互斥事务的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个特别重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事务间是否互斥，同时要学会把一个事务分拆为几个互斥事务，然后求出各事务的概率，用加法公式得出结果．(2)当干脆计算符合条件的事务个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事务的个数，求得对立事务的概率，然后利用对立事务的概率加法公式P(A)＋P(B)＝1，求出符合条件的事务的概率．eq\o([跟进训练])1．在数学考试中，小王的成果在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成果的概率；(2)小王数学考试及格的概率．(60分以上为合格，包含60分)．[解]设小王的成果在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事务A，B，C，且A，B，C两两互斥．(1)设小王的成果在80分以上(含80分)为事务D，则D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)设小王数学考试及格为事务E，由于事务E与事务C为对立事务，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93.互斥事务、对立事务的概率公式的综合应用[探究问题]1．若事务A和事务B为互斥事务，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？[提示]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．若事务A和事务B不是互斥事务，那么P(A)，P(B)，P(A∪B)有什么关系？[提示]P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．3．若事务A和事务B是对立事务，那么P(A)，P(B)有什么关系？[提示]P(A)＋P(B)＝1.【例2】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随意就座时，(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率．[思路探究]eq\x(利用树状图法列举事务)→eq\x(计算样本点个数)→eq\x(利用古典概型概率公式计算概率)[解]将A，B，C，D四位贵宾就座状况用下面图形表示出来：如图所示，本题中的样本点的总数为24.(1)设事务A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事务A只包含1个样本点，所以P(A)＝eq\f(1,24).(2)设事务B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事务B包含9个样本点，所以P(B)＝eq\f(9,24)＝eq\f(3,8).1．求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率．[解]由本例解析可知，设事务C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事务C包含8个样本点，所以P(C)＝eq\f(8,24)＝eq\f(1,3).2．求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率．[解]法一：设事务D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，事务E为“这四人中有2人坐在自己的席位上”，则事务E包含6个样本点，则D＝A＋E,且事务A与E为互斥事务，所以P(D)＝P(A＋E)＝P(A)＋P(E)＝eq\f(1,24)＋eq\f(6,24)＝eq\f(7,24).法二：设事务D为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，则eq\x\to(D)＝B＋C，所以P(D)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－eq\f(3,8)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,24).1．当事务个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树状图法直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法．树状图可以清楚精确地列出全部的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的状况．2．在求概率时，若事务可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采纳图表的形式可以精确地找出样本点的个数．故采纳数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来便利．概率与统计的综合应用问题【例3】已知国家某5A级大型景区对拥挤等级与每日游客数量n(单位：百人)的关系有如下规定：当n∈[0,100)时，拥挤等级为“优”；当n∈[100,200)时，拥挤等级为“良”；当n∈[200,300)时，拥挤等级为“拥挤”；当n≥300时，拥挤等级为“严峻拥挤”．该景区对6月份的游客数量作出如图的统计数据：(1)下面是依据统计数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计该景区6月份游客人数的平均值．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)游客数量(单位：百人)[0,100)[100,200)[200,300)[300,400]天数a1041频率beq\f(1,3)eq\f(2,15)eq\f(1,30)(2)某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为“优”的概率．[解](1)游客人数在[0,100)范围内的天数共有15天，故a＝15，b＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，游客人数的平均值为50×eq\f(1,2)＋150×eq\f(1,3)＋250×eq\f(2,15)＋350×eq\f(1,30)＝120(百人)．(2)从5天中任选2天，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点，其中游客拥挤等级均为“优”的有(1,4)，(1,5)，(4,5)，共3个，故所求概率为eq\f(3,10).解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的学问转化为事务，列举基本领件，求出基本领件和随机事务的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.eq\o([跟进训练])2．某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力状况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：视力数据4.04.14.24.34.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3人数22211(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值．(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4,4.5,4.6,4.8.若从这六个班中随意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的肯定值不小于0.2的概率．[解](1)高三(1)班8名学生视力的平均值为eq\f(4.4×2＋4.6×2＋4.8×2＋4.9＋5.1,8)＝4.7，故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.(2)从这六个班中随意抽取两个班学生视力的平均值作比较，全部的取法共有15种，而满意抽取的两个班学生视力的平均值之差的肯定值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4，4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的肯定值不小于0.2的概率为P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).一、学问必备1．多个互斥事务的概率公式假如事务A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事务和的概率等于概率和．2．性质6中公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)适用于一个随机试验中的随意两个事务，也适用于A，B为互斥事务的状况，因为互斥事务满意P(A∩B)＝0，此时公式变为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这就是互斥事务的概率加法公式．二、方法必备1．运用互斥事务的概率加法公式解题时，首先要分清事务之间是否互斥，同时要学会把一个事务分拆为几个互斥事务，做到不重不漏，分别求出各个事务的概率，然后用加法公式求出结果．2．求困难事务的概率通常有两种方法：一是将所求事务转化成彼此互斥的事务的和；二是先求其对立事务的概率，然后再运用公式求解．假如采纳方法一，肯定要将事务分拆成若干互斥的事务，不能重复和遗漏；假如采纳方法二，肯定要找准其对立事务，否则简洁出现错误．1．从集合{a，b，c，d，e}的全部子集中任取一个，若这个子集不是集合{a，b，c}的子集的概率是eq\f(3,4)，则该子集恰是集合{a，b，c}的子集的概率是()A．eq\f(3,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,8)C[该子集恰是{a，b，c}的子集的概率为P＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).]2．甲、乙两队进行足球竞赛，若两队战平的概率是eq\f(1,4)，乙队胜的概率是eq\f(1,3)，则甲队胜的概率是________．eq\f(5,12)[记甲队胜为事务A，则P(A)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).]3．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是________．0.10[“射手命中圆面Ⅰ”为事务A，“命中圆环Ⅱ”为事务B，“命中圆环Ⅲ”为事务C，“不中靶”为事务D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝