专题09分式方程（2大考点4种题型）

专题09分式方程（2大考点+4种题型）思维导图核心考点与题型分类聚焦考点一：分式方程及其解法考点二：分式方程应用题题型一：分式方程的解法题型二：根据分式方程解的情况求值题型三：分式方程无解问题题型四：分式方程的实际应用考点一：分式方程及其解法1、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2、解分式方程的方法通过去分母把分式方程转化为整式方程，再求解．3、增根的概念分式方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得分式方程中的分母为0，那么这个解就是方程的增根．4、解分式方程的一般步骤（1）方程两边都乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验．有两种方法：①将求得的整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，则这个根为增根，方程无解；如果最简公分母不等于0，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；②直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解．分式方程组的概念由两个或两个以上的分式方程构成的方程组叫做分式方程组．解分式方程组的方法找出分式方程组中相同的分式进行换元，将分式方程组转化为整式方程组，解方程组，然后进行检验．考点二：分式方程应用题列方程（组）解应用题时，如何找“相等关系”利用题目中的关键语句寻找相等关系；利用公式、定理寻找相等关系；从生活、生产实际经验中寻找相等关系．题型一：分式方程的解法【例1】．（2023下·上海虹口·八年级统考期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先换元，再去分母整理成整式方程即可．【详解】解：设，则原分式方程可化为：，∴．故选C．【点睛】本题主要考查了换元法，确定换元的新未知数与原方程中代数式的关系是求解本题的关键．【变式1】．（2023下·上海徐汇·八年级统考期末）在分式方程中，令，则原方程可化为关于y的方程是．【答案】【分析】利用换元法，将代入原方程，再将其化为整式方程即可．【详解】解：设，则原方程可化为，即，故答案为：．【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程是常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解分式方程的特点，寻找解题技巧．【变式2】．（2023下·上海杨浦·八年级校考期中）用换元法解方程，设，则得到关于的整式方程为．【答案】【分析】设，则，转化后再进一步整理得到整式方程即可．【详解】解：设，∴，则原方程为：，整理得：，故答案为：．【点睛】本题考查了用换元法解分式方程，掌握换元法、变量代换法，通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化是解题的关键．【变式3】．（2023下·上海黄浦·八年级统考期末）解方程：【答案】【分析】运用乘法公式，分式的性质解分式方程即可．【详解】解：方程两边同时乘以：，得：，整理得：，∴，解得：，经检验：是增根，故舍去，∴原方程的根是．【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握乘法公式，解分式方程的方法是解题的关键．【变式4】．（2023下·上海虹口·八年级统考期末）解方程：．【答案】【分析】去分母，整理得，求出方程的根，最后检验．【详解】解：整理得：

解得：，经检验是原方程的根，是原方程的增根，舍去．所以，原方程的根为【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟悉分式方程求解过程．题型二：根据分式方程解的情况求值【例2】．（2022下·上海普陀·八年级校考期中）已知关于的分式方程有增根，则．【答案】1【分析】先把分式方程化为整式方程得到，然后把代入得，再解关于的方程即可．【详解】解：去分母得，整理得，把代入得，解得；所以当时，原方程有增根．故答案为．【点睛】本题考查了分式方程的增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．【变式1】．（2023下·上海普陀·八年级校考阶段练习）当时，解关于的方程会产生增根．【答案】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．【详解】解：解：去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程得：，故答案为：．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．【变式2】．（2022下·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）已知方程只有一个根，求a的值．【答案】5或9或；【分析】去分母化为一元二次方程，分别讨论一元二次方程有一根为x=1、有一根为x=2、有两个相同根时，求得a的值再代入验证即可；【详解】解：去分母得：去括号得：①有一根为x=1时，代入得a=5，，则另一个根为x=0，此时分式方程只有一个根x=0，且分母不等于零，符合题意；②有一根为x=2时，代入得a=9，，则另一个根为x=1，此时分式方程只有一个根x=1，且分母不等于零，符合题意；③有两个相同根时，48（5a）=0，a=，，，此时分式方程只有一个根x=，且分母不等于零，符合题意；∴a的值为5或9或；【点睛】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程的分母不能为零是解题关键．【变式3】．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根．【答案】当时，；当时，；当时，【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有且仅有一个实数根，分情况讨论，即可确定出k的值即可．【详解】解：方程两边同时乘以得：．整理得：．∴．∵原方程只有一个实数根，∴．即．解得：．当时，原方程的根为：．若整式方程中的，则增根为或，当时，代入方程可得，，此时方程，解得：（舍去）当时，代入方程可得，，此时方程为，解得：（舍去）综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查了分式方程含参问题、一元二次方程根的情况，熟练掌握分式方程的计算方法和一元二次方程根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，是解题的关键．题型三：分式方程无解问题【例3】．（2021下·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）若关于方程无解，则的值是．【答案】1【分析】把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出的值，两者相等得到关于的方程，求出方程的解即可得到的值．【详解】解：去分母得：，去括号得：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：，关于方程无解，，，，解得：，故答案为：1．【点睛】本题考查了解分式方程、分式方程无解，熟练掌握解分式方程的步骤以及理解分式方程无解的情况是解题的关键．【变式1】．（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是．【答案】或【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可．【详解】解：将分式方程转化为整式方程为：，整理得：，∵分式方程无实数根，①整式方程无实数根，则：，解得：；②分式方程有增根，则：，∴，当时：，解得：，当时：，解得：，综上：m取值范围是或；故答案为：或．【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算．【变式2】．（2021下·上海·八年级上外附中校考期末）若关于x的方程无解，求实数的值．【答案】或或【分析】方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，根据分式方程无解可得或或的表达式中分母为0，再代入的表达式中即可求出的值．【详解】解：方程两边同时乘以，得：，解得：，当时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：，当时，原分式方程无解，，或，当时，，解得：，当时，，解得：，综上，的值为或或．【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的关键．题型四：分式方程的实际应用【例4】．（2022下·上海·八年级上海市田林第三中学校考期中）5G的速度很快，比4G速度每秒多95MB，一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G的速度．【答案】100MB/秒【分析】设5G的速度是xMB/秒，则4G速度是（x95）MB/秒，根据“5G比4G要快190秒”列出方程，求解即可．【详解】解：设5G的速度是xMB/秒，则4G速度是（x95）MB/秒，由题意得：，解得：（舍去），经检验，是原方程的根，∴5G的速度是100MB/秒．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系是解题的关键．【变式1】．（2022下·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考阶段练习）若A、B两地相距30千米，甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，且甲比乙早出发2小时．如果乙比甲每小时多行2千米，那么两人恰好在AB中点相遇．求甲、乙两人的速度各是每小时多少千米？【答案】甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米．【分析】设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米，根据“行驶一半的路程甲所用时间比乙所用时间多2小时”列出方程求解即可．【详解】解：设甲的速度是每小时x千米，则乙的速度是每小时（x＋2）千米，根据题意，得：，整理，得：，解得：，，经检验：，都是原方程的解，但不符合题意，舍去，∴原方程的解是x＝3，则x＋2＝5，答：甲的速度是每小时3千米，乙的速度是每小时5千米．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，关键是能够表示两人所用时间，然后根据题意列方程求解．【变式2】．（2022下·上海普陀·八年级校考期中）一项工程，如果甲、乙两队单独完成，甲队比乙队多用5天，如果甲、乙两队合作，6天可以完成.求两队单独完成此项工程各需多少天？【答案】甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天．【分析】设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天，由甲、乙两队合作，6天可以完成，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设甲队单独完成此项工程需x天，则乙队完成此项工程需（x−5）天，根据题意得：，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝15，经检验：x＝15是原方程的解，且符合题意，则x−5＝10，答：甲队单独完成此项工程需15天，乙队单独完成此项工程需10天．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【变式3】．（2023下·上海静安·八年级统考期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元．(1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______；(2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件．【答案】(1)(2)该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件．【分析】（1）设从乙地购进的商品件数是y件，依题意得，据此即可求解；（2）根据“乙地同一商品每件比甲地便宜30元”列分式方程，解方程即可得解．【详解】（1）解：设从乙地购进的商品件数是y件，依题意得，整理得，∴，故答案为：；（2）解：根据题意得，解得或，经检验，或都是分式方程的解，但不符合题意，舍去，∴，，答：该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件．【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验．一、单选题1．（2022下·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．【详解】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，故选：B．【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．2．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）分式方程经过“去分母”和“去括号”步骤后得到的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分式方程变形后，两边同乘去分母，去括号得到结果，即可作出判断．【详解】解：分式方程变形得：，去括号得：，故选：D．【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．3．（2023下·上海宝山·八年级校考阶段练习）用换元法解方程时，设则原方程可变形为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】已知方程变形后，将代入即可得到结果．【详解】解：根据题意得：，即，由，得到方程化为关于y的整式方程是，故选：C．【点睛】此题考查了换元法解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（2023下·上海·八年级阶段练习）方程的根是（）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】A【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．【详解】解：，，解得：，检验：当时，，∴是原方程的增根，当时，，∴是原方程的根，故选：A．【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意，解分式方程必须检验．5．（2023下·上海·八年级专题练习）若关于x的分式方程无解，则m的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】先化分式方程为整式方程，分系数中含m和不含m两种情况求解，含m用一元一次方程的无解知识求解；不含m时，用分式方程的增根求解．【详解】将方程去分母得到：，即，∵分式无解，∴将代入中，解得，故选D．【点睛】本题考查分式方程无解的情况，正确理解分式方程无解的意义得到整式方程的解是解题的关键．6．（2023下·上海静安·八年级上海市回民中学校考期中）若x为实数，且满足，则（）A． B． C．或 D．无法确定【答案】B【分析】设，方程变形后，求出的值，即为的值．【详解】解：设，方程变形为，即，解得：或，当时，化简得，，方程无解，则故选：B【点睛】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．二、填空题7．（2023下·八年级单元测试）若关于的分式方程的解是，则．【答案】【分析】把代入分式方程计算，即可求解．【详解】解：把代入分式方程得，，分式方程有意义，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查分式方程的解，掌握概念、正确计算是解题的关键．8．（2023下·上海宝山·八年级校考期中）已知解关于的方程产生增根，那么的值是．【答案】【分析】根据增根的概念，可知，由此即可求解．【详解】解：∴，∵关于的方程产生增根，∴，把代入得，，故答案为：．【点睛】本题主要考查分式的增根的概念，理解并掌握分式中增根的含义是解题的关键．9．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设，那么可将原方程变形后表示为关于y的一元二次方程一般形式：．【答案】【分析】将原分式方程中的全部换成y，最后去分母化成整式方程即可．【详解】解：化简得：，把代入得：，两边同时乘以y得：，故答案为：．【点睛】本题考查了整体换元法、去分母将分式方程化为整式方程，正确代入以及去分母是解题关键．10．（2023下·上海普陀·八年级校考阶段练习）用换元法解分式方程时，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程是．【答案】【分析】把原方程化为，设，原方程可以化为，可得.【详解】解：∵，∴，设，∴原方程可以化为，∴，故答案为：.【点睛】本题考查的是利用换元法解分式方程，掌握换元的方法是解本题的关键.11．（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）已知关于x的方程有增根，那么．【答案】【分析】先去分母得，再把增根代入即可求得k值．【详解】解：，去分母得：，由分式方程有增根，得到，即，把代入整式方程，解得．把代入整式方程无解．故答案为：．【点睛】本题主要考查分式方程的解法及增根问题，解题的关键是熟知分式方程的解法．12．（2023下·上海·八年级专题练习）方程的根是．【答案】【分析】先将分式方程化为整式方程，进而根据因式分解法解一元二次方程，最后检验即可求解．【详解】解：，去分母得：，分解因式得：，∴或，解得：，，检验：把代入得：，∴是原方程的增根，把代入得：，∴是原方程的根，即原方程的根是．故答案为：．【点睛】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键，注意解分式方程要进行检验．13．（2023下·八年级单元测试）若关于的分式方程无解，则的值为．【答案】10或或3【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．【详解】解：（1）为原方程的增根，此时有，即，解得；（2）为原方程的增根，此时有，即，解得．（3）方程两边都乘，得，化简得：．当时，整式方程无解．综上所述，当或或时，原方程无解．故答案为：10或或3．【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．三、解答题14．（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）解方程：【答案】【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：去分母得：，解得：，检验：当时，，当时，，∴原方程组的解为．【点睛】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根．15．（2023下·上海宝山·八年级校考阶段练习）解方程：．【答案】，【分析】先去分母得到整式方程，解这个整式方程再验根即可．【详解】解：方程两边同乘得：，整理得：，配方得：，解得：或，即，，检验，时，，∴原方程的解为，．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，去分母化成整式方程是解题关键．16．（2023下·上海虹口·八年级上外附中校考期末）．【答案】【分析】根据分式方程的解法求解即可.【详解】解：方程两边同时乘以，得：，去括号，得：，整理，得，解得：，经检验，都是原方程的根，∴原方程的根为：.【点睛】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的解法，不要漏掉检验这一环节.17．（2023下·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）解方程：．【答案】，，【分析】利用完全平方公式将原方程变形为，令，则，求出一元二次方程的解后，再解分式方程即可．【详解】解：，，，令，则，因式分解，得，解得或，当时，，去分母，得，，，经检验，是的解；当时，，去分母，得，即，解得，经检验，是的解；综上可知，原方程的解为，，．【点睛】本题考查解分式方程、一元二次方程，解题的关键是利用完全平方公式、换元法将原方程进行变形．18．（2021下·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）．【答案】【分析】先去分母将方程化为整式方程，再解整式方程，检验即可得到答案．【详解】解：去分母得：，移项合并同类项得：，，解得：，，当时，，是原方程的解，当时，，不符合题意，不是原方程的解，原方程的解为．【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意要检验．19．（2021下·上海浦东新·八年级校考期中）解方程.【答案】【分析】方程两边同时乘以，将分式方程转化为一元二次方程，解一元二次方程，检验后可得原方程的解．【详解】解：方程两边同时乘以得：，整理得：，∴，∴或，∴，，检验：当时，，所以是增根，当时，，所以原方程的解为．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，在解分式方程时注意要检验．20．若解分式方程产生增根，则m的值是多少？【答案】m=1或m=2.【分析】方程两边都乘以最简公分母x（x+1）化分式方程为整式方程，然后把增根代入进行计算即可求出m的值．【详解】方程两边都乘以x（x+1）得，2x2m1=（x+1）2，若分式方程产生增根，则x（x+1）=0，解得x=0或x=1，把代入整式方程，得解得；把代入整式方程，得解得∴m=1或m=2.【点睛】本题考查了分式方程的增根的问题，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值，把分式方程化为整式方程代入求解即可．21．（2022上·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）关于的方程只有一个实数根，求：的值．【答案】的值为或【分析】先将分式方程转化为整式方程，把分式方程的讨论转化为整式方程的解的讨论，求解即可．【详解】解：将转化为整式方程可得：；当时，方程为，解得经检验，是原方程的解；当时，方程为一元二次方程，判别式所以一元二次方程有两个不相等的实数根，由题意可得，一元二次方程必有一个根为分式方程的增根，由分式方程可得，方程的增根只可能为0或1，当时，方程不成立，舍去；当时，方程为，解得，将代入可得解得或经检验，是原分式方程的解，综上：的值为或．【点睛】本题考查了解分式方程，注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能是转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式增根等知识全面分析．22．（2023下·上海黄浦·八年级校考阶段练习）甲乙两人各加工30个零件，甲比乙少用1小时完成任务；乙改进操作方法，使生产效率提高了一倍，结果乙完成30个零件的时间比甲完成24个零件所用的时间少1小时．问甲乙两人原来每小时各加工多少个零件．【答案】6个、5个．【详解】试题分析：甲乙原来生产零件之间有一定的等量关系．乙改进之后，两者之间又存在一定的等量关系．所以可以用二元一次方程组解答，分别设甲乙原来每小时加工零件分别为x,y个，根据题意列出方程．解：设甲乙两人原来每小时各加工零件分别为x个、y个，由题意得，，解得：．经检验它是原方程的组解，且符合题意．答：甲乙两人原来每小时各加工零件分别为6个、5个．23．（2022下·上海·八年级期末）学校到学习基地的公路距离为15千米，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘坐汽车出发，结果他们同时到达，如果汽车的平均速度与自行车的平均速度的比是3:1，问：汽车与自行车的平均速度分别是多少？【答案】自行车的平均速度是15千米/小时，汽车的平均速度是45千米/小时.【详解】试题分析：设自行车的平均速度是x千米/时，汽车的平均速度是3x千米/时，根据学校到学习基地的公路距离为15千米，部分同学骑自行车先走，40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达学习基地可列方程求解．试题解析：设自行车的平均速度是x千米/小时，汽车的平均速度是3x千米/小时，由题意得：，x=15，经检验，x=15是原方程的解且符合题意，∴3x=45，答：自行车的平均速度是15千米/小时，汽车的平均速度是45千米/小时.24．为庆祝“六一”活动,镇活动中心需要600个环保纸袋,原计划由初二(1)班全体同学制作完成、在实际制作时,又有初二(2)班10名同学自愿加入参与制作,这样,实际参加制作的同学人均制作的数量比原计划少5个,那么初二(1)班共有多少名同学?【答案】30名【分析】设该班级共有x名同学，根据原计划制作的个数实际每个学生做的个数＝5，可列出关于x的分式方程，