2020-2021学年人教A版（2019）高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷四（人教A版（2019））解析版

2020-2021学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷四

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若iz=-3+2i（其中i为虚数单位），则复数z的共轨复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】由力=一3+2，可得2=—-3匕+2/=一-3/++2、/=—-3—z-2=2+33

ii2-1

所以z的的共规复数1=2-3〃根据复数的几何意义可知，I在复平面内对应的点为（2,-3）,位于第四象

限.故选：D

2.在AABC内角A，B,C的对边分别是。，b,c,已知&=2指，c=20，=y,则NC的大

小为（)

n…3兀口兀-5万c兀c71

A.一或—B.一或—C.-D.一

446664

【答案】C

27620।

【解析】由正弦定理‘一=」一得.万一sinC，得sinC=一，

sinAsinCsin—2

3

因为a=2-^6>c=2>所以C<A=彳,

乃

所以c=上.故选：C.

6

3.在某中学举行环保知识竞赛中，将三个年级参赛的学生的成绩进行整理后分为5组，绘制出如图所示

的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40,

则成绩在80-100分的学生人数是（）

5060708090100

A.15B.18C.20D.25

【答案】A

【解析】第二组的频率是0.04x10=0.4,所有参赛的学生人数为一=100,那么80-100分的频率是

0.4

（0.01+0.（X）5）x10=0.15,所以人数为0.15x100=15，故选：A.

4.已知AO,BE分别为△ABC的边8C,4c上的中线，设而=£,屁=6，则成等于（）

B.—a+—b

33

D.——2a-+—4b2

33

所以2诙=丽+品，①

同理得2茄=而+而=—丽+（前—丽）=一2丽+豆心

即2AD^-2BA+BC-®

①x2+②得4而+2而=3BC，

即4b+2M=3品,

2-4-

所以+故选：B.

5.在AA3C中，内角A，B,C的对边分别为“，b,c.若sinA:sin3:sinC=3:7:8，则AABC的形

状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定

【答案】C

【解析】因为sinA:sinB:sinC=3:7:8,所以a:b:c=3:7:8，设a=3Z，b=k,c=8k,则角C为

AA3C的最大角，由余弦定理可得cosC=,=—三＜0,即一＜C〈》，故AABC是钝

42k272

角三角形.故选：C.

6.在四棱锥P—ABCP中，平面A8CD,四边形ABC。是正方形，PD=AD，M，N分别为A3,

PC的中点，则8N与MC所成角的余弦值是（）

A.叵B.五C.叵D

6610f

【答案】D

【解析】如图，不妨设AT>=2.

取PO的中点为Q,连接QM,QN,QC,

则QNHCDHMB电QN=；CD=MB,

故四边形MBNQ为平行四边形，...BN//MQ.

：.NQMC即为所求异面直线所成的角.

在△QMC中，MC=CQ=BQM=瓜,

则cosZQMC=5+<5=叵故选：D.

2xx/5xv610

7.已知向量〃=(Ji,o),5=3—2),且&_1.(&-25),则》=()

A.-73B.-立C.百D.

【答案】D

【解析】由题意，向量£=（、回,0）,B=（x—2）,，£一2万=（百一2x,4）,

又杨，可得G（6-2X）=（）,解得1=走，故选：D.

8.在三棱锥A—BCD中，AB=CD<，AD=BC=2,AC=\,且二面角B—AC—。等于工，则

3

三棱锥A—BC£>的内切球的表面积为（）

C.—D.兀

2

【答案】A

【解析】依题意得：

AC2+BC2=AB2，AC2+AD2=CD2，

则AC_LBC,AC±AD,

分别过点A、8作AE〃BC、BEPAC交于点七，则AC_LA£,作£)〃_LAE交AE于点“，则

平面ACBE

.・.〃4”即为二面角5—AC—。所成平面角，则NZMH=4

3

AH,DH=J3

2

，%-ABc=gsABC.DH=；xgx\x2xC=,

连接“8

•rBE口AC,BCUAE,AC±AE

四边形ACBE是矩形

ZAEB=90°

在m!JHEB中,HE=\,EB=AC=l

：.HB=41

*/£>〃_L平面ACBE

：.ZDHB=90°

在改口中，DH=6HB=y/2

：.BD=y[5

过点。作OE，BC交BC于点F，

:.DF=2

设内切球的半径为一，则

=

^D-ABC§「（SABC+SACD+SABD+SBCD）

即r（S[A8C+S[ACD+邑ABD+^^BCD）=6

r|-xlx2+-xlx2+-x2x2+-x2x21=^

<2222J

V3

r=——

6

,、71

/.S=4^r2=—故选：A

3

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若复数z满足z<2+i）=）（1-i）+l,则关于复数z的说法正确的是（）

A.复数z的实部为1B.复数z的虚部为0

C.复数z的模长为1D.复数z对应的复平面上的点在第四象限

【答案】AD

【解析】设z=。+初（a、bwR）,则（a+沆）•（2+i）=（a-•沅）•（1-i）+1,

2

化简得（2a-/?）+（«+2b）i-（a-h+\）-（a+b）i,b=——

3

2a—b-a-b+\

根据对应相等得：\C,

a+28=二-（Q+Z?）

解得a=1,,z=1---i,

3

1,一|）在第四象限，故选：AD.

复数z对应的复平面上的点|

10.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14亿人口计算，中国人均粮食产量约

为950斤-比全球人均粮食产量高了约250斤.如图是中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产

量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在2010-2019年中（）

慑食产址（千万吨）年末总人口（千万人）

,，八《』40.01

上.…闻管T

M—吠嘴f।IT*

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-1iII1IM■II1—J」“、1|1T11|।1।1|

IIBIiHBl1T

ci■■■■■■■■■r

201弊XM1年2012年2013年2014年2015年2016年237年2018年期9年»1哂2011隼201旄2013隼20M隼2015隼201碑201碑201碑2019年

A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增

B.2011年我国粮食年产量的年增长率最大

C.2015年-2019年我国粮食年产量相对稳定

D.2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰

【答案】BCD

【解析】由中国国家统计局网站中2010-2019年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条

形图,知:

对于A,我国粮食年产量在2010年至2015年逐年递增，在2015年至2019年基本稳定在66千万吨左右，

2016年，2018年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A错误；

对于B,由粮食产量条形图得2011年我国粮食年产量的年增长率最大，约为5%,故B正确；

对于C,在2015年至2019年基本稳定在66千万吨以上，故C正确；

对于D,2015年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48吨/人，故D正确.故选：BCD

11.设加、〃为两条直线，夕为两个平面，则下列说法正确的是（）

A.若加_L〃，mVa,nVp,则

B.若加〃〃，〃//£,则。_1_尸

C.若加_L",ml!a,nll/3,则aUp

D.若相〃〃，m±a>则a//，

【答案】C

【解析】A.若加_L〃，〃z_La,〃，力，相当于两平面的法向量垂直，两个平面近出，A正确:

B.若加〃〃，mla，则〃，a,又〃//£,则平面月内存在直线c〃〃，所以c_La，所以a_L£,B

正确;

C.若加上〃，mlla〃//£,则£可能相交，可能平行，C错；

D.若m//n,mla,U/3,则。，，的法向量平行，所以。//4，D正确.故选：C.

12.对于给定的AABC,其外心为0,重心为G,垂心为“，则下列结论正确的是（）

-----------J---.2

A.AOAB^-AB

2

B.OAOB^OAOC=OBOC

C.过点G的直线/交45、AC于区F,若方后=4丽，AF=^tAC,则!+上=3

A〃

ABAC

与斤司+共线

D.AHABcos8„\~AACT\cosC1

【答案】ACD

如图，设AB中点为M,则OM1AB..'.\AO\cosZOAM=\AM\

AOAB=|AO||AB|COSZOAB=|AB|(|AO|COSNQA3)=I荏=J通(，故A正确:

OAOB=OAOC等价于OA.{OB-0C)=0等价于OA-CB=0,即04，3C，

对于一般三角形而言，。是外心，。4不一定与BC垂直，比如直角三角形ABC中,

若3为直角顶点，则。为斜边AC的中点，。4与5c不垂直.故B错误；

设的中点为。，

则而=2而」（通+而）」仕荏+工通〕=-5-通+工/，

33、>3（/1〃）3A3〃

11,11c

"EG三点共线’..•瓦+次=L即万+1=3,故C正确;

（_____

ABACABBCAC.BC\AB\-\BCcos（乃-B）|AC|-|BCC\|cosC

]=I+1J

网cosB|AC|cosCcosC\ABcos8AC\cosC

=-|BC|+|SC|=O,

A.A.A.

••-i==i―-+\=\―7与BC垂直，又'：AHLBC，'-i==j―-+\=\―7与正共线，故D正确.

L4Bcos/?L4CcosCAficos/?ACcosC

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若一个圆锥的轴截面是面积为48的等边三角形，则该圆锥的表面积为.

【答案】12万

【解析】设圆锥轴截面正三角形的边长是“，

因为正一角形的面积为4百，

所以正/=46,...。=4,

4

所以圆锥的底面半径r=0=2,

2

圆锥的母线/=“=4，

这个圆锥表面枳是：jtr+7rrl=^x224-^x2x4=12^.故答案为：12乃.

14.《易经》中记载着一种几何图形一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中

八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边

2

形的边长为8m,代表阴阳太极图的圆的半径为2m,则每块八卦田的面枳为__________m.

【答案】1672+16--

2

【解析】由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，

顶角为360°=45°,

8

设等腰三角形的腰长为

。_8

由正弦定理可得.135°=嬴杳,

sin----

2

汨oA-135°

解M得a=872sin----.

2

所以三角形的面积S=&sin等)sin45°=320.】-co;135。=⑹&+1),

则每块八卦田的面积为16(0+1)—1*乃x2?=16&+16-](m2).

故答案为：16>/2+16---.

2

15.在四边形ABC。中，A8=6.若。—A=—2Cf4+—IC->8,则4%.方"=.

【答案】12

【解析】根据题意，如图，

T1T

在A8上取一点E,使AE=-AB,

3

->->->T1TI/7t'2T17

则有CE=CA+AE=CA+=CA+-1CB-CAl=-CA+-CB,

f2T1->

又由D4=§C4+§CB,则有&=&，

所以四边形AEC£»为平行四边形，则有。"=怠=，45，

3

又由A3=6，

->->-1--1-->9-

则ABDC=A8—AB=—A3=—x36=12；故答案为：12.

333

16.己如三棱锥力-ABC的四个顶点在球。的球面上，若AB=AC=BC=O8=ZX?=1,当三棱锥力-A8C

的体积取到最大值时，球O的表面积为一

【答案】y

【解析】如图所示，当三棱锥。-A3C的体积取到最大值时，则平面ABC与平面D3C垂直，

取的中点G，连接AG,DG,则4G，8C,OG_L5C,

分别取A4BC与ADBC的外心及尸，分别过及尸作平面ABC与平面OBC的垂线，相交于。，则。为

四面体ABCO的球心,

由A8=AC=8C=DB=OC=1,可得正方形OEGF的边长为正，则OG=，S

所以四面体A—BCD的外接球的半径E=dOG?+BG2=

5万

所以球。的表面积为S=4〃X

T故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

7

17.己知复数z使得z+2ieH,——wR,其中i是虚数单位.

2-z

（1）求复数z的共辗复数三；

(2)若复数(z+〃”)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数加的取值范围.

【答案】⑴4+2/；(2)(-2,2).

【解析】(1)设2=》+克(羽丁€/?),则z+2i=x+(y+2)i

*.*z+2i£R

AJ=-2

zx-2i2x+2x-4.„

又----=------=------+-----1&R.

2-i2-i55

二次=4

综上，有z=4—2iz=4+2i

(2)m为实数,且(z+就/=[4+(根-2)，丁=(12+4〃?->)+8(加-2)i

12+4m-in2>0

•••由题意得〈。/八，解得一2<加<2

8(〃?—2)<0

故，实数加的取值范围是(—2,2)

18.某市为了解疫情过后制造业企业复工复产情况，随机调查了100家企业，得到这些企业4月份较3月

份产值增长率x的频率分布表如下:

X的分组[-0.20,0)L0,0.20)[0.20,0.40)[0.40,0.60)[0.60,0.80)

企业数13403584

(1)估计制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例及产值负增长的企业比例；

(2)求制造业企业产值增长率的平均数与方差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

【答案】(1)4%,13%.：(2)平均数为0.20,方差估计值为0.0364.

4

【解析】(1)制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例为同x100%=4%,

13

产值负增长的企业比例—xlOO%=13%,

所以制造业企业中产值增长率不低于60%的企业比例4%,产值负增长的企业比例13%.

(2)1()0家制造业企业产值增长率的平均数为

-^[13x(-0.10)+40x0.10+35x0.30+8x0.50+4x0.70]=0.20,

方差为

y^[13x(-0.10-0.20)2+40x(0.10-0.20)2+35x(0.30-0.20)2+8x(0.50-0.20)2+4x(0.70-0.20)2

=0.0364

所以制造、业企业产值增长率的平均数为0.20,方差的估计值为0.0364.

19.如图，在四棱锥P—A8CD中，平面A5C£>_L平面Q4B，APAB为等边三角形,四边形A8CD为矩

形，E为尸3的中点.

（1）证明：平面4）E_L平面PBC.

（2）平面AOE分此棱锥为两部分，若/W=2A£>，求大的部分体积与小的部分体积之比.

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

【解析】（1）证明：因为△尸AB为等边三角形，E为尸6的中点，所以

因为平面ABCD1平面且相交于AB,ADLAB,

所以AD_L平面243，则

乂ADcAE=A，所以PB_L平面AQE.

因为/归u平面PBC，所以平面AQE_L平面尸BC.

（2）设F为PC的中点，连接DE，EF，所以瓦7/D4，EF=-DA

2

令A0=1，则AB=2，AE=+，所以VPYBCD=；X2X1XG=¥

v_3.._3.__311.r-_y/3

Vp-ADFE-^P-ADE~g^D-AEP-~，

（2G石）65

所以大的部分体积与小的部分体积之比为V-—一：­=-.

I34；43

E

P

20.某工厂的A,B,C三个不同车间生产同一产品的数量（单位:件）如下表所示.质检人员用分层抽样的方

法从这些产品中共抽取6件样品进行检测：

车间ABC

数量50150100

（1）求这6件样品中来自A,B,C各车间产品的数量；

（2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件产品来自相同车间的概率.

4

【答案】⑴1,2,3;⑵石.

【解析】（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是—~^――=-4•

50+150+10050

所以A车间产品被选取的件数为50x^=l,

3车间产品被选取的件数为150x\=3,

C车间产品被选取的件数为100x媪=2.

（2）设6件自A、8、。三个车间的样品分别为：A;%B.；C、，C2.

则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有基本事件为：

（A4）,（A,B2）,（4员），（AC,）.（AG）,（4，四），（4,四）,（用cj,

（4C）,（冬鸣），（/G）,（四,1）,（&CJ,（%G）,（G，G）,共15个.

每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的.

记事件£＞：“抽取的这2件产品来自相同车间”，

则事件D包含的基本事件有：（4,不），（耳,用），（男,员），共4个

44

所以「（£＞）=—.所以这2件商品来自相同车间的概率为一.

-bcos8+1„

21.在①一=-y=----,②2/?sinA=atan6,③（a-c）sinA+csin（A+B）=Z?sinB这三个条件中任选

a，3sinA

一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知AA3C的内角A,B,C所对的边分别是。，b,c,若.

（1）求角8；

（2）若a+c=4,求AABC周长的最小值，并求出此时八4BC的面积.

【答案】(1)B=y;(2)3

_sinBcosB+1

【解析】⑴选①'由正弦定理得3=引'

sinA0■5/3sinB-cosB=1>即sin18-彳]_

2

八c7tC兀5兀

VQ<B<n,:.——<B——<—，

666

663

asinR

选②，V2Z?sinA=«tanB,2Z?sinA=—,

cosB

,ry

由正弦定理可得2sinBsinA=sinA-把一,

cos3

・；sinAw0,，cosB