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文档简介

山东省邹城市2025届高二数学第一学期期末监测试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知、,直线,,且,则的最小值为()A. B.C. D.2.椭圆与双曲线有公共的焦点、,与在第一象限内交于点,是以线段为底边的等腰三角形,若椭圆的离心率的范围是,则双曲线的离心率取值范围是()A. B.C. D.3.将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,则()A. B.C. D.4.已知点是抛物线的焦点,点为抛物线上的任意一点,为平面上点,则的最小值为A.3 B.2C.4 D.5.抛物线的准线方程为,则实数的值为()A. B.C. D.6.若直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,则直线与所成的角为()A30° B.45°C.60° D.90°7.点到直线的距离为2,则的值为()A.0 B.C.0或 D.0或8.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A. B.C. D.9.如图,在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,已知,,,,则()A. B.C. D.10.抛物线的焦点坐标为A. B.C. D.11.“五一”期间,甲、乙、丙三个大学生外出旅游,已知一人去北京,一人去两安,一人去云南.回来后,三人对去向作了如下陈述:甲:“我去了北京,乙去了西安.”乙:“甲去了西安,丙去了北京.”丙:“甲去了云南,乙去了北京.”事实是甲、乙、丙三人陈述都只对了一半(关于去向的地点仅对一个).根据以上信息,可判断下面说法中正确的是()A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南12.已知随机变量服从正态分布,,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,则的导函数______.14.若,且,则的最小值是____________.15.已知等比数列中,则q=___16.已知等差数列的前项和为,若,,则数列的前2021项和为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在三棱锥中,侧面PBC是边长为2的等边三角形,M,N分别为AB,AP的中点.过MN的平面与侧面PBC交于EF(1)求证:;(2)若平面平面ABC,,求直线PB与平面PAC所成角的正弦值18.(12分)已知数列满足各项均不为0,,且,.(1)证明:为等差数列,并求的通项公式;(2)令,,求.19.(12分)如图,在半径为6m的圆形O为圆心铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面不计剪裁和拼接损耗,设矩形的边长|AB|xm,圆柱的体积为Vm3.(1)写出体积V关于x的函数关系式,并指出定义域;(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大最大体积是多少?20.(12分)将离心率相同的两个椭圆如下放置,可以形成一个对称性很强的几何图形,现已知.(1)若在第一象限内公共点的横坐标为1,求的标准方程;(2)假设一条斜率为正的直线与依次切于两点,与轴正半轴交于点,试求的最大值及此时的标准方程.21.(12分)已知抛物线的焦点为,且为圆的圆心.过点的直线交抛物线与圆分别为,,,(从上到下)(1)求抛物线方程并证明是定值;(2)若,的面积比是,求直线的方程22.(10分)已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的,(),与至少有一个是数列中的项,则称数列具有性质.(1)判断数列,,,是否具有性质,并说明理由;(2)设数列具有性质,求证:;(3)若数列具有性质,且不是等差数列,求项数的所有可能取值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先由,可得,变形得,所以,化简后利用基本不等式求解即可【详解】因为、,直线,,且,所以,即,所以,所以,所以,当且仅当,即时,取等号,所以的最小值为,故选:D2、B【解析】求得,可得出,设椭圆和双曲线的离心率分别为、,可得,由可求得的取值范围.【详解】设,设双曲线的实轴长为,因为与在第一象限内交于点,是以线段为底边的等腰三角形,则,由椭圆的定义可得,由双曲线的定义可得,所以,,则,设椭圆和双曲线的离心率分别为、,则,即,因,则,故.故选:B.3、A【解析】先化简函数表达式,然后再平移即可.【详解】函数的图象向左平移个单位长度后,得到的图象.故选:A4、A【解析】作垂直准线于点,根据抛物线的定义,得到,当三点共线时,的值最小,进而可得出结果.【详解】如图,作垂直准线于点,由题意可得,显然,当三点共线时,的值最小;因为,,准线,所以当三点共线时,,所以.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题,熟记抛物线的定义与性质即可,属于常考题型.5、B【解析】由题得,解方程即得解.【详解】解:抛物线的准线方程为,所以.故选:B6、C【解析】直接由公式,计算两直线的方向向量的夹角,进而得出直线与所成角的大小【详解】因为,,所以,所以,所以直线与所成角的大小为故选:C7、C【解析】根据点到直线的距离公式即可得出答案.【详解】解:点到直线的距离为,解得或.故选:C.8、C【解析】根据题先求出阅读过西游记人数,进而得解.【详解】由题意得,阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7.故选C【点睛】本题考查容斥原理,渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法,利用转化与化归思想解题9、A【解析】利用空间向量加法法则直接求解【详解】连接BD,如图,则故选:A10、D【解析】抛物线的标准方程为,从而可得其焦点坐标【详解】抛物线的标准方程为,故其焦点坐标为,故选D.【点睛】本题考查抛物线的性质,属基础题11、D【解析】根据题意,先假设甲去了北京正确,则可分析其他人的陈述是否符合题意,再假设乙去西安正确,分析其他人的陈述是否符合题意,即可得答案.【详解】由题意得,甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半,假设甲去了北京正确,对于甲的陈述:则乙去西安错误,则乙去了云南;对于乙的陈述:甲去了西安错误,则丙去了北京正确;对于丙的陈述:甲去了云南错误,乙去了北京也错误,故假设错误.假设乙去了西安正确,对于甲的陈述:则甲去了北京错误,则甲去了云南;对于乙的陈述:甲去了西安错误,则丙去了北京正确;对于丙的陈述:甲去了云南正确,乙去了北京错误,此种假设满足题意,故甲去了云南.故选:D12、B【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果【详解】根据随机变量服从正态分布,所以密度曲线关于直线对称,由于,所以,所以,则,所以故选:B.【点睛】本题考查的知识要点:正态分布的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】利用基本初等函数的求导公式及积的求导法则计算作答.【详解】函数定义域为,则,所以.故答案为:14、【解析】应用基本不等式“1”的代换求a+4b的最小值即可.【详解】由,有,则,当且仅当,且,即时等号成立,∴最小值为.故答案为:15、3【解析】根据等比数列的性质求得,再根据等比数列的通项公式求得答案.【详解】等比数列中,故,,所以,故答案为:316、【解析】根据题意求出,代入中,再利用裂项相消即可求出答案.【详解】由是等差数列且,可知:,故.,数列的前2021项和为.故答案为:.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】(1)由题意先证明平面PBC,然后由线面平行的性质定理可证明.(2)由平面平面ABC,取BC中点O,则平面ABC,可得,由条件可得,以O坐标原点,分别以OB,AO,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可.【小问1详解】因为M,N分别为AB,AP的中点,所以,又平面PBC,所以平面PBC,因为平面平面,所以【小问2详解】因为平面平面ABC,取BC中点O,连接PO,AO,因为是等边三角形,所以,所以平面ABC,故,又因,所以,以O为坐标原点,分别以OB,AO,OP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,可得:,,,,,所以,,,设平面PAC的法向量为,则,则,令,得,,所以,所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为18、(1)证明见解析,,(2)【解析】(1)根据题意,结合递推公式,易知,即可求证;(2)根据题意,结合错位相减法,即可求解.【小问1详解】∵,∴,,∴等差数列,首项为,公差为3.∴,即,.【小问2详解】根据题意,得,,①,②①-②得,故.19、(1),;(2)时,最大值为m3.【解析】(1)连接,在中,由,利用勾股定理可得,设圆柱底面半径为,求出.利用(其中即可得出;(2)利用导数,求出V的单调性,即可得出结论【小问1详解】连接,在中,,,设圆柱底面半径为,则,即,,其中【小问2详解】由及,得,列表如下:,0↗极大值↘∴当时,有极大值,也是最大值为m320、(1)(2);【解析】(1)设,将点代入得出的标准方程;(2)联立与直线的方程,得出两点的坐标,进而得出,再结合导数得出的最大值及此时的标准方程.【小问1详解】由题意得:在第一象限的公共点为设,则有:的标准方程为:;【小问2详解】设y=kx+m则①,则②,,,又,由①有代入①有,令,则令,在单调递增,在单调递减,此时,则,代入②得,综上:的最大值2,此时.21、(1),证明见解析(2)【解析】(1)根据,结合韦达定理即可获解(2),再结合焦点弦公式即可获解【小问1详解】由题知,故,抛物线方程为,设直线的方程为,,,,,,得,,,,【小问2详解】,由(1)知,可求得,,故的方程为,即【点睛】关键点点睛:本题第二问的关键是要把面积的比例关系转为为边的比例关系22、(1)数列,,,不具有性质;(2)证明见解析;(3)可能取值只有.【解析】(1)由数列具有性质的定义,只需判断存在与都不是数列中的项即可.(2)由性质知:、,结合非负递增性有,再由时,必有,进而可得,,,,,应用累加法即可证结论.(3)讨论、、,结合性质、等差数列的性质判断是否存在符合题设性质,进而确定的可能取值.【小问1详解】数列,,,不具有性质.因为,,和均不是数列,,,中的项,所以数列,,,不具有性质.【小问2详解】记数列的各项组成的集合为,又,由数列具有性质,,所以,即,所以.设,因为,所以.又,则

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