2024-2025学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课时素养评价含解析新人教A版选修2-2

PAGE课时素养评价十九数学归纳法(15分钟30分)1.对于不等式QUOTE<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时,QUOTE<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即QUOTE<k+1,则当n=k+1时,QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE=(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立.则上述证法 ()A.过程全部正确B.n=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【解析】选D.从n=k到n=k+1的推理过程中未用到(2)中假设,所以不正确.2.某个与正整数有关的命题:假如当n=k(k∈N*)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立.现已知n=5时命题不成立,那么可以推得 ()A.当n=4时命题不成立B.当n=6时命题不成立C.当n=4时命题成立D.当n=6时命题成立【解析】选A.因为当n=k(k∈N*)时命题成立,则可以推出当n=k+1时该命题也成立,所以假设当n=4时命题成立,那么n=5时命题也成立,这与已知冲突,所以当n=4时命题不成立.3.用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 ()A.2 B.3 C.5 D.6【解析】选C.令n0分别取2,3,5,6,依次验证即得.4.已知f(n)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>QUOTE时,f(2k+1)-f(2k)=________.

【解析】因为假设n=k时,f(2k)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,当n=k+1时,f(2k+1)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,所以f(2k+1)-f(2k)=1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE.答案:QUOTE+QUOTE+…+QUOTE5.在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*).求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此揣测{an},{bn}的通项公式,并证明你的结论.【解析】由已知得2bn=an+an+1,QUOTE=bnbn+1,a1=2,b1=4,由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜想an=n(n+1),bn=(n+1)2.用数学归纳法证明如下:①当n=1时,可得结论成立.②假设当n=k(k∈N*)时,结论成立,即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时,ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)·(k+2),bk+1=QUOTE=QUOTE=(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由①②可知,an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数n都成立.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设f(n)=1+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*),那么f(n+1)-f(n)等于 ()A.QUOTE B.QUOTE-QUOTEC.QUOTE-QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为f(n+1)=1+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE,f(n)=1+QUOTE+…+QUOTE,所以f(n+1)-f(n)=QUOTE.2.下面四个推断中,正确的是 ()A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1+kC.式子1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*)中,当n=1时,式子的值为1+QUOTE+QUOTED.设f(n)=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE(n∈N*),则f(k+1)=f(k)+QUOTE+QUOTE+QUOTE【解析】选C.A中,n=1时,式子=1+k;B中,n=1时,式子=1;C中,n=1时,式子=1+QUOTE+QUOTE;D中,f(k+1)=f(k)+QUOTE+QUOTE+QUOTE-QUOTE.3.用数学归纳法证明不等式QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE(n≥2,n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边 ()A.增加了一项QUOTEB.增加了两项QUOTE,QUOTEC.增加了B中两项但削减了一项QUOTED.以上各种状况均不对【解析】选C.因为n=k时,左边=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,n=k+1时,左边=QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE,所以增加了两项QUOTE,QUOTE,少了一项QUOTE.4.用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的其次步中,n=k+1时,为了运用假设,应将5k+1-2k+1变形为 ()A.5(5k-2k)+3×2k B.(5k-2k)+4×5k-2kC.(5-2)(5k-2k) D.2(5k-2k)-3×5k【解析】选A.假设n=k时命题成立,即5k-2k能被3整除.当n=k+1时,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5(5k-2k)+5×2k-2×2k=5(5k-2k)+3×2k.5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满意:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是 ()A.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立B.若f(5)≥25成立,则当k≤5时,均有f(k)≥k2成立C.若f(7)<49成立,则当k≥8时,均有f(k)>k2成立D.若f(4)=16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立【解析】选D.对于A,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3时,均有f(k)≥k2成立,故A错误.对于B,要求逆推到比5小的正整数,与题设不符,故B错误.对于C,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C错误.对于D,f(4)=16≥42,由题设的递推关系,可知结论成立.二、填空题(每小题5分,共15分)6.平面上有n条直线,它们任何两条不平行,任何三条不共点,设k条这样的直线把平面分成f(k)个区域,则k+1条直线把平面分成的区域数f(k+1)=f(k)+________.

【解析】当n=k+1时,第k+1条直线被前k条直线分成(k+1)段,而每一段将它们所在区域一分为二,故增加了k+1个区域.答案:k+17.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=k+1时,表达式为________.

答案:1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)28.视察下列等式,照此规律,第n个等式为________.

1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…【解析】将原等式变形如下:1=1=122+3+4=9=323+4+5+6+7=25=524+5+6+7+8+9+10=49=72…由图知,第n个等式的左边有2n-1项,第一个数是n,是2n-1个连续整数的和,则最终一个数为n+(2n-1)-1=3n-2,右边是左边项数2n-1的平方,故有n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2三、解答题(每小题10分,共20分)9.用数学归纳法证明:1+QUOTE≤1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE+n(n∈N*).【证明】(1)当n=1时,QUOTE≤1+QUOTE≤QUOTE,命题成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时命题成立,即1+QUOTE≤1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE≤QUOTE+k,则当n=k+1时,1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE>1+QUOTE+2k·QUOTE=1+QUOTE.又1+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE<QUOTE+k+2k·QUOTE=QUOTE+(k+1),即n=k+1时,命题成立.由(1)和(2)可知,命题对全部n∈N*都成立.10.设a>0,f(x)=QUOTE,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.【解析】(1)因为a1=1,所以a2=f(a1)=f(1)=QUOTE;a3=f(a2)=QUOTE;a4=f(a3)=QUOTE.猜想an=QUOTE(n∈N*).(2)①易知,n=1时正确.②假设n=k时正确,即ak=QUOTE,则ak+1=f(ak)=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.这说明,n=k+1时也正确.由①②知,对于随意n∈N*,都有an=QUOTE.已知函数f(x)=ax-QUOTEx2的最大值不大于QUOTE,又当x∈QUOTE时,f(x)≥QUOTE.(1)求a的值.(2)设0<a1<QUOTE,an+1=f(an),n∈N*,证明:an<QUOTE.【解析】(1)由题意,知f(x)=ax-QUOTEx2=-QUOTE+QUOTE.又f(x)max≤QUOTE,所以fQUOTE=QUOTE≤QUOTE.所以a2≤1.又当x∈QUOTE时,f(x)≥QUOTE,所以QUOTE即QUOTE解得a≥1.又因为a2≤1,所以a=1.(2)用数学归纳法证明:①当n=1时,0<a1<QUOTE,明显结论成立.因为当x∈QUOTE时,0<f(x)≤QUOTE,所以0<a2=f(a1)≤QUOTE<QUOTE.故n=2时,原不等式也成立.②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式0<ak<QUOTE成立.因