2024-2025学年高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法学案含解析北师大版必修5

PAGE§2一元二次不等式2.1一元二次不等式的解法内容标准学科素养1.通过实例了解一元二次不等式.2.理解一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系.3.驾驭一元二次不等式的解法.规范数形结合精确分类探讨提升数学运算授课提示：对应学生用书第54页[基础相识]学问点一一元二次不等式的概念预习教材P75－81，思索并完成以下问题从未知数的个数以及未知数的最高次数看，不等式x2－2x－3＞0，x2＋5x≤0，－3x2－6x＋1＜0，4x2－1≥0等有什么共同特点？提示：它们只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2.学问梳理一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．(2)形式：①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．(3)解集：一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的全部解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．学问点二一元二次不等式的解法思索并完成以下问题1．方程x2－2x－3＝0的根是什么？提示：由x2－2x－3＝0，得(x－3)(x＋1)＝0，所以x＝3或x＝－1，所以方程x2－2x－3＝0的根为3或－1.2．画出函数y＝x2－2x－3的图像，并指出函数的图像与x轴交点的坐标．提示：函数y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4的图像如图所示，由图可知函数的图像与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)．3．视察图像，试写出不等式x2－2x－3＞0和x2－2x－3＜0的解集．提示：通过图像可知，x2－2x－3＞0的解集为{x|x＞3或x＜－1}；x2－2x－3＜0的解集为{x|－1＜x＜3}．学问梳理二次函数的图像、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的解x1，x2(x1＜x2)x0＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}{x|x≠x0}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0的解集){x|x1＜x＜x2}∅∅思索：1．若不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集是(－4，3)，则函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与x轴的交点坐标是什么？提示：(－4，0)和(3，0)．2．若不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集是(－∞，－4)∪(3，＋∞)，则由此能确定a的正负吗？提示：能，a＞0.3．不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集能只有一个实数吗？提示：不能．[自我检测]1．已知下列不等式：①ax2＋2x＋1＞0；②x2－y＞0；③－x2－3x＜0；④eq\f(x,x2－3)＞0.其中是一元二次不等式的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：①中当a＝0时，它不是一元二次不等式；②中有两个未知数，它不是一元二次不等式；③是一元二次不等式；④是分式不等式．故选A.答案：A2．不等式2x2－x＋1＜0的解集为()A．∅ B．RC.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜1)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,4)))))解析：因为Δ＝1－8＝－7＜0，且对应函数图像的开口向上，所以不等式的解集为∅.故选A.答案：A3．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是________．解析：因为－6x2－x＋2≤0，所以6x2＋x－2≥0，即(2x－1)(3x＋2)≥0，故x≥eq\f(1,2)或x≤－eq\f(2,3).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))))授课提示：对应学生用书第55页探究一解不含参数的一元二次不等式[阅读教材P76－77例1，2，3，4，5及解答]题型：解不含参数的一元二次不等式方法步骤：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．[例1]解下列不等式(1)2x2－3x－2＞0.(2)－3x2＋6x＞2.(3)－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0.[解题指南]eq\x(二次项系数化正)→eq\x(看判别式的符号)→eq\x(求根)→eq\x(写解集)[解析](1)因为Δ＝25＞0，且方程2x2－3x－2＝0的两根分别为x1＝－eq\f(1,2)，x2＝2，又a＝2＞0，所以函数y＝2x2－3x－2的图像开口向上，与x轴有两个交点(如图)．视察图像得不等式2x2－3x－2＞0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－\f(1,2)或x＞2)).(2)不等式化为3x2－6x＋2＜0，因为Δ＞0，方程3x2－6x＋2＝0的两根是x1＝1－eq\f(\r(3),3)，x2＝1＋eq\f(\r(3),3)，又a＝3＞0，所以函数y＝3x2－6x＋2的图像开口向上，与x轴有两个交点(如图)．视察图像得不等式3x2－6x＋2＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1－\f(\r(3),3)＜x＜1＋\f(\r(3),3)))，即为原不等式的解集．(3)因为Δ＝182－4×(－4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(81,4)))＝0.所以方程－4x2＋18x－eq\f(81,4)＝0，两相等实根是x1＝x2＝eq\f(9,4)，又a＝－4＜0，所以函数y＝－4x2＋18x－eq\f(81,4)的图像开口向下，与x轴有一个交点(如图)．视察图像得不等式－4x2＋18x－eq\f(81,4)≥0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(9,4))).方法技巧解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式的右侧为0，使二次项系数为正．(2)判别式．对不等式的左侧进行因式分解，若不能分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或依据判别式说明方程无实根．(4)画草图．依据一元二次方程根的状况画出对应的二次函数的草图．(5)写解集．依据图像写出不等式的解集．跟踪探究1.解下列不等式：(1)4x2－20x＜－25；(2)(x－3)(x－7)＜0；(3)－3x2＋5x－4＜0；(4)x(1－x)≥x(2x－3)＋1.解析：(1)不等式可化为4x2－20x＋25＜0，由于Δ＝0，且对应的二次函数的图像是开口向上的抛物线，所以不等式的解集是∅.(2)由题意知不等式对应方程的两个根是3和7，且对应的二次函数的图像是开口向上的抛物线，故不等式的解集是{x|3＜x＜7}．(3)不等式－3x2＋5x－4＜0可化为3x2－5x＋4＞0，由于判别式Δ＝25－48＝－23＜0，函数y＝3x2－5x＋4的图像开口向上，所以不等式的解集是R.(4)不等式x(1－x)≥x(2x－3)＋1可化为3x2－4x＋1≤0.因为方程3x2－4x＋1＝0的两个根是eq\f(1,3)，1，函数y＝3x2－4x＋1的图像开口向上，所以不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)≤x≤1)))).探究二解含参数的一元二次不等式[阅读教材P87例7、8及解答]题型：解含参数的一元二次不等式．方法步骤：①确定对应方程的解．②探讨方程解的大小．③结合图像写出解集．[例2]解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a[解题指南]将原不等式左端因式分解求出相应的一元二次方程的两根，然后对a进行分类探讨确定两根的大小进而求出原不等式的解集．[解析]不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化为(ax－1)(x－2)＜0，由于a＞0，故不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0.①若0＜a＜eq\f(1,2)，则eq\f(1,a)＞2，此时不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).②若a＝eq\f(1,2)，则不等式为(x－2)2＜0，此时不等式的解集为∅.③若a＞eq\f(1,2)，则eq\f(1,a)＜2，此时不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).综上可知：当0＜a＜eq\f(1,2)时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).当a＝eq\f(1,2)时，不等式的解集为∅.当a＞eq\f(1,2)时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).延长探究1.若将不等式“ax2－(2a＋1)x＋2＜0(a＞0)”改为“ax2－(2a＋1)x＋2＞0(a＜0)”，又如何求解？解析：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＞0可化为(ax－1)(x－2)＞0，由于a＜0，故不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0，则不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0对应的方程的两个根分别为x1＝eq\f(1,a)，x2＝2，由于a＜0，故2＞eq\f(1,a)，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).2．若将本题中的条件“(a＞0)”去掉，又如何求解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x解析：不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0可化为(ax－1)(x－2)＜0.(1)当a＞0时，不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＜0.①若0＜a＜eq\f(1,2)，则eq\f(1,a)＞2，此时不等式的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).②若a＝eq\f(1,2)，则不等式为(x－2)2＜0，此时不等式的解集为∅.③若a＞eq\f(1,2)，则eq\f(1,a)＜2，此时不等式的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).(2)当a＝0时，不等式化为－x＋2＜0，此时不等式的解集为{x|x＞2}．(3)当a＜0时，不等式可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－2)＞0，由于eq\f(1,a)＜2，故不等式的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞2)))).综上所述：当a＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)))或x＞2)).当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞2}．当0＜a＜eq\f(1,2)时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(2＜x＜\f(1,a))))).当a＝eq\f(1,2)时，不等式的解集为∅.当a＞eq\f(1,2)时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜2)))).方法技巧解含参数的一元二次不等式的方法在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类探讨，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的探讨：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0；(2)关于不等式所对应的方程的根的探讨：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)；(3)关于不等式对应的方程的大小的探讨：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.跟踪探究2.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.解析：①当a＝0时，原不等式即为－x＋1＜0，解得x＞1.②当a＜0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＞0，解得x＜eq\f(1,a)或x＞1.③当a＞0时，原不等式化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－1)＜0.若a＝1，即eq\f(1,a)＝1时，不等式无解；若a＞1，即eq\f(1,a)＜1时，解得eq\f(1,a)＜x＜1；若0＜a＜1，即eq\f(1,a)＞1时，解得1＜x＜eq\f(1,a).综上可知，当a＜0时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,a)或x＞1))))；当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}；当0＜a＜1时，不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(1＜x＜\f(1,a))))).当a＝1时，不等式的解集为∅.当a＞1时，不等式的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＜x＜1)))).探究三一元二次不等式与相应函数、方程的关系[例3]已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．[解题指南]先推断二次项系数的符号，再依据三个“二次”之间的关系得到字母之间的关系，即可求解不等式的解集．[解析]法一：由已知不等式的解集为(α，β)可得a＜0，∵α，β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴由根与系数的关系可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－（α＋β）＜0①,\f(c,a)＝αβ＞0②)).∵a＜0，∴由②得c＜0，则cx2＋bx＋a＜0可化为x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)＞0，①÷②得eq\f(b,c)＝eq\f(－（α＋β）,αβ)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,α)＋\f(1,β)))＜0，由②得eq\f(a,c)＝eq\f(1,αβ)＝eq\f(1,α)·eq\f(1,β)＞0，∴eq\f(1,α)、eq\f(1,β)为方程x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)＝0的两根．∵0＜α＜β，∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,β)或x＞\f(1,α))))).法二：由已知不等式解集为(α，β)，得a＜0，且α，β是ax2＋bx＋c＝0的两根，∴α＋β＝－eq\f(b,a)，αβ＝eq\f(c,a)，∴cx2＋bx＋a＜0eq\f(c,a)x2＋eq\f(b,a)x＋1＞0(αβ)x2－(α＋β)x＋1＞0(αx－1)(βx－1)＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,α)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,β)))＞0.∵0＜α＜β，∴eq\f(1,α)＞eq\f(1,β)，∴x＜eq\f(1,β)或x＞eq\f(1,α)，∴cx2＋bx＋a＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,β)或x＞\f(1,α))))).方法技巧已知不等式的解集求参数的解题思路已知不等式的解集求参数的问题的实质是考查三个“二次”间的关系．其解题的一般思路为：(1)依据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号；(2)由根与系数的关系，或将根干脆带入方程，求出参数的值或参数之间的关系，进而求解．跟踪探究3.已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(1，2)，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．解析：∵关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为(1，2)，∴1，2是关于x的方程x2＋ax＋b＝0的两根．由根与系数的关系，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a＝1＋2，,b＝1×2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝2.))将其代入所求不等式bx2＋ax＋1＞0，得2x2－3x＋1＞0.由2x2－3x＋1＞0，得(2x－1)(x－1)