13探索三角形全等的条件（四~六）（原卷版）

1.3探索三角形全等的条件（四~六）【推本溯源】1.如图，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，那么这两个三角形全等吗？通过自己实践后发现：（简写成“”或“”）几何语言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（AAS）．2.用∵、∴表述的有关推理过程也可以用符号⇒来表述。如上面的推理过程也可这样表示3.按下列作法,用直尺和圆规作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a作法：（1）作线段BC=a、（2）分别以B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A。（3）连接AB、AC。▲ABC是所求的三角形。通过自己实践后发现：（简写成“”或“”）几何语言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）．【解惑】例1：如图，已知，，垂足分别为，，，且，那么的理由是（

）

A． B． C． D．例2：如图，，，．

(1)求证：．(2)当，时，求的度数．例3：用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是____（填，，，中的一种）．例4：如图，已知，，为上任意一点，过点作一条直线分别交，的延长线于点，．求证：．例5：如图，平分，，则图中的全等三角形有________对．【摩拳擦掌】1．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，，且平分，则利用（

）可说明与全等．

B． C． D．2．（2022春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校考期末）小明在学习了全等三角形的相关知识后，发现了一种测量距离的方法，如图，小明直立在河岸边的O处，他压低帽子帽沿，使视线通过帽沿，恰好落在河对岸的A处，然后转过身，保持和刷才完全一样的姿势，这时视线落在水平地面的B处（A，O，B三点在同一水平直线上），小明通过测量O，B之间的距离，即得到O，A之间的距离．小明这种方法的原理是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·八年级课时练习）如图，在和中，，，要利用“”证明，需增加的一个条件可以是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图，根据全等三角形的对应角相等，可用尺规作等于已知，判定三角形全等的依据是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知，，分别是和的高，则图中全等三角形共有_______对．

6．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，，，，于，，，则__．7．（2022秋·七年级单元测试）如图，是任意一个角，在，边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是平分线，此作法用的判定三角形全等的方法是_____用字母表示即可8．（2022秋·江苏淮安·八年级统考期中）已知，如图，，求证：9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图所示，与交于点E，，，．求证：．10．（2023·广东广州·广州市第八十九中学校考三模）如图，在四边形中，，，连接．求证．

11．（2023·云南曲靖·统考二模）如图，已知．求证：．

12．（2023·广东广州·广州四十七中校考三模）如图，平分，垂足分别为．求证：．

【知不足】1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AD与BC交于点O，，添加一个条件后能使用“边角边”基本事实判定的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·山东枣庄·八年级校考阶段练习）如图，在和中，，，，，三点在同一直线上，添加下列条件，不能判定的是（

）A． B． C． D．3．（2023秋·辽宁铁岭·八年级统考期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明，需要证明和，则这两个三角形全等的依据是（

）A． B． C． D．4．（2023春·全国·七年级专题练习）2022年10月12日某中学八年级（4）班的同学在听了“天宫课堂”第三课，即我国航天员在中国空间站进行的太空授课后，组成数学兴趣小组进行了设计伞的实践活动．康康所在的小组依据全等三角形的判定设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后，测得，E，F分别是，的中点，，那么的依据是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在中，分别是边上的点，过点作平行于的直线交的延长线于点．若，，，则的长是________．6．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，，，，若添加一个条件（不再添加新的字母）后，能判定与全等，则添加的条件可以是______（写出一个条件即可）．7．（2022秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）如图，请你仅用无刻度直尺作图．(1)在图①中，画出三角形边上的中线；(2)在图②中，找一格点D，使得．8．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知，点分别在上，，．(1)求证：；(2)求证：．9．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在中，，，于点E，且．求证：．

10．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）如图，，垂足分别为D，E．

(1)求证：；(2)若，求的长．11．（2023秋·八年级单元测试）如图，在和中，，点在边上，，求证：．12．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知点M是的中点，是过点M的一条直线，且，垂足分别为点E，F．(1)试说明：；(2)猜想与之间的数量关系，并说明理由．13．（2023·四川南充·统考一模）如图，点A，D，B，E在同一直线上，．求证：．14．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在四边形中，，，，垂足分别为E，F，且．求证：．【一览众山小】1．（2022秋·海南海口·八年级校考期中）如图所示，，于点，交于点，且，则下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．2.（2022秋·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，有一块边长为4的正方形塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点F，与延长线交于点E．则四边形的面积是（）

A．4 B．6 C．10 D．163．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，平分交于点D，若，，则__________．4.（2023·山西吕梁·统考三模）已知：如图，点，在线段上，，，．求证：．

5．（2023春·上海·七年级专题练习）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．6．（2023秋·福建厦门·八年级统考期末）探究活动（1）[知识回顾]如图，王芳不小心把一块三角形的玻璃打成三块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（）A．①

B．②

C．③（2）[直观感知]如图，李明不小心把一块四边形的玻璃打成四块碎片，现要配出与原来一样的玻璃，则应携带的玻璃碎片编号是（）A．①②

B．①③

C．①④D．②③

E．②④

F．③④（3）[问题探究]在平面几何里，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．类似的，我们把能够完全重合的两个四边形叫全等四边形．也就是说四条边和四个角都分别相等的两个四边形全等．①已知：如图，在四边形与四边形中，，，，，．求证：四边形与四边形是全等四边形．②请类比全等三角形的判定定理，用文字语言表述第①题的题设与结论：③请再写出一个判定四边形全等的真命题．（用符号语言表达，不必证明）7．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）已知：如图，在中，，，是边上的中线，过作的垂线，垂足为，过作交的延长线于点．(1)求证：：(2)，求的长．8．（2022秋·江苏·八年级专题练习）【提出问题】我们已经知道了三角形全等的判定方法（，，，）和直角三角形全等的判定方法（HL），请你继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形（）”的情形进行探究．【探索研究】已知：在和中，，，．(1)如图①，当时，根据，可知RtRt；(2)如图②，当时，请用直尺和圆规作出，通过作图，可知与全等．（填“一定”或“不一定”）(3)如图③，当时，与是否全等？若全等，请加以证明：若不全等，请举出反例．【归纳总结】(4)如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是__________时，这两个三角形一定全等．（填序号）①锐角；②直角；③钝角．