黑龙江省大庆市实验中学实验二部2023-2024学年高二下学期期中考试数学

大庆实验中学实验二部2022级高（二）下学期期中考试数学试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.72．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长145.78%，比2019年增长41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有A．12 B．16 C．18 D．243．已知二项式（其中且）的展开式中含与的项的系数相等，则的值为A．5 B．6 C．7 D．84．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列正确的是

A． B．C． D．5．从1,2,⋯A． B． C． D．6．《RhindPapyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较多的三份之和的是较少的两份之和，则最少的一份为A．5 B．10 C．11 D．557．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有A．1张 B．2张 C．3张 D．4张8．我校举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，训练规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为A．27 B．24 C．32 D．28二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9．若，则下列正确的是A．B．C．D．10．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是A． B．的最小值为10C．三点共线D．11．在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为B．C．D．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知随机变量服从正态分布，，．13．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是.14．马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为：假设序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币．赌徒自以为理智地决定，遇到如下两种情况就会结束赌博游戏：一是输光了手中金币；二是手中金币达到预期的1000金币，出现这两种情况赌徒都会停止赌博．记赌徒的本金为70金币，求赌徒输光所有金币的概率_______.四、填空题（本题共5小题，共77分）15．（13分）工厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少？16.（15分）（1）求数列，的通项公式；（2）设，记的前项和为，若对任意，，求整数的最小值．17.（15分）一批产品共10件，其中件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为.若先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件，当抽到不合格产品数时，概率为.（1）求的值；（2）若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数的分布列及数学期望.18.（17分）悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数.类比三角函数的性质：①平方关系：，②导数关系：．(1)直接写出，具有的类似①、②的性质（不需要证明）；(2)证明：当时，；(3)求的最小值．19.（17分）已知椭圆：，A，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过做斜率不为0的直线交椭圆于点P,Q两点,且.当直线轴时，．(1)求椭圆的方程；(2)设直线AP,AQ的斜率分别为，，问是否为定值？并证明你的结论；(3)直线AP交y轴于点E．若过O点作直线AP的平行线OM交椭圆C于点M，求AP+AEOM一、单选题1．数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的50百分位数为（

）A．8.4 B．8.5 C．8.6 D．8.7【答案】B【分析】根据给定条件，利用第50百分位数的定义计算即得.【详解】依题意，一组数据的第50百分位数即为该组数据的中位数，所以数据6.0，7.4，8.0，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的第50百分位数为.故选：B2．哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长145.78%，比2019年增长41.4%.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有（

）A．12 B．16 C．18 D．24【答案】C【分析】根据分步计数原理，结合题意，直接计算即可.【详解】根据题意，甲有种选择，乙、丙都有种选择，故所有的选法有：种.故选：C.3．已知二项式（其中且）的展开式中与的系数相等，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用二项式定理的通项公式建立等量关系可求答案.【详解】因为且，由题意知，得，求得，故选：.4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】根据散点图分析出样本的相关关系即可.【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，左侧两图是正相关，样本相关系数大于0，则，，右侧两图是负相关，样本相关系数小于0，则，，下方两图的点相对更加集中，所以相关性较强，所以接近于1，接近于－1，上方两图的点相对分散一些，所以相关性较弱，所以和比较接近0，由此可得．故选：B．5．从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求所有组合个数，列举和为质数的情况，古典概型求概率.【详解】这九个数字中任取两个，有种取法，和为质数有，共14种情况，因此所求概率为.故选：C.6．《RhindPapyrus》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一个类似这样的问题，请给出答案：把600个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（

）A．5 B．10 C．11 D．55【答案】B【分析】设每份面包从小到大为等差数列，公差为，解方程即可得解.【详解】设每份面包从小到大为等差数列，公差为，可得a1所以a1解得a1故选：B.7．某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（

）A．1张 B．2张 C．3张 D．4张【答案】B【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大.【详解】设中奖的概率为，30天中奖的天数为，则若盒子中的有奖券有1张，则中奖的概率为，，若盒子中的有奖券有2张，则中奖的概率为，，若盒子中的有奖券有3张，则中奖的概率为，，若盒子中的有奖券有4张，则中奖的概率为，，根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，故选：B.8．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为，，且满足，每局之间相互独立.记甲、乙在轮训练中训练过关的轮数为，若，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（

）A．27 B．24 C．32 D．28【答案】A【分析】先求得每一轮训练过关的概率，利用二项分布的期望列方程，结合基本不等式以及二次函数的性质求得正确答案.【详解】设每一轮训练过关的概率为，则，，当且仅当时等号成立.函数的开口向上，对称轴为，所以，依题意，，则，，所以至少需要轮.故选：A【点睛】方法点睛：求解相互独立事件和独立重复事件结合的问题，要注意区别两者的不同，相互独立事件的概率可以不相同，独立重复事件概率是相同的.求最值的方法可以考虑二次函数的性质，也可以考虑基本不等式，利用基本不等式时，要注意“一正二定三相等”.二、多选题9．若，则下列正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】通过赋值法即可对A、B、C逐项求解判断，通过对两边同时求导后再利用赋值法从而可对D求解判断.【详解】对于A：令，则，故A正确；对于B：令，则，故B正确；对于C：令，则，故C正确；对于D，由，两边同时求导得，令，则，故D错误.故选：ABC.10．已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与抛物线相交于两点，点是点关于轴的对称点，则下列说法正确的是（

）A． B．的最小值为10C．三点共线 D．【答案】CD【分析】设直线联立抛物线，应用韦达定理判断A；由，结合抛物线定义及基本不等式求最小值判断B；设，联立抛物线，应用韦达定理得，结合A分析求参数判断C；应用向量的坐标运算求判断D.【详解】设直线，联立方程组，可得，且，则，A不正确；由，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9，不正确；设，，联立，可得，且，则，结合A分析得，即直线过点，正确；由，，正确.故选：CD11．在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（

）A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为B．C．D．【答案】BCD【分析】由独立事件的乘法公式可得A错误；由条件概率公式可得BC正确；全概率的应用，先求出，再根据和化简得到D正确.【详解】A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立，所以输入信号，则输出的信号只有两个的概率为，故A错误；B：因为，故B正确；C：，故C正确；D：因为，所以，故D正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用独立事件的条件概率公式和全概率公式.三、填空题12．已知随机变量服从正态分布，且，则．【答案】0.2【分析】随机变量服从正态分布,得到对称轴为，再由,可得,根据正态分布曲线的特点，即可得到结果.【详解】随机变量服从正态分布，可得到对称轴为，又由，则，所以.故答案为：13．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是.【答案】【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数的取值范围.【详解】由题意，在中，，当时，解得或，当即时，单调递减，当即，时，单调递增，∵，，当，方程有三个不同的实根，∴即，故答案为：.【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很容易忽略这个条件.14．马尔科夫链是机器学习和人工智能的基石，其数学定义为：假设序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．著名的赌徒模型就应用了马尔科夫链：假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率都为，每局赌赢可以赢得1金币，赌输就要输掉1金币．赌徒遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种赌徒输光了手中金币；一种是赌金达到预期的1000金币，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为100金币，求赌徒输光所有金币的概率_______.【分析】当时，赌徒已经输光了，因此.当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率.记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件,,即，所以，所以是一个等差数列，设，则，累加得，故，得，，由得,即,当时，，因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会的概率输光．四、解答题15．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的，，，并且各车间的次品率依次为，，.现从该厂这批产品中任取一件.(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？【答案】(1)(2)甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.【详解】（1）记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示车间生产的产品，记事件表示抽取到次品，则,，取到次品的概率为（2）若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为：16.记，分别为数列，的前项和，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，记的前项和为，若对任意，，求整数的最小值．【答案】（1），（2）3【解析】【分析】（1）由已知，可得的关系，从而可得数列是等比数列，求出通项公式；由，将代入，可得为等差数列，再由可得的通项公式.（2）由（1），将的通项公式代入，从而得到，求出整数的最小值．【小问1详解】当时，，所以，当时，，所以，数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以，因为，所以，即，所以数列是公差为1的等差数列，所以，所以，因为，而，所以，所以，.【小问2详解】依题意，，当时，，当时，因为，所以，其中，当时，，，无限接近，所以整数的最小值为3．17．一批产品共10件，其中件是不合格品，从中随机抽取2件产品进行检验，记抽取的不合格产品数为.若先随机抽取1件，放回后再随机抽取1件，当抽到不合格产品数时，概率为.（1）求的值；（2）若一次性随机抽取2件，求抽到不合格产品数的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）详见解析【详解】解：（1）随机变量服从二项分布，，则，所以，解得：或，因为，所以.（2）随机变量可取的值为0，1，2，且服从超几何分布，，于是，，.因此的分布列可表示为下表：012P所以.答：抽到不合格产品数的数学期望为.18．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的性质：①平方关系：①，②导数关系：定义双曲正弦函数．(1)直接写出，具有的类似①、②的性质（不需要证明）；(2)证明：当时，；(3)求的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)(3)0【分析】（1）类比，写出平方关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐