江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考试题数学

数学一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算：的结果是（）A B.C. D.2已知，，则（）A. B. C. D.3.已知向量，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.4.若､是两个不重合的平面：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则．以上说法中成立的有（）个A.0 B.1 C.2 D.35.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.6.一组数据按从大到小顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（）A.6，，5 B.5，5，5 C.5，，6 D.4，5，67.在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（）A.2 B. C.6 D.48.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（）A. B. C. D.二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A.，B.C.若，，则的最小值为1D.若是关于x的方程的根，则10.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A.招商引资后，工资净收入较前一年增加B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍11.已知事件A，B发生的概率分别为，，则（）A. B.C.若A与B互斥，则 D.一定有三､填空题（本大题共3小题，共15.0分）12.为获得某中学高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为__________.13.设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______．14.如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为__________．四､解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：（1）估计两组测试的平均成绩，（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．1611分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.17.龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米.（1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；（2）计算龙光塔的高度.18.如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点．（1）证明：平面PDE；（2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．19.在棱长均为的正三棱柱中，为的中点．过的截面与棱，分别交于点，．（1）若为的中点，求三棱柱被截面分成上下两部分的体积比；（2）若四棱锥的体积为，求截面与底面所成二面角的正弦值；（3）设截面的面积为，面积为，面积为，当点在棱上变动时，求的取值范围．数学一､单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算：的结果是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则计算可得.【详解】.故选：D2.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对给定式子平方，再进行相加得到，最后利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】若，则若，则，将两式子相加可得，化简得，由两角和的正弦公式得，故C正确.故选：C3.已知向量，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的意义求解即得.【详解】由，得，所以在方向上的投影向量为.故选：A4.若､是两个不重合的平面：①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；②设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；③若外一条直线与内的一条直线平行，则．以上说法中成立的有（）个A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】①：根据线面平行和面面平行的判定方法即可判断；②：根据线面垂直和面面垂直的判定放假即可判断；③：根据线面平行判定方法即可判断．【详解】对①，平面内有两条相交直线分别平行于面内两条直线，可得这两条相交直线均平行于面，由平面与平面平行的判定定理可知①正确；对②，设､相交于直线，若内有一条直线垂直于，则这条直线不一定垂直于β，故根据平面与平面垂直的判定定理可知α与β不一定垂直；故②错误；对③，根据直线与平面平行的判定定理可知③正确．故选：C．5.如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可.【详解】解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，则该几何体的表面积为.故选：D.6.一组数据按从大到小的顺序排列为8，7，，4，4，1，若该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均值、方差和第60百分位数分别是（）A.6，，5 B.5，5，5 C.5，，6 D.4，5，6【答案】C【解析】【分析】利用中位数与众数的定义得到关于的方程，从而得解.【详解】依题意，将这组数据从小到大重新排列得，，，，，，则中位数，众数为，由题意知，解得，所以这组数据的平均数为，则这组数据的方差是，因为，所以这组数据的第百分位数是；故选：C.7.在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（）A.2 B. C.6 D.4【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，先得到，再由向量数量积的运算，结合基本不等式，得到的最小值，以及取得最小值时与的值，最后根据余弦定理，即可求出结果.【详解】在中，由，的面积为，得，则，由是边的中点，是线段的中点，得，，则，当且仅当，即时取等号，在中，由余弦定理得：，所以.故选：D【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据平面向量数量积以及平面向量基本定理，确定取得最小值的条件，根据三角形面积公式，以及余弦定理，求解即可.8.《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件找出外接球的球心，求出半径，再利用球的体积公式即可求解.【详解】连接,交于点,取的中点，则平面,,取的中点,连接,作,垂足为，如图所示由题意可知，，所以,所以,,所以,又,所以，即这个几何体的外接球的球心为，半径为，所以这个几何体的外接球的体积为.故选：B.二､多选题（本大题共3小题，共18.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是（）A，B.C.若，，则的最小值为1D.若是关于x的方程的根，则【答案】ACD【解析】【分析】根据复数的乘法运算结合复数的模的计算，可判断A；根据虚数单位的性质可判断B；设，根据复数的模的计算公式，可得，以及，结合x的范围可判断C；将代入方程，结合复数的相等，求出p，即可判断D.【详解】对于A，，设复数，则，，故，A正确；对于B，由于，故，B错误；对于C，，设，由于，则，故，由，得，则，故当时，的最小值为1，C正确；对于D，是关于x的方程的根，故，即，故，D正确，故选：ACD10.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A.招商引资后，工资净收入较前一年增加B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍【答案】AD【解析】【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选：AD.11.已知事件A，B发生的概率分别为，，则（）A. B.C.若A与B互斥，则 D.一定有【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，又且，则，所以，即，故B正确；对于C，因为A与B互斥，所以，则，故C错误；对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”，则满足，，但不成立，故D错误；故选：AB.三､填空题（本大题共3小题，共15.0分）12.为获得某中学高一学生的身高（单位：）信息，采用随机抽样方法抽取了样本量为50的样本，其中男女生样本量均为25，计算得到男生样本的均值为176，标准差为10，女生样本的均值为166，标准差为20.则总样本的方差为__________.【答案】275【解析】【分析】结合平均值和方差公式,即可求解.【详解】记男生样本为,均值为,方差为,女生样本为,均值为,方差为,容量为50的样本均值为,方差为，则，，∴，则.故答案为：275.13.设点Q在半径为1的圆P上运动，同时，点P在半径为2的圆O上运动．O为定点，P，Q两点的初始位置如图所示，其中，当点P转过角度时，点Q转过角度，则在运动过程中的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，，由于,所以，故，故的取值范围为，故答案为：14.如图，已知在矩形中，，点是边的中点，与相交于点，现将沿折起，点的位置记为，此时，则二面角的余弦值为__________．【答案】##【解析】【分析】过点在平面内作，垂足为点，连接，证明二面角的平面角为，根据几何关系即可求解．【详解】在三棱锥中，，∴，过点在平面内作，垂足为点，连接．∵即在矩形ABCD中，AC⊥DE，∴易得平面又∵平面，∵平面，平面，平面，∴二面角的平面角为，在中，，由余弦定理可得，∴，∴，∵平面平面，∴，故，∴二面角的余弦值为．故答案为：.四､解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图：（1）估计两组测试的平均成绩，（2）若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率．【答案】（1）“田径队”平均成绩为73，“足球队”的平均成绩为71（2）【解析】【分析】（1）根据频率和为1计算得到，，再根据平均数公式计算得到答案.（2）确定抽取的比例为，列举出所有情况，统计满足条件的情况，得到概率.【小问1详解】由田径队的频率分布直方图得：，解得，同理可得．其中“田径队”的平均成绩为：，“足球队”的平均成绩为：.【小问2详解】“田径队”中90分以上的有（人），“足球队”中90分以上有（人）．所以抽取的比例为，在“田径队”抽取（人），记作a，b，c，d；在“足球队”抽取（人）．记作A，B，C．从中任选2人包含的基本事件有：ab，ac，ad，aA，aB，aC；bc，bd，bA，bB，bc；cd，cA，cB，cC；dA，dB，dC；AB，AC；BC，共21个，正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个，故正、副队长都来自“田径队”的概率为．16.11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.【答案】（1）；（2）0.1【解析】【分析】(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．【详解】(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”所以(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”所以【点睛】本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．17.龙光塔始建于明朝万历二年，位于无锡市锡山山顶，如图，某学习小组为了在塔外测量龙光塔的高度，在与塔底B水平的C处测量得塔顶A的仰角为.受锡山地形所限，他们沿斜坡从C点下行14米到达D点（与A，B，C共面）后，测量得塔顶A的仰角为.已知C，D两点的海拔高度差为2米.（1）记斜坡CD与水平方向的夹角为锐角，计算的余弦值；（2）计算龙光塔的高度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依题意结合图形，在中求得，再利用三角函数的平方关系即可得解；（2）结合图形，分别求得，从而得到关于的方程，解之即可得解.【小问1详解】依题意，过作交于，过作，交于，如图，则，所以在中，，又，所以，所以的余弦值为.【小问2详解】由（1）得，，设龙光塔的高度，则在中，，则，易知四边形是矩形，则，，又在中，，则，所以，即，故.所以龙光塔的高度为.18.如图所示，在平行四边形ABCD中，A＝45°，，E为AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△PDE，使平面PDE⊥平面BCD，F为线段PC的中点．（1）证明：平面PDE；（2）已知M为线段DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角的正切值．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取PD的中点H，证明四边形FHEB为平行四边形，由线面平行判定定理即可得证；（2）由题目条件易得，在由面面垂直的性质定理证得平面⊥平面，连接,即为直线MF与平面PDE所成的角，,代入即可求出答案.【小问1详解】取PD的中