2024-2025学年浙江省宁波市余姚市姚江中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年浙江省宁波市余姚市姚江中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，是二次函数的是(

)A.y=x B.y=3x C.y=x2.随机事件的概率是(

)A.1 B.0 C.大于0且小于1 D.大于13.下列事件中是必然事件的是(

)A.某射击运动员射击一次，命中靶心 B.抛掷一枚硬币，落地后正面朝上

C.三角形内角和是360° D.当x是实数时，x4.二次函数y=4(x−3)2+7的顶点坐标是A.(−3,7) B.(3,7) C.(−3,−7) D.(3,−7)5.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2−2x−1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是A.y=(x+1)2+1 B.y=(x−3)2+16.一个不透明的口袋中装有8个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同.摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是13，估计袋中白球的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.47.已知二次函数y=3(x−1)2+k的图象上有三点A(2,y1)，B(2,y2)A.y1>y2>y3 B.8.设一元二次方程(x−1)(x−2)=m(m>0)的两实根分别为α，β，且α<β，则α，β满足(

)A.1<α<β<2 B.1<α<2<β C.α<1<β<2 D.α<1且β>29.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，且经过点(−3,0).下列结论：①abc<0；②a+b+c<0；③若(−4,y1)和(3,y2)是抛物线上两点，则y1>A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)与二次函数y=12x2+ex+f(e,f为常数)的图象的顶点分别为A、B，且相交于C(m,n)和D(m+8,n)，若∠ACB=90°A.−12

B.−14

C.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11.二次函数y=3x2−2x+512.抛物线y=−x2+x+3与y13.在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：试种数量200500100015002000发芽的频率0.670.730.690.700.71在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为______.(结果精确到0.1)14.小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球4000个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在0.6附近波动，据此可以估计黑球的个数约是______．15.实数a，b满足a2+b2−2a=016.若二次函数的图象与x轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线.如图，自左至右的一组二次函数的图象T1，T2，T3……是标准抛物线，且顶点都在直线y=33x上，T1与x轴交于点A1(2,0)，A2(A2在A1右侧)，T2与x轴交于点A三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

口袋里只有8个球，除颜色外都相同，其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：(1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值．

(2)在(1)的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是78，求取走多少个白球．18.(本小题6分)

已知二次函数顶点为(1,−9)且过点A(0,−8)．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)当y>0时，求x的取值范围．19.(本小题6分)

在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个数字，分别为−2，1，3(每张卡片除了数字不同外，其余均相同)．

(1)先从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的数字是1的概率；

(2)先从盒子中随机抽取一张卡片，记卡片上的数为A，再从剩余的卡片中随机抽取一张，记卡片上的数为B，请用列表法或画树状图(树形图)法求两次抽取的卡片上的数字之积为2的倍数的概率．20.(本小题10分)

如图，二次函数y=ax2+bx+c过点A(−1,0)，B(3,0)和点C(4,5)．

(1)求该二次函数的表达式及最小值．

(2)点P(m,n)是该二次函数图象上一点．

①当m=−4时，求n的值；

②已知点P到y轴的距离不大于4，请根据图象直接写出21.(本小题8分)

某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．

(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少．22.(本小题10分)

抛物线y=a(x−2)2的顶点为A，与y轴交于点B(0,4)．

(1)求a的值；

(2)若将该抛物线向右平移6个单位，写出平移后的抛物线表达式，并求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标．23.(本小题8分)

如图，用长为24米的篱笆靠一道长为a米的墙围一个矩形养鸡场(靠墙一面不用篱笆)．

(1)求下列情形下养鸡场的面积的最大值；

①a=15；

②a=10．

(2)若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为67.5平方米，求a的值．24.(本小题12分)

如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A(−3,0)，B(1,0)，交y轴于点C.点P(m,0)是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；

②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点

参考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.A

6.D

7.D

8.D

9.B

10.C

11.3

−2

5

12.(0,3)

13.0.7

14.2400

15.8

16.y=−17.解：(1)∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x+y=8，

∴x=y=4；

(2)设取走x个白球，放入x个红球，则口袋中现在有白球(4−x)个，红球(4+x)个，

根据题意得，4+x8=78，

解得x=3，

18.解：(1)已知抛物线的顶点坐标为(1,−9)，

设此二次函数的解析式为y=a(x−1)2−9，

把点(0,−8)代入解析式，得：

a−9=−8，即a=1，

∴此函数的解析式为y=(x−1)2−9．

(2)当y=0时，(x−1)2−9=0，

解得x=4或x=−2，

∴抛物线与x轴的交点为(4,0)，(−2,0)，

∵y>0时，函数的图象位于x轴的上方，

∴图象位于19.解：(1)由题意可得，

卡片上的数字是1的概率是13；

(2)

由树状图可知，一共有六种可能性，其中是2的倍数的有4中可能性，故两次抽取的卡片上的数字之积为2的倍数的概率是46=20.解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)和点C(4,5)代入y=ax2+bx+c，

得：a=1，b=−2，c=−3，

∴函数表达式为y=x2−2x−3，

∵y=(x−1)2−4，

∵a=1>0，

∴y有最小值，最小值为−4．

(2)①当m=−4时，n=16+8−3=21；

②点P到y轴的距离为|m|，

∴|m|≤4，

∴−4≤m≤4，

21.解：(1)由题意得：w=(x−20)[250−10(x−25)]=−10x2+700x−10000；

(2)由题意得：250−10(x−25)≥160且x≥30，解得30≤x≤34，

而w=(x−20)[250−10(x−25)]=−10(x−20)(x−50)，

∵a=−10<0，

而函数的对称轴为x=12(20+50)=35，

故当x<35时，w随x的增大而增大，

故当x=34(元)时，w22.解：(1)根据题意得，4=a(0−2)2，

故a=1；

(2)抛物线解析式是y=(x−2)2，将该抛物线向右平移6个单位，

∴平移后抛物线解析式是y=(x−2−6)2=(x−8)2，

故平移后抛物线解析式是y=(x−8)2，

两条抛物线的交点得，

23.解：(1)设矩形的长为x米，则宽为24−x2米，由题意可知x≤a，

∴设矩形的面积为S，则S=x×24−x2

=−12x2+12x

=−12(x−12)2+72，

∵−12<0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=12，

∴当0<x≤12时，S随x的增大而增大，当x≥12时，S随x的增大而减小；

①a=15时，x≤a即x≤15；

∴当x=12时，S有最大值为72平方米；

②a=10时，x≤a即x≤10，

∴当x=10时，面积的最大值为−12×(10−12)2+72=70(平方米)．

(2)令S=67.5得：−12(x−12)2+72=67.524.解：(1)把A(−3,0)，B(1,0)代入y=x2+bx+c中，

得9−3b+c=01+b+c=0,

解得b=2c=−3,

∴这个二次函数的表达式为y=x2+2x−3；

(2)①∵y=x2+2x−3，

∴当x=0时，y=−3，

∴C点