微积分-经管类-上册3.7 习题课

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二、导数应用习题课一、微分中值定理及其应用中值定理及导数的应用

第3章

拉格朗日中值定理一、微分中值定理及其应用1.微分中值定理及其相互关系

罗尔定理

泰勒中值定理

柯西中值定理2.微分中值定理的主要应用(1)研究函数或导数的性态(2)证明恒等式或不等式(3)证明有关中值问题的结论3.有关中值问题的解题方法利用逆向思维

,设辅助函数.一般解题方法:证明含一个中值的等式或根的存在,(2)若结论中涉及含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可用原函数法找辅助函数.多用罗尔定理,可考虑用柯西中值定理

.必须多次应用中值定理.(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.有时也可考虑对导数用中值定理.4.

设实数满足下述等式证明方程在(0,1)内至少有一个实根.证:

令则可设且由罗尔定理知存在一点使即二、导数应用1.研究函数的性态:增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率2.解决最值问题

目标函数的建立与简化

最值的判别问题3.其他应用:求不定式极限;几何应用;相关变化率;证明不等式;研究方程实根等.例1.

证明在上单调增加.证:令在[x,

x+1]上利用拉格朗日定理,故当

x>0时,从而在上单调增.得7.

求数列的最大项.证:设用对数求导法得令得因为在只有唯一的极大值点因此在处也取最大值.又因中的最大项.极大值列表判别:例2.

证明证:

设,则故时,

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