2024-2025学年天津市和平区汇文中学高三（上）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津市和平区汇文中学高三（上）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U={x∈N∗|x≤5}，A={1,4}，B={4,5}，则∁A.{1,2,3,5} B.{1,2,4,5} C.{1,3,4,5} D.{2,3,4,5}2.“x2≤x”是“1x≥1A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.设a=0.42，b=log0.43，c=40.3，则a，A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b4.函数f(x)=(x2−1)cosπxA. B.

C. D.5.已知{an}是单调递增的等比数列，且a4+a5=27A.3 B.−3 C.2 D.−26.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(sinπ3,cosA.0 B.12 C.227.已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，TnA.1311 B.2110 C.13228.我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示，若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧AB的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是(

)

A.9−92sin2 B.92sin9.已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x−2)且f(4−x)=f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)=(254)x,x∈[0,1A.0 B.1 C.5 D.10二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.设2 ​a=5 ​b=m，且11.已知sinα+cosα=713，α∈(0,π).则sinαcosα=______，tanα=______．12.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S3=4，a13.设a∈R，函数f(x)=ex+a⋅e−x的导函数y=f′(x)是奇函数，若曲线14.函数y=logax+ax−1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k,b)，若m+n=b−k且m>0，15.已知函数f(x)=cosωx−3sinωx(ω>0)的部分图象如图所示，下列不正确的有______.(填序号)

①函数f(x)的图象关于点(7π12,0)中心对称

②函数f(x)的单调增区间为[kπ−2π3,kπ−π6](k∈Z)

③函数f(x)的图象可由y=2sinωx的图象向左平移5π12个单位长度得到

三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a2+c(1)求B的值;(2)求b的值;(3)求sin(2A−B)的值．17.(本小题12分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=3，S5=25．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ18.(本小题12分)

已知函数f(x)=cosx(3sinx+cosx)−12(x∈R)．

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0,π2]上的最大值和最小值；

19.(本小题12分)数列an的前n项和为Sn，且Sn=n2n(1)求数列an(2)求证：数列bn(3)设数列cn满足cn=anbn+120.(本小题12分)

已知函数g(x)=2x+lnx，f(x)=mx−m−2x−lnx，m∈R．

(1)求函数g(x)的极值；

(2)若f(x)−g(x)在[1,+∞)上为单调函数，求m的取值范围；

(3)设ℎ(x)=2ex，若在[1,e]上至少存在一个参考答案1.A

2.B

3.B

4.A

5.C

6.B

7.D

8.A

9.B

10.1011.−60169

12.5

13.ln2

14.8

15.④

16.解：(1)因为

a2+由余弦定理可得

b2=可得

cosB=12所以

B=π3(2)由

cosA=53

，且A∈(0,π)，则

由(1)知

B=π3

，又因为

a=正弦定理得：

bsin B则

b=94(3)因为

sin2A=2sinAcosA=4所以

sin(2A−B)=sin

17.解：(Ⅰ)设等差数列{an}公差为d，首项为a1，

则有a1+d=35a3=5(a1+2d)=25，解得a1=1d=2，

所以an18.解：(1)由题知：f(x)=3sinxcosx+cos2x−12=32(2sinxcosx)+2cos2x−12=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)，

所以函数f(x)

的最小正周期为π.…(5分)

因为x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6].…(7分)

故当2x+π6=7π6

时，函数f(x)取得最小值为−12；当2x+19.解：(1)当

n=1

时，

a1=当

n≥2

时，

an=检验，当

n=1

时

a1=1=2所以

an=2n−1(2)当

n≥2

时，

bn+1而

b1+1=3所以数列

bn+1

是等比数列，且首项为3，公比为(3)由(1)(2)得

bn+1=3cn=所以

T=1⋅113T由①−②得23=1=1=23所以

Tn=1−(n+1)因为

(n+1)13所以

Tn<

20.解：(1)因为g′(x)=−2x2+1x=x−2x2，由g′(x)=0得：x=2，

当x>2时，g′(x)>0，当0<x<2时，g′(x)<0，

所以x=2为函数g(x)的极小值点，

故g(x)极小值=g(2)=1+ln2．

(2)f(x)−g(x)=mx−mx−2lnx，∴[f(x)−g(x)]′=mx2−2x+mx2，

因为y=f(x)−g(x)在[1,+∞)上为单调函数，

所以mx2−2x+m≥0或mx2−2x+m≤0在[1,+∞)上恒成立，

mx2−2x+m≥0等价于m≥2x1+x2在[1,+∞)恒成立，

又2x1+x