微积分-经管类-上册1.6 极限存在准则

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二、两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及极限存在准则第6节极限存在准则两个重要极限

第1章一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系定理1.(P18.定理5）有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有定理1.有定义,且设即当有有定义,且对上述

,时,有于是当时故可用反证法证明.(略)有证：当“”“”定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使例1.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.2.夹逼准则

(准则1)证:

由条件(2),当时,当时,令则当时,有由条件(1)即故例2.证明证:利用夹逼准则.且由3.函数极限存在的夹逼准则定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则1可证)4.单调有界数列必有极限

(准则2

)(证明略)例3.设证明数列极限存在.证:利用二项式公式,有大大正比较可知根据准则2可知数列记此极限为e,e

为无理数,其值为即有极限.又内容小结圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有注注注当时例4.

求解:例5.

求解:

令则因此原式例6.

求解:

原式=例7.

已知圆内接正n

边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用2.证:当时,设则当则从而有故说明:

此极限也可写为时,令例8.

求解:

令则说明

：若利用则原式例9.求解:

原式=的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1

找一个数列且使法2

找两

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