人教版2024高中数学第二章一元二次函数方程和不等式(三十九)

单选题1、已知正实数满足，则的最小值为（

）A．6B．8C．10D．12答案：B分析：令，用分别乘两边再用均值不等式求解即可.因为，且为正实数所以，当且仅当即时等号成立.所以.故选：B.2、已知都是正实数，若，则

的最小值为（

）A．2B．4C．6D．8答案：D分析：均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.由可知（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）以上三个不等式两边同时相乘，可得（当且仅当时等号成立）故选：D3、某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案

为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A．B．C．D．答案：D分析：由不等关系求解即可.经过年之后，方案的投入为，故经过年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故选：D4、设实数满足，函数的最小值为（

）A．B．C．D．6答案：A解析：将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.解：由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为.故选：A．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5、某工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂的成本分为以下三个部分：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的费用是每单位元（试剂的总产量为单位，），则要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为（

）A．60单位B．70单位C．80单位D．90单位答案：D分析：设生产每单位试剂的成本为，求出原料总费用，职工的工资总额，后续保养总费用，从而表示出，然后利用基本不等式求解最值即可．解：设每生产单位试剂的成本为，因为试剂总产量为单位，则由题意可知，原料总费用为元，职工的工资总额为元，后续保养总费用为元，则，当且仅当，即时取等号，满足，所以要使生产每单位试剂的成本最低，试剂总产量应为90单位．故选：D．6、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（

）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.7、不等式的解集是（

）A．B．C．D．，或答案：C分析：根据一元二次不等式的解法计算可得；解：由，解得，即不等式的解集为；故选：C8、已知函数的图象与x轴交于、两点，则不等式

的解集为（

）A．B．C．D．答案：D解析：利用函数图象与的交点，可知的两个根分别为或，再利用根与系数的关系，转化为，，最后代入不等式，求解集.由条件可知的两个根分别为或，则，，得，，，整理为：，解得：或，所以不等式的解集是.故选：D小提示：思路点睛：本题的关键是利用根与系数的关系表示，，再代入不等式化简后就容易求解.9、不等式的解集为（

）A．或B．

C．或D．答案：D分析：不等式等价于，即，且，由此求得不等式的解集．不等式等价于，即，且，解得，故不等式的解集为，故选：D．10、若不等式的解集是，则不等式的解集是（

）A．B．C．D．答案：C分析：依题意和是方程的两个实数根，利用韦达定理得到方程组，即可求出、，再解一元二次不等式即可.解：因为不等式的解集是，∴和是方程的两个实数根，由，解得：，，

故不等式即，即，即，解得：，所以所求不等式的解集是：.故选：C．多选题11、若，则下列不等式恒成立的是（

）A．B．C．D．答案：AC分析：根据作差法比较大小或者取特殊值举反例即可.对于A选项,

由于,故,所以,

即,故A选项正确;对于B选项,

由于,故,

,故,故B选项错误;对于C选项,

因为,故,所以,所以,故C选项正确;对于D选项,令,则,所以不成立,故D选项错误;故选:AC小提示：本题考查不等式的性质，作差法比较大小，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用不等式的性质或者作差法比较大小，进而判断.12、对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（

）A．

B．

C．D．答案：ABCD分析：首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，讨论不等式的解集.对于一元二次不等式，则当时，函数开口向上，与轴的交点为

，故不等式的解集为；当时，函数开口向下，若，不等式解集为

；若，不等式的解集为

，若，不等式的解集为，综上，都成立，故选：小提示：本题考查含参的一元二次不等式的解法，属于中档题型，本题的关键是讨论的取值范围时，要讨论全面.13、设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H.

Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（

）A．B．C．D．答案：AB分析：根据基本不等式比较大小可判断四个选项.对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，当时，由C可知，，故D不正确.故选：AB14、若正实数a，b满足则下列说法正确的是（

）A．ab有最大值

B．有最大值C．有最小值2D．有最大值答案：AB解析：对A,根据基本不等式求的最大值；对B,对平方再利用基本不等式求最大值；对C,根据再展开求解最小值；对D,对平方再根据基本不等式求最值.对A,,当且仅当时取等号.故A正确.对B,

,故,当且仅当时取等号.故B正确.对C,

.当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误.对D,

,即,故有最小值.故D错误.故选：AB小提示：本题主要考查了基本不等式求解最值的问题,需要根据所给形式进行合适的变形,再利用基本不等式.属于中档题.15、已知且，那么下列不等式中，恒成立的有（

）．A．B．C．D．答案：ABC分析：利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论．，(当且仅当时取得等号)．所以选项A正确由选项A有，设，则在上单调递减.所以，所以选项B正确(当且仅当时取得等号)，

．所以选项C正确.（当且仅当时等号成立），所以选项D不正确．故A，B，C正确故选：ABC小提示：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题填空题16、在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．这次事故的主要责任方为________．答案：乙车分析：依题意,分别列出一元二次不等式,求出各车的最低速度,即可求解.解:由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10．分别求解，得x甲<－40或x甲>30．x乙<－50或x乙>40．由于x>0，从而得x甲>30km/h，x乙>40km/h．经比较知乙车超过限速，应负主要责任．故答案为:乙车.17、若，则的最小值为_____．答案：2分析：化简，结合基本不等式，即可求解.由，则，当且仅当时取“”，即的最小值为2．所以答案是：2.18、已知正实数x，y满足，则最小值为______．答案：9分析：利用基本不等式的性质直接求解即可.正数，满足：，，当且仅当，即，时

“”成立，所以答案是：.19、已知实数，，满足则的取值范围是__