人教版2024高中数学第六章平面向量及其应用(四十五)

单选题1、在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是

A．B．C．D．答案：B分析：由题意知复数对应的向量按顺时针方向旋转，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：由题意知复数对应的向量按顺时针方向旋转，旋转后的向量为．故选：B．2、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则等于（

）A．B．C．D．答案：B分析：直接利用余弦定理计算可得.解：因为，所以．故选：B3、某人先向东走3km，位移记为，接着再向北走3km，位移记为，则表示（

）A．向东南走B．向东北走C．向东南走D．向东北走答案：B分析：由向量的加法进行求解.由题意和向量的加法，得表示先向东走3km，再向北走3km，即向东北走.故选：B.4、在中，，若，则的大小是（

）A．B．C．D．答案：C分析：由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断的形状，即可判断选项.因为，所以，由余弦定理可知，即，得，所以是等边三角形，.故选：C5、某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，则A，B间的直线距离约为（参考数据）（

）A．60米B．120米C．150米D．300米答案：C分析：应用正弦定理有，结合已知条件即可求A，B间的直线距离.由题设，，在△中，，即，所以米.故选：C6、锐角中，角、、所对的边分别为、、，若、，，，且，则的面积为（

）A．B．C．D．答案：D分析：先由向量垂直得到，利用余弦定理求出或，利用锐角三角形排除，从而，利用面积公式求出答案.由题意得：，故，因为，所以，由余弦定理得：，解得：或，当时，最大值为B，其中，故为钝角，不合题意，舍去；当时，最大值为B，其中，故B为锐角，符合题意，此时.故选：D7、已知边长为1的正方形，设，，，则（

）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案.因为是边长为1的正方形，，所以又，所以故选：B8、勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理．汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性．现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将延长至）得到图2．在图2中，若，，、两点间的距离为，则弦图中小正方形的边长为（

）A．B．C．D．答案：C分析：利用余弦定理可求得的值，可求得、、的长，进而可得出弦图中小正方形的边长.由条件可得，在中，由余弦定理得，所以，，所以，，，，所以弦图中小正方形的边长为．故选：C.多选题9、已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（

）A．B．C．D．答案：ACD分析：对于选项A，根据，求出的值，进行判断；对于选项B，由的值可得的坐标；对于选项C，由，坐标，可得的坐标，进而计算的模；对于选项D，由的坐标，根据公式计算与其同向单位向量的坐标判断正误.对于选项A，根据，求出的值，故A正确；对于选项B，由，得，故B错误；对于选项C，，，可得，所以，故C正确；对于选项D，因为单位向量与同向，所以，，故D正确.故选：ACD.10、下列命题正确的是（

）A．若向量、满足，则或B．若向量，的夹角为钝角，则C．已知，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为4D．设，是同一平面内两个不共线的向量，若，，则，可作为该平面的一个基底答案：BCD分析：当都不为零向量满足时，，判断A;根据数量积的定义可判断B;计算出量在向量方向上的投影向量的长度即可判断C；根据，不共线可推出，不共线，即可判断D.对于A，当都不为零向量且满足时，，故A错误；对于B，因为

，当向量，的夹角为钝角时，，故，故B正确；对于C，，，则向量在向量方向上的投影向量的长度为

，故C正确；对于D，由于，不共线，故，不共线，故，可作为该平面的一个基底，D正确；故选：BCD11、（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（

）A．－2B．C．1D．－1答案：ABD分析：先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．因为，．假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.故选：ABD．12、已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c且a＝6，4sinB＝5sinC，有以下四个命题中正确命题有

（

）A．△ABC的面积的最大值为40B．满足条件的△ABC不可能是直角三角形C．当A＝2C时，△ABC的周长为15D．当A＝2C时，若O为△ABC的内心，则△AOB的面积为答案：ACD分析：对于A，运用圆的方程和三角形的面积公式，即可得到所求最大值；对于B，考虑勾股定理的逆定理，即可判断；对于C，运用正弦定理可得4b＝5c，运用三角函数的恒等变换，即可得到所求周长；对于D，运用正弦定理和三角函数的恒等变换、三角形的面积公式和等积法，即可得到所求面积.以BC的中点为坐标原点，BC所在直线为x轴，可得B（﹣3，0），C（3，0），4sinB＝5sinC，可得4b＝5c，设A（m，n），可得4＝5，平方可得16（m2+n2﹣6m+9）＝25（m2+n2+6m+9），即有m2+n2+m+9＝0，化为（m+）2+n2＝（）2，则A的轨迹为以（﹣，0），半径为的圆，可得△ABC的面积的最大值为×6×＝40，故A对；a＝6，4sinB＝5sinC即4b＝5c，设b＝5t，c＝4t，由36+16t2＝25t2，可得t＝，满足条件的△ABC可能是直角三角形，故B错误；a＝6，4sinB＝5sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝，由＝，可得＝＝，由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝，解得：cosC＝，或﹣（舍去），sinC＝＝，可得sinA＝2sinCcosC＝2××＝，＝，可得：c＝4，b＝5，则a+b+c＝15，故C对；a＝6，4sinB＝5sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝，由＝，可得＝＝，由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝，解得：cosC＝，或﹣（舍去），sinC＝＝，可得：sinA＝2sinCcosC＝2××＝，＝，可得：c＝4，b＝5，S△ABC＝bcsinA＝×5×4×＝.设△ABC的内切圆半径为R，则R＝＝＝，S△ABO＝cR＝×4×＝.故D对.故选：ACD.小提示：本题考查三角形的正弦定理和面积公式的运用，考查三角函数的恒等变换，考查转化思想和运算能力，属于难题.填空题13、设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是________.答案：分析：由可得，且，整理得，结合三角函数和二次函数性质求出范围，即可得范围，同时将代换成关于表达式，即可求解.∵2＝，，∴，且，∴，即，又∵，，∴，∴－2≤4m2－9m＋4≤2，解得≤m≤2，∴，又∵λ＝2m－2，∴，∴，∴的取值范围是.所以答案是：.14、已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是BC的中点，若，则的最大值为______．答案：分析：利用正弦定理将边化角，即可得到，再结合得到，最后借助基本不等式即可求解．解：因为，由正弦定理可得所以，化简得，即，因为，所以所以，又，，由余弦定理知，即，又，化简得，，又，当且仅当时取等号，故，即．所以答案是：．15、已知、、表示共面的三个单位向量，，那么的取值范围是__________．答案：分析：计