199勾股定理（第2课时）（作业）

19.9勾股定理（第2课时）（作业）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海·八年级单元测试）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=ABAB′即可得出答案．【详解】∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故选：B．【点睛】考查了二次根式的应用和勾股定理，解题关键是根据已知条件求出AB和AB′的长度．2．（2021·上海虹口·八年级期末）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6 B．6.5 C．10 D．13【答案】B【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【详解】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．故选：B．【点睛】本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．3．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）在△ABC中，BC=7，AC=24，AB=25，如果CD是AB边上的高，则CD=（

）A．7 B．24 C．25 D．【答案】D【分析】由题干条件知：AC2+BC2=AB2，根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，根据三角形的面积相等即可求出CD的长．【详解】在△ABC中，∵AB=25，AC=24，BC=7，∴242+72=252，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．根据三角形面积相等可知，BC•AC=AB•CD，∴CD=．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，利用好勾股定理的逆定理以及面积法求高是解答本题的关键．二、填空题4．（2022·上海·八年级专题练习）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是____________米．【答案】8【分析】在图中标出字母，由题意得到米，米，，运用勾股定理AB，最后利用来求解．【详解】解：如下图．由题意得：米，米，，∴折断的部分AB的长为：（米），∴折断前高度为（米）．故答案为：8．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，培养学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．5．（2022·上海·八年级期末）边长为6的等边三角形的面积是__________．【答案】【分析】作出相应图形中，作，由三线合一性质解得DC=3，继而根据勾股定解得AD的长，最后根据三角形面积公式解题．【详解】如图，在中，作，故答案为：．【点睛】本题考查等边三角形的性质、三线合一性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·上海虹口·八年级期末）将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F，若AB＝14cm，则AF＝_____cm．【答案】【分析】求出∠AFC＝∠E＝45°，由直角三角形的性质求出AC＝7cm，由勾股定理可得出答案．【详解】解：由题意知，∠ACB＝∠D＝90°，∴CF∥DE，∵∠E＝45°，∴∠AFC＝∠E＝45°，∴AC＝CF，∵AB＝14cm，∠B＝30°，∴AC＝AB＝7cm，∴AF＝（cm）．故答案为：．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．7．（2020·上海市川沙中学南校八年级期末）一木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4m处，则木杆折断前有_______米．【答案】8【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．【详解】解：∵一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，如图，∴折断的部分长为，∴折断前高度为5+3=8（米）．故答案为：8．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．【答案】5或【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：；∴第三边的长为：或5，故答案为：或5．三、解答题9．（2021·上海市南汇第四中学八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求：△ABC的面积和∠C的度数．【答案】面积为，∠C＝60°【分析】作AD⊥BC于D，取的中点，连接，利用勾股定理构建方程求出x，即可求出AD，证明是等边三角形，即可求得，进而解答即可．【详解】解：作AD⊥BC于D，取的中点，连接设CD＝x，则BD＝8﹣x，由勾股定理可得：，解得：x＝2.5，即CD＝2.5，，是的中点，，是等边三角形，∴．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，等边三角形的性质与判定，掌握勾股定理是解题的关键．10．（2022·上海·八年级专题练习）某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索AC比木柱AB长三尺，BC的长度为8尺，求：绳索AC的长度．【答案】绳索长是尺【分析】设，则，由勾股定理及即可求解．【详解】设，则，在中，，∴，解得：，答：绳索长是尺．【点睛】本题考查勾股定理得应用，用题意列出等量关系式是解题的关键．【能力提升】一、单选题1．（2019·上海市进才中学北校八年级阶段练习）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先画出三角形，根据勾股定理和题目设好的未知数列出方程．【详解】解：如图，根据题意，，，设折断处离地面的高度是x尺，即，根据勾股定理，，即．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的方程思想，解题的关键是根据题意利用勾股定理列出方程．2．（2022·上海·八年级单元测试）“赵爽炫图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽炫图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为,较短直角边长为，若(a+b)2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为(

)A． B．2 C． D．【答案】C【详解】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出小正方形的面积，即可得出小正方形的边长．解：∵(a+b)2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21−13=8，∴小正方形的面积为13−8=5.∴小正方形的边长为.故选C.二、填空题3．（2022·上海·测试·编辑教研五八年级期中）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为______．【答案】##【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．由旋转的性质可知，，进而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理得到，再由直角三角形斜边上的中线得到，最后根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．由旋转的性质可知，，，，，，，，，，，，，共线，，，，，，正方形的面积为．故答案为．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确构造旋转图形是解题的关键．4．（2022·上海·八年级期末）《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”大致意思是：有一根长为10尺的竹子，中间折断后竹梢触底，如图，离开根部为3尺（），那么折断后的竹子（）的高度为___________．【答案】4.55尺．【分析】设AB=x，则BC=10x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】∵∠ABC=90°，AB+AC=10，设AB=x，则BC=10x，在直角三角形ABC中，根据勾股定理，得，∴，解得x=4.55∴折断后的竹子（）的高度为4.55尺，故答案为：4.55尺．【点睛】本题考查了直角三角形的勾股定理，熟练掌握定理，并灵活列式求解是解题的关键．5．（2022·上海·八年级期末）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________．【答案】．【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜边上的中线性质，求得CD，BD的长，再利用折叠的性质，引进未知数，用勾股定理列出两个等式，联立方程组求解即可．【详解】如图所示，∵，∴BC==8，∵CD是上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y，根据题意，得，，解得x=，y=,∴,故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理，斜边上中线的性质，方程组的解法，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，正确构造方程组计算是解题的关键．6．（2020·上海市奉贤区弘文学校八年级期末）如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C作垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为_________．【答案】2【分析】根据△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答.【详解】解：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，设，则,根据勾股定理可得：，且，解得：，∵∠ABC的平分线是PB，∴点P到边AB所在直线的距离与点P到边BC所在直线的距离相等.故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用勾股定理求值，解决本题的关键是等边三角形的性质．7．（2019·上海松江·八年级期末）如图，将绕着顶点逆时针旋转使得点落在上的处，点落在处，联结，如果，，那么__________．【答案】【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据旋转的性质求出AC′、B′C′，在Rt△BC′B′中，求出BC′，B′C′即可解决问题．【详解】在中，，，，，由旋转的性质可得：，，∠AC′B′=∠C=90°，，∠B′C′B=90°，．故答案为：．【点睛】本题考查旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质及勾股定理．三、解答题8．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）阅读材料：两点间的距离公式：如果直角坐标系内有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B两点的距离AB＝．则AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若点A（4，1），B（2，3），则AB＝根据上面材料完成下列各题：(1)若点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是．(2)若点A（﹣2，3），点B在坐标轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点坐标．(3)若点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，求x的值．【答案】(1)(2)或或或(3)【分析】（1）直接利用AB＝计算即可；（2）分两种情况讨论：点B在坐标轴上，设或再利用可得列方程，再解方程即可；（3）直接利用列方程，再解方程即可.(1)解：点A（﹣2，3），B（1，﹣3），则A、B两点间的距离是：故答案为：(2)解：点B在坐标轴上，设或当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，或或当时，点A（﹣2，3），且A、B两点间的距离是5，或解得：或(3)解：点A（x，3），B（3，x+1），且A、B两点间的距离是5，整理得：解得：【点睛】本题考查的是已知两点坐标求解两点之间的距离，一元二次方程的解法，掌握“两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则A、B两点的距离AB＝”是解本题的关键.9．（2022·上海·八年级期末）阅读下面的材料，然后解答问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．（1）①根据奇异三角形的定义，等边三角形一定______奇异三角形；（填“是”或“不是”）②若某三角形的三边长分别为、、，试判断该三角形是否为奇异三角形？并说明理由．（2）探究：已知某直角三角形的两条边长分别是、，且，，则这个三角形是否为奇异三角形？请说明理由．【答案】（1）①是；②是，理由见解析；（2）是，理由见解析【分析】（1）①根据等边三角形的三边相等、奇异三角形的定义判断；②根据奇异三角形的定义判断；（2）分c为斜边、b为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断．【详解】解：（1）①设等边三角形的边长为a，则a2+a2=2a2，∴等边三角形一定是奇异三角形，故答案为：是；②因为，，，所以该三角形是奇异三角形．（2）当为斜边时，则，则，，，所以不是奇异三角形；当为斜边时，，则有，所以是奇异三角形，答：当为斜边时，不是奇异三角形；当为斜边时，是奇异三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理、奇异三角形的定义，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．10．（2021·上海浦东新·八年级阶段练习）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝6，现将梯形折叠，点B恰与点D重合，折痕交AB边于点E，则CE＝_____．【答案】4【分析】连接DE，BD，由题意可证△BCD是等边三角形，可得BD＝BC＝6，∠DBC＝60°，由直角三角形的性质可求AD＝3，AB＝3，由直角三角形的性质可求BE＝2，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接DE，BD，∵∠BCD＝60°，BC＝CD＝6，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝BC＝6，∠DBC＝60°，∵∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAB＝90°，∠ABD＝30°，∠ADB＝∠DBC＝60°，∴AD＝BD＝3，AB＝AD＝3，∵折痕交AB边于点E，∴BE＝DE，∵∠DBE＝∠BDE＝30°，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴BE＝2AE，∵AE+BE＝AB＝3，∴BE＝2，∴EC＝＝＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了折叠和勾股定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理．11．（2019·上海市进才中学北校八年级阶段练习）"引葭赴岸“是《九章算木》中的一道题:”今有池一丈,葭生其中央,出水一尺，引葭赴岸,适与岸芥.伺水深,葭氏各几何?"题意是:有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央,高出水面BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'.向芦苇长多少?(画出几何图形并解答)【答案】13尺【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x−1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x−1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故芦苇长13尺.【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．12．（2017·上海·八年级期中）如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．（1）请画出该蚂蚁沿长方体表面爬行的三条线路图（即平面展开图）；（2）已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是1cm/s，问蚂蚁能否在8秒内获取到食物？【答案】（1）图形见解析；（2）蚂蚁不能在8秒内获取到食物.【详解】试题分析：（1）按下图三种方式展开即可画出三条路线图；（2）根据（1）中所画的路线图结合长方体的长、宽、高由勾股定理可计算出每条路线的长度，从而可得最短的路线长度，再除以蚂蚁爬行的速度即可得蚂蚁由A爬行到B所需的时间，与8比较即可得出结论.试题解析：（1）如下图所示：从长方体的一条对角线的一个端点A出发，沿表面运动到另一个端点B，有以下三种方案：（2）如图（1）由勾股定理得：AB=

如图（2）由勾股定理得：AB=如图（3）由勾股定理得：AB=∵＜＜∴它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物最短路程为，∴所需时间为∵∴∴蚂蚁不能在8秒内获取到食物．点睛：如图所示的长方体的长、宽、高分别为，若，则沿着这个长方体的表面由点A爬行到点B的最短路线长为：.13．（2019·上海市仙霞高级中学八年级阶段练习）小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在黄石A坐“武黄城际列车”到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.请你帮助小明解决以下问题：(1)求A，C之间的距离．(参考数据≈4.6)(2)若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，“武黄城际列车”的平均速度为180km/h，为了在最短时间内到达武昌客运站，小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)【答案】（1）92km；（2）选择乘“武黄城际列车”．【详解】试题分析:（1）先作出辅助线,过点C作AB的垂线,交AB的延长线于E点,构造出一个直