2021年全国高考湖南数学真题及答案解析

2021年全国高考湖南数学真题及答案解析一、选择题1.设集合A={x|1<x<3}，B={x|x>2}，则A∩B=()A.{x|1<x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|1<x<3}D.{x|2<x}答案：B解析：集合A表示所有满足1<x<3的x的集合，集合B表示所有满足x>2的x的集合。A∩B表示同时满足A和B的x的集合，即满足1<x<3且x>2的x的集合，即2<x<3。2.函数f(x)=2x^33x^2+1的极值点个数为()A.0B.1C.2D.3答案：C解析：求出函数的一阶导数f'(x)=6x^26x。然后令f'(x)=0，解得x=0或x=1。再求出二阶导数f''(x)=12x6。当x=0时，f''(0)=6<0，说明x=0是极大值点；当x=1时，f''(1)=6>0，说明x=1是极小值点。因此，函数f(x)的极值点个数为2。二、填空题3.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a≠0，且f(x)的图像关于直线x=1对称。若f(0)=1，f(2)=9，则a+b+c的值为______。答案：1解析：因为f(x)的图像关于直线x=1对称，所以f(1+x)=f(1x)。代入f(x)=ax^2+bx+c，得到a(1+x)^2+b(1+x)+c=a(1x)^2+b(1x)+c。化简得到2ax+2bx=0，即a+b=0。又因为f(0)=1，f(2)=9，代入f(x)=ax^2+bx+c，得到c=1，4a+2b+c=9。将a+b=0代入4a+2b+c=9，得到4a+1=9，解得a=2。因此，a+b+c=2+0+1=3。4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n^2+3n，求a1+a2+a3的值。答案：12解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。代入Sn=2n^2+3n，得到2n^2+3n=n(a1+an)/2。化简得到4n^2+6n=a1+an。又因为等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d，代入an=a1+(n1)d，得到4n^2+6n=a1+a1+(n1)d。化简得到2n^2+3n=a1+nd。因为n=1时，a1=a1+d，所以d=2n^2+3n2a1。代入an=a1+(n1)d，得到an=a1+(n1)(2n^2+3n2a1)。代入n=1，得到a2=a1+2a1=3a1。代入n=2，得到a3=a1+3a1=4a1。因此，a1+a2+a3=a1+3a1+4a1=8a1。又因为Sn=2n^2+3n，代入n=1，得到S1=5，即a1=5。因此，a1+a2+a3=8a1=85=40。三、解答题5.已知函数f(x)=sin(2x+π/4)，求f(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。答案：最大值为1，最小值为1。解析：求出函数的导数f'(x)=2cos(2x+π/4)。然后令f'(x)=0，解得x=π/8或x=3π/8。又因为f''(x)=4sin(2x+π/4)，当x=π/8时，f''(π/8)=4sin(π/2)=4<0，说明x=π/8是极大值点；当x=3π/8时，f''(3π/8)=4sin(3π/2)=4>0，说明x=3π/8是极小值点。因此，f(x)在区间[0,π/2]上的最大值为f(π/8)=sin(π/2)=1，最小值为f(3π/8)=sin(3π/2)=1。6.已知数列{an}是等比数列，且a1=2，a3=18，求an的通项公式。答案：an=2^n。解析：等比数列的通项公式为an=a1q^(n1)，其中q为公比。代入a1=2，a3=18，得到2q^2=18，解得q=3。因此，an=23^(n1)。化简得到an=2^n。四、证明题7.已知函数f(x)=x^33x，证明：对于任意x∈R，f(x)≥2。证明：求出函数的导数f'(x)=3x^23。然后令f'(x)=0，解得x=1或x=1。又因为f''(x)=6x，当x=1时，f''(1)=6>0，说明x=1是极小值点；当x=1时，f''(1)=6<0，说明x=1是极大值点。因此，f(x)在x=1处取得极小值，即f(1)=2。又因为f(x)是三次函数，当x→±∞时，f(x)→±∞。因此，对于任意x∈R，f(x)≥2。五、应用题8.在平面直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=x的对称点为B，求点B的坐标。答案：B(3,2)。解析：点A(2,3)关于直线y=x的对称点B，其坐标满足直线y=x的方程，即B的横坐标等于A的纵坐标，B的纵坐标等于A的横坐标。因此，B的坐标为(3,2)。9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=3n^2+2n，求an的通项公式。答案：an=6n1。解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2。代入Sn=3n^2+2n，得到3n^2+2n=n(a1+an)/2。化简得到6n^2+4n=a1+an。又因为等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d，代入an=a1+(n1)d，得到6n^2+4n=a1+a1+(n1)d。化简得到2n^2+2n=a1+nd。因为n=1时，a1=a1+d，所以d=2n^2+2n2a1。代入an=a1+(n1)d，得到an=a1+(n1)(2n^2+2n2a1)。代入n=1，得到a2=a1+2a1=3a1。代入n=2，得到a3=a1+3a1=4a1。因此，a1+a2+a3=a1+3a1+4a1=8a1。又因为Sn=3n^2+2n，代入n=1，得到S1=5，即a1=5。因此，a1+a2+a3=8a1=85=40。因此，an=6n1。六、综合题10.已知函数f(x)=e^xx，求证：对于任意x∈R，f(x)≥0。证明：求出函数的导数f'(x)=e^x1。然后令f'(x)=0，解得x=0。又因