《分式》上海新教材七年级数学单元教学设计（沪教版）

《分式》上海新教材七年级数学单元教学设计（沪教版）第13章分式一、单元教学设计：单元教学设计工具表教材版本单元名称学期建议课时（课标）沪教版第13章分式七年级第一学期10教材内容和内容解析1.教材内容：本章内容分为3节，分别是“13.1分式及其性质”“13.2分式的运算”和“13.3分式方程”。2.教材内容解析：分式是初中代数的重要学习内容之一，是初中代数的一个基本概念。分式在加减乘除四则运算下是封闭的。分式是整式的延伸，通过学习分式能进一步巩固整式的学习成果。本章是在整式的运算、因式分解及一元一次方程的解法等知识基础上展开的。“13.1分式及其性质”一节介绍分式的概念及其基本性质，通过约分引入最简分式的概念。分式的概念是通过类比分数引入的，达到了“数”与“式”的统一，只有在分母的值不为0时，分式才有意义。对于“最简分式”概念的界定侧重于“式”，不在于“数”，只需要“分子和分母没有一次及以上的公因式”即可。“13.2分式的运算”一节介绍了分式的四则运算并引入整数指数幂的概念及其运算法则。分式的运算延续“二期课改”教科书的安排，从乘除法到加减法，先易后难进行编排，结构清晰。负整数指数则通过分式的除法加以定义，从而将幂的性质从正整数指数拓展到整数指数。鉴于此，我们把整数指数幂纳入“分式的运算”中，这样的改变，旨在揭示整数指数幂与分式的运算的本质联系。分式运算的学习有助于提高学生的运算能力。“13.3分式方程”一节介绍分式方程的概念、可化为一元一次方程的分式方程的解法，以及一些分式方程的具体应用实例。由于可以借助分式建立方程的数学模型解决一些实际问题，因此分式的相关知识和技能有助于提高学生解决实际问题的能力。本章的三节内容按照“概念—运算—应用”开展，整体结构清晰。与整式章节一致，本章也遵循了从“数”到“式”的抽象以及“数”与“式”的统一。同时，从整式过渡到分式，引入自然，与前述内容契合度高。同时也让学生体会了类比、化归、整体、抽象等数学思想和方法。3.教材内容结构图：《义务教育数学课程标准（2022年版）》：【内容要求】1.通过实际问题的探究，经历分式形成的过程，理解分式的意义。2.通过与分数的性质类比得出分式的性质，知道约分和最简分式的概念。3.理解分式的有关概念及其基本性质，掌握分式加、减、乘、除的四则运算法则。4.理解负整数指数幂的意义，理解在负整数指数幂的条件下，整式和分式的统一。知道正整数指数幂的运算性质对整数指数幂仍然适用。5.理解绝对值小于1的有理数的科学记数法，会用科学记数法表示有理数。6.通过实际问题的解决，体会分式方程的意义，领会把分式方程整式化的转化思想，掌握分式方程的解法，知道分式方程出现增根的原因，理解验根的必要性。【教学提示】1.通过生活实际中的问题引出分式的概念.在教学时，教师应通过改变分式分母中字母的取值，使学生理解分式定义中对于分式所含字母取值的限制性要求。2.引导学生以整式的运算为基础，类比分数的性质和运算，通过观察、联想，经历分式的基本性质和四则运算法则的形成过程。在进行分式四则运算教学时，课本从学生先易后难的认知规律出发，先学习分式的乘除法运算，再学习分式的加减法运算。教师应关注课本的这一特点，加强分式乘除法运算技能的训练和巩固，为后续学习分式的异分母加减法打好基础。对异分母分式加减法的教学，可类比异分母分数的加减法，先通分，转化为同分母分式的加减法运算。通分时，如果分母是多项式，要先分解因式。在加减运算时，分母可保留因式乘积形式，这样在约分时较为简便。《分式》上海新教材七年级数学单元教学设计（沪教版）3.教学时要注意将分式方程转化为整式方程求解的“转化思想”的渗透，要使学生知道解分式方程中可能产生增根的原因，从而使学生认识验根的必要性。教师要特别注意本章中的分式方程都是指可化为一元一次方程的分式方程。不要随意增加难度。4.在幂的运算教学中，要帮助学生经历整数指数幂的扩展过程，理解正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念和关系，将幂的运算性质归纳合并为三条：。并用整数指数幂的性质完善用科学记数法表示绝对值较小的数。【学业要求】知道分式的分母不能为零，能利用分式的基本性质进行约分、通分，并化简分式，能对简单的分式进行加、减、乘、除运算并将运算结果化为最简分式。总体学情分析：1.学习背景：在前几章中，学生已经学习了整式，分式与整式一样也是代数式，因此研究与学习的方法与整式相类似;另一方面，“分式”是“分数”的“代数化”，学生可以通过类比进行分式的学习。另外，在学习本章之前，学生已经分两次学习过整式方程(一元一次方程、二元一次方程组)，他们对于整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路已经比较熟悉。分式方程的未知数在分母中，它的解法比以前学过的方程复杂，随着问题复杂性的增加,人们需要不断地提高认识问题的水平，这里包括提高对新事物与已熟悉的事物之间的联系的认识。《分式》上海新教材七年级数学单元教学设计（沪教版）2.学习偏好：鉴于学生的年龄特点，教师可以注重课堂观察学生在具体活动中能否积极、主动进行数学活动；发挥小组互评：学生能否有条理地表达自己的活动过程和活动体会，能否有独特地解决问题的想法促进学生参与课堂活动；提倡自我反思：是否积极参与课堂活动过程并提出一些新的想法，鼓励大胆发言。目标与目标解析1.单元教学目标：1.通过实际生活中的例子，类比分数理解分式的概念，会求分式有意义时字母所满足的条件。2.掌握分式的基本性质，了解最简分式，能熟练约分至最简分式，提高运算能力。3.类比分数有关概念和运算法则，掌握分式的加、减、乘、除的四则运算，体会类比与转化的数学思想和从数到式的数学抽象，提高运算能力。4.理解负整数指数幂的定义，经历整数指数幂的运算性质的推导过程，掌握整数指数幂的性质及其运算，发展推理能力。5.理解分式方程的概念以及分式方程的求解方法，会求解可化为一元一次方程的分式方程。6.理解解分式方程时产生增根的原因，掌握解分式方程的验根方法，逐步养成重依据、尊重逻辑的思维习惯。7.会根据实际问题的背景建立分式方程，运用分式方程的知识解应用题，初步感知数学建模的基本过程，增强应用意识。2.单元教学目标解析：（目标的具体化）理解分式的概念含义解析：“理解”要求学生不仅要知道分式的定义，还要能够解释分式在数学中的作用和意义，以及它与其他数学概念的关联。教学策略：通过类比分数的概念引导学生观察和分析，从而理解分式的概念。掌握分式的基本性质和分式的加、减、乘、除的四则运算的方法以及会解分式方程的方法的解析：“掌握”意味着学生应能够熟练运用这些方法解决具体问题，包括熟练约分至最简分式，提高运算能力。正确使用运算方法。教学策略：设计由简到难的练习题，逐步提高学生的运算能力。通过示范、练习和应用题目，加强学生对这些方法的掌握。通过鼓励学生对知识本身进行前后联系，利用类比、化归等数学思想和方法，感受解决数学问题的过程，降低难度，从而对数学产生持久的兴趣。再利用小组学习，让学生在小组学习中相互支持、相互帮助，共同完成任务，增加学习动力。同时，结合生活实际问题的解决，体现数学与生活的联系。课时内容1单元下的节课名称第1课时：13.1（1）分式具体内容：教材76～78页作业：练习册13.1（1）第2课时：13.1（2）分式的基本性质具体内容：教材78～80页作业：练习册13.1（2）第3课时：13.2（1）分式的乘除具体内容：教材82～85页作业：练习册13.2（1）第4课时：13.2（2）分式的加减具体内容：教材85～88页作业：练习册13.2（2）第5课时：13.2（3）整数指数幂具体内容：教材88～91页作业：练习册13.2（3）第6课时：习题课具体内容：熟练掌握分式的概念和运算法则熟练掌握整数指数幂的运算性质作业：教材习题91～92页、整理错题第7课时：13.3（1）分式方程具体内容：教材93～95页作业：练习册13.3（1）第8课时：13.3（2）分式方程具体内容：教材95～98页作业：练习册13.3（2）第9课时：习题课具体内容：熟练掌握分式方程的解法和解决实际问题作业：教材习题98～99页、整理错题2复习与小结第10课时：单元复习具体内容：本章概念、分式运算和分式方程作业：教材复习题103～104页、整理错题单元教学建议1.单元教学问题诊断分析本章中，分式与整式的关系可类比分数与整数：分数可以看作在分母不为0的情况下，两个整数相除；分式可以看作在分母为非零整式的情况下，两个整式相除.在教学中，可以通过改变分式分母中字母的取值，使学生理解分式分母的值不为0即分式有意义.要训练分式的四则运算，发展运算能力.基于通分和约分法则，分式的四则运算可以化归为整式的四则运算.通过分式运算的训练，既可以强化整式的运算，也有助于加深对分式的理解.结合实际问题的分析和解题。让学生理解解分式方程过程中可能产生增根的原因，明确解分式方程验根的必要性，体会思维的严密性.此外，通过解决以具体的生活实例为背景的可化为一元一次方程的分式方程的应用问题，让学生感知数学建模的过程，积累处理实际问题的经验。2.单元教学支持条件分析合理利用参考书，确保教学内容的准确性和适宜性；设计合理计算练习，增强计算能力；鼓励合作探究学习，促进学生间互助互学；利用互动白板等多媒体工具辅助教学，使学生更直观感受所学内容，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，让学生运用分式的知识解决实际问题。单元评价建议1.单元过程性评价1、课堂观察：学生在具体活动中能否积极、主动进行数学活动；2、小组互评：学生能否有条理地表达自己的活动过程和活动体会，能否有独特地解决问题的想法；3、自我反思：是否积极参与课堂活动过程并提出一些新的想法4、随堂提问、作业反馈2.单元终结性评价单元测验、学习小报《分式》上海新教材七年级数学单元教学设计（沪教版）二、单元主要学习活动设计：第1课时13.1（1）分式活动13.1（1）分式活动目标1.理解分式的概念，并会求使分式无意义、有意义、分式值为零时的字母取值．2.经历分式形成的过程，体会类比、化归的数学思想.3.在探索思考、讨论交流的过程中，提高逻辑思维能力，增强学习数学的兴趣.活动中的关键问题（及说明）问题：(1)长方形的面积是S，长是x，宽是多少？(2）走一段10km的路，骑车需用th,步行需用的时间是骑车的2倍还多1h.步行的速度是多少？（3）一名篮球运动员在一场比赛中投进a个罚球(每1球得1分），投进6个2分球，投进c个3分球.这名篮球运动员的3分球得分占其总得分的几分之几？这些答案的代数式的分子和分母中都會有字母.出示课题一分式.【设计意图】根据生活中的实例以及用字母表示数的代数式引出新的课题--分式。由上述向题，可得分式的概念：对于两个整式A、B，A➗B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母.本章主耍讨论分母中含有字母的分式。用数值代替分式中的字母，计算得出的代数式的值就是分式的值。【设计意图】通过思考,逐步探究，发现规律。【设计意图】例1及思考的提出加深学生对分式中分母不为零的理解例2和例3考查不同情况下分式中的x的取值，加深学生对分式有意义的条件、分式的值为零等知识的理解.活动说明教师引导，板演，讲解．学生独立思考，小组交流、合作，回答．《分式》上海新教材七年级数学单元教学设计（沪教版）13.1(2)分式的基本性质活动13.1(2)分式的基本性质活动目标1理解并掌握分式的基本性质及能运用分式的基本性质进行约分。2.理解最简分式的概念，并对约分的最后结果进行检验，3.在分式的基本性质的探究过程中，领悟类比的数学思想;再次感受数与式之间的内在联系与区别活动中的关键问题（及说明）一、复习旧知问1：小学阶段学过分数的基本性质．什么是分数的基本性质？（板书：分数的基本性质）答1：分数的分子和分母乘（或除以）同一个不为零的数，分数的值不变.问2：分数基本性质的作用有哪些？答2：可以进行分数的约分、通分【设计意图】复习旧知，为新知做铺垫二、探究新知1.分式的基本性质我们将“数”拓展到“式”（板书：数-式），类似地，分式也有这样的性质.对照分数的基本性质，能否尝试改写成分式的基本性质？学生尝试概括：分式的分子与分母乘(或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变．比较：分式的基本性质与分数的基本性质有哪些不同？分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变.分数的基本性质：分数的分子和分母乘(或除以）同一个不为零的数，分数的值不变.师：分式的基本性质应该注意什么？生1:(1)“同”：分子和分母都要乘(或除以）同一个整式；(2）“同”：同一种变换，或乘或除以，不能是加或减；（3）“整式不为0”生2：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母中公因式约去的过程，叫作约分。师：什么是最简分式？带着问题我仃继续学习.【设计意图】由分数的基本性质类比引出分式的基本性质。【设计意图】通过例4,直观地感受分式的基本性质的运用通过例5,进一步加深对分式的基本性质的应用的掌握活动说明教师引导，板演，讲解．学生独立思考，小组交流、合作，回答．13.2(1)分式的乘除活动13.2(1)分式的乘除活动目标1.掌握分式的乘除法运算法则,并能正确运用2.在经历探究分式的乘除法的法则和运用法则的过程中，感受类比和化归的数学恩想活动中的关键问题（及说明）新课引入1.类比分数的乘法探究分式的乘法法则：观察，，如何计算？2.类比分数的除法探究分式的除法法则：，，如何计算？设计意图：通过回忆分数的乘除法法则，类比得出分式的乘除法法则．新知讲授类比得到分式的乘除法法则：（1）文字归纳：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用式子表示为：，.【设计意图】通过文字归纳和字母表示熟悉法则并规范书写．例题讲解例1计算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.适时小结：注意分式的乘法与分数的乘法一样，先约分，再分子乘分子，分母乘分母，运算过程比较简单．例2计算：（1）；（2）；（3）.说明：(1)中除法能够进行的前提是且．在本章中做分式的除法时，总是默认除式的值不为0．适时小结：注意分式的除法与分数的除法一样，先将除法转化成乘法，再按乘法的运算法则进行计算．分式的分子、分母为含多个项的整式时，通常先因式分解，再进行计算．分式的运算结果一般要化为最简分式．【设计意图】尝试运用分式的乘除法法则进行计算.例3如图13-2-1，用一个半径为rm的半圆和一个一边长度为hm的长方形，组成一扇窗．根据设计要求，整扇窗的面积应为4m2．（1）用r的代数式表示h；（2）当r＝1时，求窗的高度（π取3.14，结果精确到0.01m）．图13-2-1解：（1）由，得图13-2-1从而因此（2）当r＝1时，，（m）答：窗的高度约为2.22m．活动说明教师引导，板演，讲解．学生独立思考，小组交流、合作，回答．13.2(2)分式的加减《分式》上海新教材七年级数学单元教学设计（沪教版）活动13.2(2)分式的加减活动目标1.类比同分母分数加减法得到同分母分式的加减法运算法则，会进行同分母分式加减运算.2.类比异分母分数加减法得到异分母分式的加减法运算法则，会进行异分母分式加减运算.活动中的关键问题（及说明）新课引入计算：回顾同分母分数加减法法则：类比上述算式，如何计算：得到同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．【设计意图】通过类比得到同分母分式加减法法则.例题讲解例4计算：（1）​​x3x-1+解：（1）​​x（2）.变式计算：解：.【设计意图】探索分母为互为“相反数”的分式加减的方法.（3）.【设计意图】总结易错知识点，如果减数的分子是一个多项式，再减去一个多项式时，一定要添加括号.适时小结：同分母分式加减法的注意点：（1）计算时先观察是不是同分母分式加减，如果分母互为“相反数”，可以转化为同分母分式加减；（2）如果减数的分子是一个多项式，再减去一个多项式时，一定要添加括号；（3）如果计算结果不是最简分式，一定要化成最简分式.活动说明教师引导，板演，讲解．学生独立思考，小组交流、合作，回答．《分式》上海新教材七年级数学单元教学设计（沪教版）13.2(2)分式的加减活动13.2(2)分式的加减活动目标1.在教学过程中渗透类比思想，能类比异分数的加减运算，得出异分母分式的加减法法则.2.理解异分母分式的加减法法则的形成过程;利用异分母分式的加减法法则进行异分母分式的加减运算3.在课堂活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯;渗透类比、化归的数学思想方法，提高运算能力。活动中的关键问题（及说明）一、复习引入1.计算：2.思考：异分母分数的加减法法则是否可以推广到异分母分式的加减呢？3.计算：4.分式通分的定义：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫作通分.5.类比得到异分母分式加减法法则：异分母分式相加减，先将它们通分，然后进行加减.【设计意图】了解分式通分得依据及方法，通过类比得到异分母分式加减法的运算法则.二、例题讲解例5计算：（1）（2）（3）.解：（1）（2）（3）（3）y【设计意图】利用异分母分式的加减法则进行异分母分式的加减运算.适时小结：异分母分式加减法的注意点：（1）在异分母分式加减法运算时，解题的关键在于找出各分式的公分母；（2）通分是对分式基本性质的运用；（3）通分时，如果分母是多项式，要先因式分解，便于找出各分式的公分母.活动说明教师引导，板演，讲解．学生独立思考，小组交流、合作，回答．13.2(3)整数指数幂活动13.2(3)整数指数幂活动目标1.理解在引人负整数指数幂的条件下整式和分式在形式上的统一,并理解整数指数幂2.在正整数指数幂到整数指数幂的扩充过程中，体验“从特殊到一般”的数学研究方法，3.掌握整数指数幂运算的性质，会用性质进行简单的整数指数幂的相关计算活动中的关键问题（及说明）【设计意图】通过计算帮助学生回忆同底数幂的除法法