923 平面向量的数量积 同步习题 高中数学新苏教版必修第二册2022年

9.2.3平面向量的数量积

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.下列命题正确的是（）

A单位向量都相等

B若五b=a-cKa工0»则方=c

C\a+b\=\a-b\f则4•方=0

D.若丽与瓦是单位向量，则匹.瓦=1

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查单位、共线、相等向量的概念，向量的模，向量的数量积，为基础题.

由单位向量与向量相等的定义，判断4是错误的：由零向量与任意向量方向相同，若石是零向量，则B错误；

由|互+方|=|五-&|，两边同时平方可推出△方=0,判断。是正确的；由单位向量与数量积的定义，判断

力是错误的.

【解答】

解：对于4,单位向量是模长为1的向量，它们的方向是任意的，，单位向量不一定相等，A错误：

对于B,•••零向量与任意向量方向相同，都共线，若石是零向量，则五与口不一定共线，错误：

对于C,若|五+』|=—则胃2+2ab+b2='a-2a-K+b2»4a-b=0»即2•方=0,..C正确;

对于。，而与瓦是单位向量，且夹角为仇.,.五°•瓦=1x1xcos6=cosO<1,二。错误.

综上，正确的命题是C.

故选C.

2.已知单位向量区另的夹角为60。，则在下列向量中，与了垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积，向量垂直的充要条件，属于基础题.

由五力二|苍ll'cos60°=1,逐一验证选项即可.

【解答】

解：；R•日=|2||B|cos60°=1

•••力选项：b(a+2b')=ba+2f=1+2=1

8选项:K-(2a+K)=2ba+b2=1+1=2

C选工烝b(a-2b>)=ba-2f=^-2=

。选项：b'(2a—b)=2ba—b=1-1=0

得山（2H-7）,

故选D.

3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,

处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每只胳膊的拉力大小均为

400M则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为。=

10m/s2,75*1.732）

A.63

R69

C.75

D.81

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了向量在物理中的应用问题，是基础题.

由题意知|瓦|=|引=400（N）,夹角。=60。，计算至=一（耳+耳）的模长，得到体重.

【解答】

解：由题意，设胳膊的拉力为耳，E，两只胳膊的夹角为仇

则I同=|引=400(N),夹角6=60°,

所以G+耳+至=5>

即刁=一(耳+用)；

2

所以G=(瓦+用)2

=4002+2X400X400xcos600+4002=3x4002；

即|9|=400VJ(N),

则该学生的体重(单位：W)约为4075=40X1.732«69(kg),

故选：B.

4.已知向量与与方的夹角为点且|矶=1,|2汇+方|=夕，则同等于（）

A遮B.V2C.1D.巫

2

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积、向量的模，属于基础题.

由|苍|=1,|2五+b|=47得出4『+4a-K+b=7»即|b|+2同—3=0,进而即可求出结果.

【解答】

解：因为向量左与方的夹角为?|五|=1，\2a+b\=V7，

所以（2元+n2=7,

即4Z^+4W.b+5=7,

所以4+4X1.|引x；+『=7,即同2+2同一3=0，

解得囚=一3（舍去）或|同=1,

故选C.

5.如图，在中，ADLAB,初=七商+"前（跖》£R）,\AD\=2＞且而•而=12,则2%+y=

（）

A1B.3C.3D.-74

【答案】c

【解析】

【分析】

本题主要考查平面向量基本定理及向量的线性运算，平面向量数量积运算，属于中档题.

利用向量线性运算求出而=（%+1）而+丫就，求出y=a又B,D,。共线，所以x+l+y=l,即可

求出答案.

【解答】

解：因为瓦5=%ZS+y3?,

所以而一而二%而+、蕉

则同=(%+1)而+yJT，

ADAD=ADl)AB+yAC]

=(x-1)AD~AB+y~ADACy

因为|而|=2，且而•荷=12,ADLAB,

所以4=12y,所以y二；,

又B,D,C共线，

则％4-1+y=1,x=

所以2x+y=-j.

故选C.

6.设非零向量优方满足im+IhR—Tl，则（）

AalbB.同=13IC.a//bD.|a|>\b\

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查两个向量的关系的判断，属于基础题.

由已知得a+方）2=0—石¥，从而乙另=0,由此得到瓦,队

【解答】

解：••,非零向量a,了满足।五+,=|五一办

(a+K)2=(a-?)2,

即五24-fe2+2a*K=a2+K2-2a-K»

整理得44•方=0,

解得五•z>=0»

•••alb-

故选人

7.如图所示，△48C是顶角为120。的等腰三角形，且48=1,则而•萌=()

A

A--fB.当C.-1D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，是基本知识的考查.

利用已知条件求出向量的长度以及向量的夹角，然后求解向量的数量积即可.

【解答】

解：△ABC是顶角为120。的等腰三角形，且48=1,则4c=1,

则N4BC=30°,BC=V5，

则通\AB\\fi?|cos(180°-^ABC'\

=lxV3x(-f)=-1.

故选：C.

8.在△4BC中，|同+前|二|而一而43=3,AC=4,则就在g?方向上的投影为（）

A.4B.3C.-4D.5

【答案】C

【解析】

【分

本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的应用问

题，是基础题目.

根据平面向量的数量积，化简|荏+於|=|而一衣|，得由四_L配；再结合图形求

出成在C5方向上的投影即可.

【解答】

解：如图所示，△48C中，•・,|而+而|=|南一而

.-.AB2+2ASA^+A^2=AS2-2ASAV+AV2^

AS•AC—o»

而J_AC，^-BAC=90。，

4

又48=3,AC=4,则BC=5,cos^ACB=

.•.就在不方向上的投影是

|前|*cos<CA>=|FC|,COS(TT—乙ACB)

=—|FC|•cos乙4cB

=—4：

故选：C.

二、多项选择题（本大题共4小题，共2。.0分）

9.关于平面向量落ac,下列说法不正确的是

A.若a〃瓦b//c,则五〃E

B.(ab)-c=a-(b-c)

C.若五.0+23)=3,且同=|同=1,则五〃3

D.若五•方=了・己则:

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的基本概念、相等向量、向量共线、数量积的运算等知识，是基础题.

根据向量平行的条件即可判断选项A错误，根据向量数量积的运算律，向量相等的概念，判断B,C,D.

【解答】

解：当方=6时，4不成立，

因为@范)々表示一个与3共线的向量，而五・(小？)表示一个与五共线的向量，而3与五不一定共线，故选项8

错误，

a•(a+2b)=a2+2a-b=l+2cos(a,b)=3,cos(a,b)=1,

即伍后=0,即五〃故选项。正确，

当方=U时，。不成立

故选ABD.

10.关于菱形A8CO的说法中，正确的是()

A.AB//CDB.(AB+BC)1(BC+CD)

C.(AB-AD)-(BA-BC)=0D.ABAD=BCCD

【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的几何运用，考查平面向量垂直和平行的性质.运用平面向量的三角形法则以及向量平行

垂直的性质，对选项分别分析，做出判断.

【解答】

解：因为四边形4BCO为菱形，

所以4B〃CD,所以而〃而，A正确；

因为对角线4c与3。互相垂直，且都+就=而，+CD='BD

所以配J.前，即（荏+定）_L（I?+而），8正确；

因为而一而=方5，BA-BC=~CA>又因为方豆_L的，即说曰=0,

所以（而一而）（瓦^一瓦:）=0，C正确；

易知〈而，AD>=180°-<BC，访〉且近|二|同|

=\BC\=\CD\

所以而•而=一命・击，。错误.

故选ABC.

11.已知向量区石满足|五|=1.|石|=2.|不+石|=0,则下列结论中正确均是（）

A.ab=-2B.alfa+b）

C.|a-d|=V7D.6与方的夹角为？

【答案】BC

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积及应用，求向量的模与夹角，判断垂直，属于基础题.

首先将I五+'=75平方得日了=-1,再利用平面向量数量积的变形公式，逐项判断即可.

【解答】

解：由|五+b|=V5得

\a+b\2=（a+K）2

.2—t—42—

=a+2ab+b=l+2a・b+4=3，

故/b=—It

故A错误；

B.a-(a+K)=a2+ad=0,

故a1（5+1）,

故8正确；

C.\a-b\2=（a—b）2

2

-2ab+b=l-2a-S+4=7>

故14一方1=6故c正确；

D8S标㈤=篇=言7,

故五与方的夹角为筌，故。错误；

V

故选BC.

12.点O在团ABC所在的平面内，则以下说法正确的有（）

A.若现+加+/=d.则点O为团力修?的重心

B.若鼐,（前-湍1）=丽•（潦T剧）=0,则点。为图4BC的雍心

C.若（云+而）♦丽=（而+枇）・灰=0,则点O为团A8C的外心

D.若鼐•砺=而衣=而嬴，则点。为团ABC的内心

【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查了向量的几何应用，向量的数量积，是中档题.

根据题意，逐项判断即可.

【解答】

解：对于4:由于函=一（而+被）=一2而，其中。为8C的中点，可知。为BC边上中线的三等分点（靠

近线段BC）,所以。为△ABC的重心，故A正确.

对于B,向量筑，盘分别表示在AC和AB上取单位向量石和加，石一市是向量前;，当力•（隽-

j==j）=0,即041B'C时，则点。在的平分线上，

同理由丽•（谶।一高）=0，知点。在乙48c的平分线上，故。为△A8C的内心，故错误;

对于C,函+而是以M，前为边的平行四边形的一条对角线，而南是该四边形的另一条对角线，AB-

（刃+萌）=0表示这个平行四边形是菱形，即|函|=|而|，

同理有|前|=|能所以O为4ABe的外心.故正确；

对于D,由瓦？•丽=两•瓦'=被罚，得（耐-5?）厢=0,即5?•萌=0,所以HC1OB.同理可得

ABLOC,所以。为2L48C的垂心，故错误；

故选人C.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知|菊=1,=2,心而勺夹角为60。，3是与五同向的单位向量，贝则+方在五上的投影向量为

【答案】2e

【解析】

【分析】

本题考查了向量数量积的运算及计算公式，投影的计算公式，以及投影向量的定义，考查了计算能力，属

于基础题.

根据条件可求出0+励•窗进而根据投影的计算公式即可得出投影向量.

【解答】

解：由题意，得0+S）W=W+W/=1+1X2X2=2.

设向量五+9号R的夹角为6，

则向量五+方在往上的投影向量为怔+E|cose1=色萨1=2落

故答案为2充

14.若久，孩是夹角为60。的两个单位向量，向量e=2匹+可，则|初=.

【答窠】V7

【解析】

【分析】

本题考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量模的求法.

根据条件即可求出百=：，52=瓦2=1，从而可以求出五2=7,进而得四五|=V7.

【解答】

解：瓦,孩=：，百2=芭2=1，

••.a2=(2否+五)2

2__.2

=4大+4司•瓦+弓=44-2+1=7,

.0.|a|=>/7.

故答窠为a.

15.已知尸是边长为2的正△ABC边8c上的动点，则而・(都+前)=

【答案】6

【解析】

【分析】

本题考查向量的加减法运算及向量的数量积运算，属于基础题目.

设四=心芯=方,乔二亡就，再利用向量的数量积计算即可.

【解答】

解：设近=五，前=方,乔=£就，

则就=而一而=方一方，

\a\=\b\=2,a-b=|a||b|cos60°=2,

AP=AB+BP=(l-t)a+tb,

因此"-(Z5+BC)=[(l-t)a+tb]-(a+b)

2

=(l-t)|a|2+[(l-t)+t]ab+t\b\

=(1—t)|a|2+a-b+t\b\

=4(l-t)+2+4t=6,

故答案为6.

16.已知点M是边长为2的正团4BC内一点，且初=2存+〃而，若；1+〃=:则而•祝的最小值

为•

【答案】;

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积最值得求法，首先根据已知建立坐标系，设M(%y),然后表示出各个点的坐标，

根据初=4而+〃宿若2+可以得出、=一房一争xG[-14],然后表示出丽•就，利用二

次函数求出最值，属于中档题.

【解答】

解：根据题意，建立如图的坐标系，

因为ABC为边长为2的等边三角形

所以4(-1,0),F(l,0)C(0,V3),设M(%,y)

则初=(%+l,y),荏=(2,0),/=(1,>/3)

又因为祠=4而+〃而，若4+

所以祠=4荏+(；-2)而，即(％+l,y)=A(2,0)+(1-A)(1,V3)

[x+1=A+1万

所以｛L八3消去；(可得y=—Q%一乎…W[T1]，

1，=础-a)3

则Mg-MC=x2—x+y2—y/3y=4x2+4x+；

=4(^+I)+€[-1,1]，

所以当％=时，而•就有最小值土

故答案*.

四、解答题(木大题共6小题，共72.0分)

17.己知44243力4力5。是一个正六边形，将下列向量的数量积按从小到大的顺序排列：不瓦•五不，否瓦•

4]42，4145，'i"2'"1'G，

【答案】解：设边长为矶。>0).

4闻•一—=|――|-14一|cos300=a•V3a•—=-a2;

4闻•4A；=|AjA^I-144；|cos600=a-2a-^=a2;

4；:；-4H=|力]A?I,I-A：|cos90。=0;

不可.研二|五石|.|研|cosl2(r=Qa.(-；)=d

由上述各式可知否瓦•<无石•彳:彳<彳为­彳兀<而豆•彳石.

【解析】本题考查平面向量数量积的运算，属于基础题，依据题意逐项计算数量积.

设出边长a(a>0),找到两个向量的夹角是解题关键，由数量积的定义可解得.

18.已知△A3C是边长为3的等边三角形，旗=24瓦彳，/=aI?GV；lV1),过点尸作DFJ.BC,交4c

边于点。，交BA的延长线于点E.

(1)当;1=;时，设瓦(=乙就=另，月向量落3表示身；

(2)当a为何值时，荏•定取得最大值？

【答案】解：(1)由题意可知：晶=孤且面|=3X：2，|的=4，故前=翔=冢,

EF=BF-BE=--4aT+-2bT

33

(2)由题意，I前1=34|命1=3一3入，|旗|=6ZI应I=64-3，

——.279

AEFC=(6A-3)(3-31)cos60。=-9A24--X--

27

当“=一看7=；e1)时'4E-FC有最大值

【解析】本题考查平面向量基本定理，向量共线定理，向量的数量积，二次函数最值等知识,

(l)Rzl=a,BC=b/通过向量的线性运算,用向量之,力表示前：

(2)用几表示应与京的模，然后求解数量积，利用二次函数的最值求解即可.

19.已知|五|二4,|1|=8,；与;的夹角为第

⑴求|五+例;

(2)求上为何值时，e+2b)_L(%M—b).

【答案】解：(1)|苍+司=]@+力2

=J片+,+2五•.

—J16l64l2x4x8x(—")=>/48—4y/3.

(2)由题意0+2方).(k五一方)=0,

即攵/-2片+(2/c-l)a-K=0,

即16k+(2k-1)(-16)-128=0,

所以a=-7.

【解析】本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力,

属于基础题.

(1)利用数量积定义及其运算性质即可得出；

(2)由于0+2方)，(上苍一方)，(a+2by(ka-b)=0>展开即可得出.

20.已知同=1,|K|=V2.

(1)若向量a与向量下的夹角为135。，求|五+方|及加在&上的投影向量;

(2)若向量己一方与向量五垂直，求向量五与方的夹角.

【答案】解：(1)由已知得|五+司2=@+&2=f+2五.1+片

=l+2xlxV2x(-^)+2=1,

|a4-Z?|=1；

了在万上的投影向量为B|cos135°a=V2x(-^)a=-a.

(2)由已知得0一万).五=o，即f一五.]=0,「.4.方=1.

_一a-b1V2

8sMM=而同=』二了，

-(a,b)e[0,n],

•响量五与1的夹角状.

【解析】本题考查平面向量的数量积及夹角的计算，投影向量的求解，属于中档题.

(1)根据平面向量数量积的运算律求出伺+同，再根据投影向量公式求出方在五上的投影向量;

(2)根据向量垂直，数量积为零，即可得到方7=1,再根据夹角公式计算可得.

21.如图，在平行四边形A8CO中，APJ-0D,垂足为P.

(1)若KAN3=18，求人尸的长；

(2)设|的|=6，|曲|=8，N^4C=j,求/3行正，求1的值.

困需=2商=18

【答案】解：(1)N,衣=筋|,阿|coeNP4C=|励卜

解得强|=3.

⑵;今=»豺日前=»加+痴⑦，且8,P,。三点共线,

-x+2y=1①，

又•.•屣|=6,屈向，ZBACg

二放於=网中阿coeZB3=