余弦定理学历案 高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

《一、余弦定理》学历案《余弦定理与正弦定理中的余弦定理学历案》姓名：班级：学号：【主题与课时】北师大版（2019）高中数学必修（第二册）第二章平面向量及其应用§6平面向量的应用6.1余弦定理与正弦定理中的余弦定理，1课时【课标要求】1、借助向量运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理。2、能用余弦定理解决简单的实际问题，体会余弦定理在解三角形中的作用，发展数学运算和数学建模等核心素养。【学习目标】1、能说出余弦定理的内容，就像能轻松说出自己好朋友的名字一样。2、会推导余弦定理，就像学会玩一个新游戏的规则一样熟练。3、可以用余弦定理解决已知两边及其夹角求第三边，或者已知三边求角这两种类型的三角形问题，就像会用钥匙开对应的锁一样。4、能在实际生活中的三角形相关问题里，比如测量距离、角度的问题，找到余弦定理的用武之地，像个小侦探一样把数学知识运用到实际场景中。【评价任务】1、通过课堂上的问答环节，看能不能准确说出余弦定理的内容，来检测目标1。2、让同学们自己推导余弦定理，并且互相检查推导过程，这就可以检测目标2。3、做一些专门针对两种类型三角形问题的练习题，要是能顺利做出来，那就说明达到目标3了。4、给出一些实际生活里的三角形问题，像测量校园里某个三角形花坛的边长或者角度之类的，要是能解决，就表示达成目标4啦。【学习过程】一、情境导入咱们先来讲个有趣的事儿哈。有一天，我想去测量学校操场旁边那个三角形小花坛的边长。我就站在那儿想啊，我只知道花坛的两条边的长度，还有这两条边夹角的大小，这可咋算出第三条边的长度呢？我感觉就像在一个迷宫里找出口一样，有点懵。这个时候啊，余弦定理就像一盏明灯，可以帮我们照亮前路呢。二、任务一：余弦定理是什么1、首先呢，咱们一起在这个三角形迷宫里探索一下。想象有一个三角形ABC，角A、B、C所对的边分别是a、b、c。那余弦定理就像一个魔法公式一样，它说的是：a²＝b²＋c²2bccosA；b²＝a²＋c²2accosB；c²＝a²＋b²2abcosC。咱们可以把这个公式想象成三角形三边和角之间的神秘约定哦。2、为了更好地记住这个公式，咱们来玩个小游戏。找几个同学，一个同学说三角形的边和角的情况，比如已知三角形ABC，b＝3，c＝4，角A＝60°，然后让另一个同学快速说出根据余弦定理计算a的式子。这样玩一玩，这个公式就更容易记在小脑袋里啦。三、任务二：推导余弦定理1、咱们现在就像小科学家一样来推导这个神奇的余弦定理。我们可以用向量的方法来推导哦。咱们把三角形ABC的边BC、AC、AB看成向量，比如向量BC＝向量AC向量AB。然后呢，根据向量的模长公式和向量的点积公式来一步步推导。2、同学们分成小组，每个小组一起动手推导一下。推导的时候呢，可以互相讨论，要是遇到困难就像遇到小怪兽一样，大家一起想办法打败它。推导完了之后，每个小组选一个代表来给大家讲讲你们小组是怎么推导的。这就像每个小组展示自己的宝藏一样，可有趣啦。四、任务三：用余弦定理解决已知两边及其夹角求第三边的问题1、咱们现在有个新任务啦，就像接到了一个新的冒险任务一样。已知三角形ABC中，b＝5，c＝7，角A＝45°，咱们要用余弦定理求出边a的长度。2、按照余弦定理a²＝b²＋c²2bccosA，咱们把数值代进去。就是a²＝5²＋7²2×5×7×cos45°。然后用计算器算出这个式子的值，再开方就得到a的值啦。3、现在大家自己做几个类似的练习题，做完之后同桌之间互相检查。要是做对了，就给自己一个小奖励，比如在心里给自己点个赞；要是做错了，也别灰心，就像摔了一跤再爬起来一样，看看是哪里出了问题，再重新做一遍。五、任务四：用余弦定理解决已知三边求角的问题1、又有新挑战啦。已知三角形ABC的三边a＝3，b＝4，c＝5，咱们要找出角A的大小。根据余弦定理cosA＝（b²＋c²a²)／（2bc)。2、把数值代进去，cosA＝（4²＋5²3²)／（2×4×5)，算出cosA的值之后，再用反三角函数就可以求出角A的度数啦。3、大家自己再找几个这样的题目练习一下，练习完了之后，可以和小组里的同学讨论一下自己的解题思路，看看有没有更简便的方法。六、任务五：余弦定理在实际生活中的应用1、咱们再回到最开始我在操场边想测量小花坛边长的事儿。现在我们知道了余弦定理，就可以轻松解决这个问题啦。假如我们测量出花坛的两条边分别是6米和8米，这两条边的夹角是120°，那根据余弦定理就可以算出第三条边的长度。2、大家再想一想生活中还有哪些地方可以用到余弦定理呢？比如测量两座建筑物之间的距离，或者测量山上两个观测点之间的角度之类的。咱们分成小组讨论一下，然后每个小组派一个代表来说说你们想到的实际应用场景。【作业与检测】1、基础题（1)在三角形ABC中，a＝2，b＝3，角C＝60°，求边c的长度。（2)已知三角形ABC三边a＝5，b＝6，c＝7，求角A的度数。2、提高题（1)在三角形ABC中，已知a＝4，b＝6，c＝8，求角B的余弦值。（2)有一个三角形形状的地块，AB边为10米，AC边为12米，角A为135°，求BC边的长度以及这个地块的面积。3、拓展题在一个不规则的四边形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA＝6，角B＝120°，求四边形ABCD的对角线AC的长度。（提示：可以把四边形分成两个三角形，然后用余弦定理求解）【课后反思】1、今天学的余弦定理，哪个部分感觉最容易理解，哪个部分觉得有点难呢？2、在做实际生活应用的