吉林省汪清县第六中学2025届高二上数学期末质量跟踪监视试题含解析

吉林省汪清县第六中学2025届高二上数学期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（）A.6 B.8C.9 D.102．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱3．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（）A. B.C. D.4．已知三角形三个顶点为、、，则边上的高所在直线的方程为（）A. B.C. D.5．如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（）A. B.C. D.6．已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为A. B.C. D.7．如图是抛物线拱形桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，若水面上升，则水面宽是（）（结果精确到）（参考数值：）A B.C. D.8．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.1 B.2C. D.9．已知抛物线，为坐标原点，以为圆心的圆交抛物线于、两点，交准线于、两点，若，，则抛物线方程为（）A. B.C. D.10．若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（）A.不存在过点O且与直线a，b都相交的直线B.过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交C.过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交D.过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交11．抛物线上的一点到其焦点的距离等于（）A. B.C. D.12．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（）A.72元 B.300元C.512元 D.816元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若直线与直线相互平行，则实数___________.14．已知数列中，，，则_______.15．已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为___________16．等比数列的前项和为，则的值为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆上的点到左、右焦点、的距离之和为4，且右顶点A到右焦点的距离为1.（1）求椭圆的方程;（2）直线与椭圆交于不同两点，，记的面积为，当时求的值.18．（12分）已知椭圆，过焦点且垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，且，.求证：为定值，并计算出该定值.19．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线交椭圆于M、N两点，已知直线MA，NA分别交直线于点P，Q，求的值.20．（12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）求曲线过点的切线方程.21．（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，都是等腰直角三角形，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.22．（10分）已知抛物线过点.（1）求抛物线方程；（2）若直线与抛物线交于两点两点在轴的两侧，且，求证：过定点.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】计算抛物线的准线，根据距离结合抛物线的定义得到答案.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，到轴的距离是4，故到准线的距离是，故点到该抛物线焦点的距离是.故选：A.2、D【解析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，则，，，，成等差数列，设公差为，整理上面两个算式，得：，解得，故选：3、D【解析】由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得.【详解】由题意得：，，且，又，，，，.故选：D.4、A【解析】求出直线的斜率，可求得边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为，因此，边上的高所在直线的方程为.故选：A.5、B【解析】直接利用空间向量基本定理求解即可【详解】因为在平行六面体中，，，，所以，故选：B6、D【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为，∵以这四个交点为顶点的四边形为正方形，其面积为16，故边长为4，∴（2，2）在椭圆C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴椭圆方程为：.故选D.考点：椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.7、C【解析】先建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，将点坐标代入抛物线方程求出m，从而可得抛物线方程，再令y＝代入抛物线方程求出x，即可得到答案【详解】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2＝my，由题意，将代入x2＝my，得m＝，所以抛物线的方程为x2＝，令y＝，解得，所以水面宽度为2.24×817.9m故选：C8、A【解析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出结果【详解】双曲线中，焦点坐标为渐近线方程为：∴双曲线的焦点到渐近线的距离故选：A9、C【解析】设圆的半径为，根据已知条件可得出关于的方程，求出正数的值，即可得出抛物线的方程.【详解】设圆的半径为，抛物线的准线方程为，由勾股定理可得，因为，将代入抛物线方程得，可得，不妨设点，则，所以，，解得，因此，抛物线的方程为.故选：C.10、D【解析】设直线与点确定平面，由题意可得直线与平面相交或平行.分两种情形，画图说明即可.【详解】点是空间中不在直线，上的任意一点，设直线与点确定平面，由题意可得，故直线与平面相交或平行.(1)若直线与平面相交（如图1），记，①若，则不存在过点且与直线，都相交的直线；②若与不平行，则直线即为过点且与直线，都相交的直线.（2）若直线与平面平行（如图2），则不存在过点且与直线，都相交的直线.综上所述，过点至多有一条直线与直线，都相交.故选：D.11、C【解析】由点的坐标求得参数，再由焦半径公式得结论【详解】由题意，解得，所以，故选：C12、D【解析】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f(x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价【详解】设这个箱子的箱底的长为xm，则宽为m，设箱子总造价为f(x)元，∴f(x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】由题意可得，从而可求出的值【详解】因为直线与直线相互平行，所以，解得，故答案为：14、【解析】根据递推公式一一计算即可；【详解】解：因为，所以，，，故答案为：15、【解析】参变分离后研究函数单调性及极值，结合与相邻的整数点的函数值大小关系求出实数a的范围.【详解】整理为：，即函数在上方及线上存在两个整数点，，故显然在上单调递增，在上单调递减，且与相邻的整数点的函数值为：，，，，显然有，要恰有两个整数点，则为0和1，此时，解得：，如图故答案为：16、【解析】根据等比数列前项和公式的特点列方程，解方程求得的值.【详解】由于等比数列前项和，本题中，故.故填：.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据题意得到，，再根据求解即可.（2）首先设，，再根据求解即可.【小问1详解】由题意，，因为右顶点到右焦点的距离为，即，所以，则，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设，，且根据椭圆的对称性得，联立方程组，整理得，解得，因为的面积为3，可得，解得.18、（1）（2）证明见解析，定值为【解析】（1）由题意得，从而写出椭圆的方程即可；（2）易知直线斜率存在，令，，，，，将直线的方程代入椭圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标公式即可求得值，从而解决问题.【小问1详解】（1）由条件得，所以方程为【小问2详解】易知直线斜率存在，令，，，由，因为，所以，即-1-x1因为，所以，即-4-x1由①，由②将，代入上式，得19、（1）（2）1【解析】（1）由题意得到关于a，b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA，NA的方程确定点P，Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值.【小问1详解】由题意，点椭圆上，有，解得故椭圆C的方程为.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，显然不符；当直线l的斜率存在时，设直线l为：联立方程得：由，设，有又由直线AM：，令x=-4得，将代入得：，同理得：.很明显，且，注意到，，而，故所以.【点睛】本题考查求椭圆的方程，解题关键是利用离心率与椭圆上的点，找到关于a，b，c的等量关系求解a与b．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，．表示出，，然后转化为相应的比值关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题20、（1）；（2）.【解析】（1）首先求导函数，计算，接着根据导数的几何意义确定切线的斜率，最后根据点斜式写出直线方程即可;（2）因为点不在曲线上，所以设切点为，根据导数的几何意义写出切线的方程，代入点求解，最后写出切线方程即可.【详解】（1）.，.所以曲线在处的切线方程为，即（2）设切点为，则曲线在点处的切线方程为，代入点得，，.所以曲线过点的切线方程为，即.21、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由三角形的中位线定理可证得MN∥AB，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由已知可得AB⊥BC，VC⊥AC，再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC⊥平面ABC，从而有AB⊥VC，然后由线面垂直的判定定理可证得结论【小问1详解】证明：∵M，N分别为VA，VB的中点，∴MN∥AB，∵AB⊄平面CMN，MN⊂平面CMN，∴AB∥平面CMN【小问2详解】证明：∵△ABC和△VAC均是等腰直角三角形，AB＝BC，AC＝CV，∴AB⊥BC，VC⊥AC，∵平面VAC⊥平面ABC，