6年中考解答题27题压轴题满分练（一）（解析版）-2021年中考数学6年中考3年模拟题号对应满分练（江苏南京专用）

6年中考解答题27题压轴题满分练（一）

（满分60分时间：80分钟）班级姓名得分

一、解答题：（本题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.）

1.（2020年南京市中考真题）如图①，要在一条笔直的路边/上建一个燃气站，向/同侧

的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最

短.

（1）如图②，作出点A关于/的对称点A,线段AB与直线/的交点C的位置即为所求，

即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的.

为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C',连接4C'、BC',证明

AC+CB<AC'+C'B.请完成这个证明.

（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域.请分

别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）.

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.

【答案】证明：（1）如图②，连接4'。',

•••点A,点H关于/对称，点C在/上，

CA=CA',

：.AC+BC=A'C+BCA'B,

1

同理可得AC'+C'B=A'C'+BC,

vA'B<A'C+C'B,

AC+BC<AC+CB；

在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是AC05,（其中点。是正方形的顶点）;

如图④，

在点C出建燃气站，铺设管道的最短路线是4CD+介+EB，（其中C。，8E都与圆相切）

【解析】（1）由轴对称的性质可得。4=CA',可得4c+BC=A'C+BC=A'B,AC'+C'B=

A'C+BC,由三角形的三边关系可得48<4C'+C'B,可得结论；

（2）①由（1）的结论可求；

②由（1）的结论可求解.

本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，圆的有关知识，轴对称的性质，三角形的三边

关系，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键.

2.（2019年南京市中考真题）【概念认识】

城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按

直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两

点4（久1，y1）和8（如、2），用以下方式定义两点间距离:d（A,B）=\xr-x2\+|yi-y2\-

2

【数学理解】

(1)①已知点4(一2,1),则以。,4)=.

②函数丫=一2%+4(03%式2)的图象如图(5)所示，8是图象上一点，d(0,B)=3,则

点B的坐标是.

(2)函数y=：(x>0)的图象如图②所示.求证：该函数的图象上不存在点C,使

d(O,C)=3.

(3)函数y=x2-5x+7(x>0)的图象如图③所示，。是图象上一点，求d(O,D)的最小

值及对应的点。的坐标.

【问题解决】

(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿方向到某

处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？(要求：建立适当

的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)

【答案】解：⑴①3;②(1,2):

(2)假设函数y=>0)的图象上存在点C(x,y)使d(O,C)=3,

根据题意，得|x-0|+|—0|=3,

,•,%>0,

~>0>|x-0|4~|—-0|=x+

x4—X=3,

二X2+4=3%,

・•・/—3%+4=0,

・•・△=b2—4ac=-7<0,

3

.••方程/—3x+4=0没有实数根，

.,•该函数的图象上不存在点C,使d(O,C)=3.

(3)设。(x,y),

根据题意得,d(0,D)=\x-0|+l%?—Sx+7—0|=|%|4~|%2-5%+7|,

-5%+7=(%-1)2+：>0,

又%>0,

・•・d(O,D)=|%|+|%2—5%-I-7|=%4-%2-5x4-7=%2-4x4-7=(%—2)2+3,

.・・当％=2时,d(。,。)有最小值3,此时点。的坐标是(2,1).

(4)如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系宜内，将函数y=一》的

图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，

设交点为E,过点E作EHLMN,垂足为H,修建方案是：先沿MN方向修建到“处，再

理由：设过点E的直线人与x轴相交于点立在景观湖边界所在曲线上任取一点P,过点P作

直线，2〃，1，%与不轴相交于点G.

•・,乙EFH=45°,

・•.EH=HF,d(O,E)=0H+EH=OF,

同理d(O,P)=OG,

•・•OG>OF,

・・・d(O,P)Nd(O,E),

・••卜.述方案修建的道路最短.

4

【解析】

解：(1)①由题意得：d(。,力)=|0+2|+|0—1|=2+1=3：

②设B(x,y),由定义两点间的距离可得：|O-x|+|O-y|=3,

v0<x<2,

•,・％+y=3,

.俨+y=3

**ly=-2x+4'

解得:{J：2'

故答案为：①3;②(1,2)；

(2)见答案;

(3)见答案；

(4)见答案.

【分析】

(1)①根据定义可求出d(。,4)=|0+2|+|0-1|=2+1=3；

②由两点间距离：d(4,B)=|xx-x2\+\yi-yzl及点B是函数y=-2x+4的图象上的一点,

可得出方程组，解方程组即可求出点B的坐标；

(2)由条件知%>0,根据题意得X+£=3,整理得/一3%+4=0,由△<()可证得该函数

的图象上.不存在点C,使d(O,C)=3.

(3)根据条件可得|x|+|X2-5X+7|,去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；

(4)以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,将函数y=-x的图象沿

y轴正方向平移,直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止,设交点为E,过点E作EH1MN,

垂足为“，修建方案是：先沿方向修建到“处，再沿方向修建到E处，可由d(O,P)>

d(O,E)证明结论即可.

考查了二次函数的综合题，涉及的知识点有新定义，解方程(组)，二次函数的性质等.

3.(2018年南京市中考真题)结果如此巧合！

下面是小颖对一道题目的解答.

题目：如图，RtA/lBC的内切圆与斜边A8相切于点£>,AD=3,BD=4,求的

面积.

5

解：设△力BC的内切圆分别与AC、8c相切于点E、F,CE的长为x.

根据切线长定理，得2E=4D=3,BF=BD=4,CF=CE=x.

根据勾股定理，得(x+3/+。+4)2=(3+4)2.

整理，得/+7x=12.

所以SMBC="C-BC

=|(x+3)(%+4)

=|(X2+7X+12)

=|x(12+12)

=12.

小颖发现12恰好就是3x4,即△4BC的面积等于4。与的积.这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索.

已知：△ABC的内切圆与AB相切于点。，AD=m,BD=n.

可以一般化吗？

(1)若Z/?=90。，求证：△4BC的面积等于

倒过来思考呢？

(2)若4C-BC=2nm,求证NC=90。.

改变一下条件...

(3)若/C=60。，用机、〃表示△ABC的面积.

【答案】解：设△ABC的内切圆分别与AC、8c相切于点E、F,CE的长为x,

根据切线长定理，得：AE=AD=m,BF=BD=n、CF=CE=x,

(1)如图1.

6

A

D

图1

在RtzMBC中，根据勾股定理，得：(x+m)2+(%+n)2=(m+n)2,

整理，得：x24-(?n4-n)x=mnf

所以，A8C="C-BC

=1(x+m)(x+n)

=j[x2+(m+n)x+mri]

=g(mn+mn)

=mn,

(2)由4c-BC=2mn,得：(%4-7n)(x4-n)=2mnf

整理，得：x2+(m+n)x=mrif

・•.AC2+BC2=(%+m)2+(x+n)2

=2[%2+(m+n)x]+m2+n2

=2mn4-m24-n2

=(m4-n)2

=AB2,

根据勾股定理逆定理可得4C=90°；

(3)如图2,过点A作4G1BC于点G,

7

A

在RtZk/CG中，AG=AC-sin60°=y(x+m),CG=71C-cos60°=|(x4-m),

・•・BG=BC—CG=(%4-n)—(x+m),

在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[号(x+m)]24-[(x4-n)—|(x+m)]2=(m+n)2,

整理，得：x24-(m+n)x=3mn,

•*,S^ABC=2BC,4G

=1x(x+n)-y(x+m)

=[x2+(m+n)x+mn]

百

=Yx(3mn+mn)

=V3mn.

【解析】(1)由切线长知力E=AD=m、BF=BD=九、CF=CE=%,根据勾股定理得。+

m)2+(%4-n)2=(m+n)2,即产4-(m4-n)x=mn,再利用三角形的面积公式计算可得；

(2)由由24c,BC=2nm得(％+?n)(%+n)=2nm,B|J%24-(m4-n)x=mn,再利用勾股定理

逆定理求证即可；

(3)作AG1BC,由三角函数得4G=AC-sin60°=y(x+m),CG=AC-cos60°=i(x+m),

BG=BC-CG=(x+n)-|(x+m),在RtAABG中，根据勾股定理可得/+(m+n)x=

3mn,最后利用三角形的面积公式计算可得.

本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股

定理及其逆定理等知识点.

4.（2017年南京市中考真题）折纸的思考.

【操作体验】

8

用一张矩形纸片折等边三角形.

第一步，对折矩形纸片力BCDQ4B>BC)(图①)，使A8与。C重合，得到折痕所，把

纸片展平(图②).

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在上的P处，并使折痕经过点B,得

到折痕3G,折出PB、PC,得到APBC.

(1)说明△PBC是等边三角形.

【数学思考】

(2)如图④，小明画出了图③的矩形ABC。和等边三角形P8C.他发现，在矩形A8C。

中把^PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的

过程.

(3)已知矩形一边长为3cm,另一边长为acm,对于每一个确定的〃的值，在矩形中都

能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围.

【问题解决】

(4)用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4a”和lew的直角三角形铁片，所需正方

【答案】(1)证明：由折叠的性质得：E尸是BC的垂直平分线，8G是PC的垂直平分线，

•••PB=PC,PB=CB,

：.PB=PC=CB,

:.△PBC是等边三角形.

(2)解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度,得到△P.BC^

再以点B为位似中心，将△PiBG放大，使点Q的对应点落在CO上，得到AP2BC2；

如图⑤所示

9

D

(3)解：本题答案不唯一，举例如图6所示，

3cm

巴•-0

3cm_____

acm1/\“1

OK苧孚<a<2点a"石

图6

，八16

(4)y.

【解析】(1)见答案；

(2)见答案；

(3)见答案:

(4)解；如图7所示：

图7

△CEF是直角三角形，4cEF=90°,CE=4,EF=1,

Z.AEF+Z.CED=90°,

•••四边形A8CO是正方形,

・•・乙4=乙。=90°,AD=CD,

・•・乙DCE+乙CED=90°,

・•・Z.AEF=Z.DCE»

10

•••△AEF^h.DCE,

AEEFi

*t_______.

"DC~~CE~4’

设4E=%,则4。=CD=4x,

・•・DE=AD-AE=3x,

在Rt^CDE中,由勾股定理得:(3x)2+(4x)2=42,

解得：x=l，

AD=4x-=-.

55

故答案为：器

(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可；

(2)由旋转的性质和位似的性质即可得出答案；

(3)由等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理进行计算，画出图形即可；

(4)证明△AEFfDCE,得出差=熊=%设4E=X,则AD=CD=4x,DE=AD-AE=3x,

在RtACDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

本题是几何变换综合题目，考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、直

角三角形的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、位似的性质等知识；本题综合

性强，难度较大.

5.(2016年南京市中考真题)如图,把函数y=x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，

横坐标不变，得到函数y=2x的图象：也可以把函数y=x的图象上各点的横坐标变为

原来的：倍，纵坐标不变，得到函数y=2%的图象.

类似地，我们可以认识其他函数.

11

(1)把函数y=：的图象上各点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数

y的图象；也可以把函数y=：的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标

不变，得到函数y=：的图象.

(2)已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移

1个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的1倍，纵

坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变.

(I)函数y=/的图象上所有的点经过④-②一①，得到函数的图象；

(11)为了得到函数丫=一；(％-1)2-2的图象，可以把函数y=—/的图象上所有的点

A.①7⑤T③B.①T⑥T③C.①T②T⑥D.①T③T⑥

(3)函数y=:的图象可以经过怎样的变化得到函数y=-急的图象？(写出一种即可)

【答案】(1)6,6；

(2)(I)y=40-1)2-2；(n)D;

/「、2x+l-2%-4+33t

()■'-2x+4-2x+4-2(x+2)'

.•・函数y=(的图象先将纵坐标变为原来的:倍，横坐标不变，得到y=5；再向左平移2个单

位，向下平移1个单位即可得到函数y=-骅的图象.

【解析】解：(1)把函数y=(的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变，

设V=6y,x'=x,将、=?,x=x'带入xy=1可得y'=?,得到函数、=:的图象；

也可以把函数y=：的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变，

设y'=y,x'=6%,将旷=y',x=£代入xy=1可得y'=：,得到函数y=：的图象；

故答案为：(1)6,6；

(2)(I)函数y="的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化

后，得到y=4x2的图象；y=4"的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y=

4(%-1产的图象；y=4(x—1)2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y=

4(4一1)2—2的图象.

12

(口)为了得到函数y=-J(x-l)2-2的图象，可以把函数y=-/的图象上所有的点先向

下平移2个单位长度，得到y=-x2-2的图象，再把y=-x2-2的图象向右平移！个单位

长度，得到y=—(工一》2一2的图象；最后把、=一(％-》2-2的图象的横坐标变为原来的

2倍，得到)/=一^x—今2-2的图象，即y=-；(%-1)2-2的图象.

故答案为：(2)(I)y=4(X-1)2-2；(n)£);

2x+l—2x-4+33v

()，/―-2X+4-2X+4-2(X+2)-，

.•・函数y=:的图象先将纵坐标变为原来的|倍，横坐标不变，得到y=~再向左平移2个单

位，向下平移1个单位即可得到函数y=-绑的图象.

(1)根据阅读材料中的规律即可求解；

(2)根据阅读材料中的规律以及“左减右加，上加下减”的规律即可求解；

(3)首先把函数解析式变为y=-2=子等=高-1,然后根据(2)的规律即可求解.

本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系.在平面直角坐标系中，图形的平移与图

形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下

移减.平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的

解析式有什么关系.

6.(2015年南京市斗「考真题)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如

图中的折线A8。、线段C。分别表示该产品每千克生产成本%(单位：元)、销售价为(单

位：元)与产量式单位：kg)之间的函数关系.

(1)请解释图中点。的横坐标、纵坐