新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3余弦定理正弦定理第2课时正弦定理课件新人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第2课时正弦定理学习目标素养要求借助向量的运算，探索三角形边长和角度的关系，掌握正弦定理及其应用逻辑推理|自学导引|正弦定理1．定理内容：设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则__________________________________________．2．正弦定理的常见变形(1)sinA∶sinB∶sinC＝____________；(3)a＝_________，b＝__________，c＝___________；(4)sinA＝_______，sinB＝_______，sinC＝_______．a∶b∶c

2R

2RsinA

2RsinB

2RsinC

【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正弦定理只适用于锐角三角形． (

)(2)在△ABC中，等式bsinA＝asinB总能成立． (

)(3)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．现以已知a，b和A解三角形为例说明．锐角图形关系式解的个数

①a＝bsinA；②a≥b________A一解A锐角图形关系式解的个数

bsinA＜a＜b__________________无解两解a＜bsinA

【预习自测】在△ABC中，a＝9，b＝10，A＝60°，判断三角形的解有多少个？|课堂互动|题型1正弦定理解三角形方向1已知两角及一边解三角形

在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．解：因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°．利用正弦定理解三角形的策略(1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤：①根据三角形内角和定理求出第三个角；②根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．(2)已知三角形两边及一边的对角，解三角形的步骤：①根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况；②先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三个角；③根据正弦定理求第三条边的长度．题型2三角形解的个数的判断已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝10，b＝20，A＝80°；判断三角形解的个数的方法在△ABC中，以a，b，A为例．(1)若a＝bsinA或a≥b，则三角形有一解．(2)若bsinA＜a＜b，则三角形有两解．(3)若a＜bsinA，则三角形无解．【答案】C题型3利用正弦定理判断三角形形状在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2．∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0．又∵－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0．∴B＝C．∴△ABC是等腰直角三角形．判断三角形形状的策略(1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．3．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，则△ABC是

(

)A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】A【解析】由正弦定理，得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝3∶4∶5，所以可设a＝3k，b＝4k，c＝5k，由于(3k)2＋(4k)2＝(5k)2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．题型4正、余弦定理的综合应用方向1利用正、余弦定理解三角形(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c．方向2利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式

在△ABC中，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC．证明：(方法一，化为角的关系式)a2sin2B＋b2sin2A＝(2R·sinA)2·2sinB·cosB＋(2R·sinB)2·2sinA·cosA＝8R2sinA·sinB(sinA·cosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC．∴原式得证．用正、余弦定理求解知识交汇问题的策略(1)正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换．(2)注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．

易错警示不熟悉三角函数相关结论致误∵sinA＞0，sinB＞0，∴sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B．∴2A＝2B，即A＝B．故△ABC是等腰三角形．易错防范：由sin2A＝sin2B，得2A＝2B．这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的诱导公式，三角变换生疏．正解：易得sin2A＝sin2B．∵0＜A＜π，0＜B＜π，∴2A＝2B或2A＝π－2B．故△ABC为等腰三角形或直角三角形．|素养达成|2．应用正弦定理解三角形时应注意挖掘的三个隐含条件．(1)在△ABC中，a＋b＞c，|a－b|＜c；A＞B⇔sinA＞sinB，A＞B⇔cosA＜cosB；a＞b⇔A＞B；sinA＋sinB＞sinC．1．(题型3)在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是 (

)A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形【答案】B【答案】C3．(题型2)在△ABC中，A＝30°，a＝3