241函数的奇偶性（2知识点7题型巩固训练）（原卷版）

2.4.1函数的奇偶性课程标准学习目标1.理解函数的奇偶性及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质;学会判断函数的奇偶性。2.通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。3.通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。1.函数的奇偶性及其几何意义。2.判断函数的奇偶性的方法与格式。知识点01函数奇偶性的概念奇偶性偶函数奇函数条件设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称注意：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：1.定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；2.判断f(x)与f(x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(x)＝0(奇函数)或f(x)f(x)＝0(偶函数)是否成立．3.若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(x)＝f(x)⇔f(x)＋f(x)＝0⇔f(-x)f(x)＝②f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(x)⇔f(x)f(x)＝0⇔f(-x)f(x)＝【即学即练1】（2324高一上·北京·期中）下列函数中为偶函数的是（

）A．y=x BC．y=x2【即学即练2】（2324高一下·全国·课堂例题）下列函数图象中，可以表示偶函数的有（）A． B．C． D．知识点02函数奇偶性的常用结论1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．3奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．4在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．5.若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．【即学即练3】（2425高一上·上海·课后作业）已知y=fx是奇函数，定义域是R，y=gx是偶函数，定义域是D．设F【即学即练4】（2425高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的是．（填序号）①对于函数y=fx，若f②若y=fx是奇函数，fx定义域为③若函数y=fx的图像不关于y难点：含参问题示例1：（2324高一下·云南昆明·期末）已知奇函数fx的定义域为R，fx在区间-1，1上单调递增，f1=2，且f1-x为偶函数.若关于x的不等式A．a>1 B．C．a≥0 D．【题型1：函数奇偶性的判断】例1．（多选）（2425高一上·全国·随堂练习）（多选）下列函数是奇函数的是（

）A．y=x，（x∈[0,1]）B．y=3x2变式1．（2425高一上·全国·课堂例题）判断下列函数的奇偶性：(1)fx(2)fx(3)fx(4)fx变式2．（2324高一·上海·课堂例题）研究函数y=变式3．（2425高一上·上海·随堂练习）已知函数f((1)试证明函数f((2)画出f(变式4．（2324高一下·上海杨浦·期中）函数y=xxA．

B．

C．

D．

变式5．（多选）（2425高一上·全国·课后作业）若函数fx为定义在R上的奇函数，且f-2=1A．f0B．fC．fx的图象关于yD．fx变式6．（多选）（2223高一上·福建莆田·期中）设函数f(x)=A．f(B．f(C．g[D．若g(a变式7．（2324高一上·北京·期中）已知函数f((1)判断并证明f((2)证明f(x)(3)求f(x)【方法技巧与总结】判断分段函数的奇偶性，可以用定义法，也可以用图象法.定义法必须验证在每一段内都有或成立，而不能只验证一段解析式。在判断时，要特别注意与的范围，然后选择合适的解析式代入.【题型2：利用奇偶性求解析式】例2．（2526高一上·全国·课后作业）奇函数fx在0,+∞上的解析式是fx=x1-x，则函数A．fx=-xC．fx=-x变式1．（2324高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数f(x)为R上的偶函数，当x>0时，f(x)=变式2．（2024高一·全国·专题练习）已知奇函数fx的定义域为R，当x>0时，fx变式3．（2425高一上·全国·课堂例题）fx是奇函数，gx是偶函数，且fx+g变式4．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数f(x)(1)求f((2)若g(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时g(变式5．（2024高一·全国·专题练习）函数f(x)=ax+b1+变式6．（2324高一·上海·课堂例题）已知函数y=fx为偶函数，y=gx为奇函数，且fx变式7．（2324高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数f(x)是偶函数，g(1)求函数f(x)(2)求函数f(x)+【方法技巧与总结】求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x，然后把x转化为－x，此时－x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．【题型3：利用奇偶性求值】例3．（2324高一上·天津·期末）已知函数fx是定义城为R的奇函数，当x≤0时，fx=3x2A．474 B．-474 C．23变式1．（2425高一上·全国·随堂练习）已知定义在R上的偶函数fx满足当x∈[0,+∞)时，f(x变式2．（2425高一上·全国·课后作业）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数y=f(x+1)为偶函数，当-1≤x≤0时，变式3．（2425高一上·上海·课后作业）设fx=ax3+bx+4变式4．（2425高一·上海·课堂例题）若函数fx=x2023+a变式5．（2425高一上·上海·随堂练习）设函数是定义在R上的奇函数，当x<0时，y=2x，则x变式6．（2023高一下·吉林·学业考试）已知函数fx是定义域为R的奇函数，若fa=2，则f-变式7．（2324高一下·河南洛阳·期末）已知函数fx=ax+bx2【方法技巧与总结】利用奇偶性求函数值的思路：1.已知f(a)求f(-a)：判断fx的奇偶性与构造已知就行的函数，利用奇偶性找出fa与2.已知两个函数的奇偶性，求由这两个函数的和、差构造出的新函数的函数值，可用-x替换x后使用奇偶性变形，进而与原函数联立，解方程即可。【题型4：利用奇偶性求参】例4．（2425高一上·全国·课后作业）已知函数fx=a5xA．5 B．0 C．10 D．14变式1．（2425高一上·全国·随堂练习）已知函数f(x)=x2A．-1 B．1 C．0 D．2变式2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数fx=ax2变式3．（2324高三上·山东潍坊·开学考试）设fx=ax2+bx是定义在a-1,2a上的偶函数，则a+变式4．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数f(x)=变式5．（2425高一上·上海·随堂练习）已知定义在a-2,a2上的函数y=fx变式6．（1213高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数fx(1)求实数m的值；(2)若函数fx在区间-1,a-2变式7．（2324高一·上海·课堂例题）已知实数b<2，而函数y=x2+ax+1变式8（2425高一上·上海·课后作业）设函数fx=x3+x+2x【方法技巧与总结】若函数f(x)为奇函数，gx=fx+k【题型5：利用奇偶性与单调性解不等式】例5．（2324高一上·北京·期中）定义在R上的奇函数fx满足，当0<x≤2时，fx<0，当x>2时，fA．2,+∞ B．-2,0C．-∞,-2∪2,+∞ D变式1．（2425高一上·全国·随堂练习）已知定义在R上的奇函数fx，且当x∈[0,+∞)时，fx单调递增，则不等式fA．(-∞,1) B．(-1,+∞) C．[-1,+∞) D．(-∞,1]变式2．（多选）（2324高一下·全国·单元测试）定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减，且f(3)=0，则满足xf(xA．(-∞,-3) B．(-3,0) C．0,3 D．(3,+∞)变式3．（2324高一上·上海·期末）已知函数y=fx是定义域为R的奇函数，且f-1=0.若对任意的x1、x2∈0,+∞变式4．（2425高一上·全国·课后作业）已知函数fx=x2+2x,x变式5．（2425高一上·江西上饶·开学考试）若函数f(x)的定义域是R，且对任意的x(1)试判断f((2)若当x>0时，f(x(3)在条件（2）前提下，解不等式f(变式6．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知函数f(x)=(1)判定函数f((2)利用单调性的定义证明：f(x)(3)解不等式f(1-变式7.（2122高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）图中给出了奇函数fx的局部图像，已知fx

(1)求f0(2)试补全其图像；(3)并比较f1与f【方法技巧与总结】1.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2.如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．3.既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．4.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．5.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．【题型6：利用奇偶性与单调性比较大小】例6．（2324高一上·安徽淮北·期中）已知函数f(x)=ax2+b是定义在A．g(-2)>g(3)>C．g(2)>g(-2)>变式1．（2425高一上·全国·课堂例题）已知fx是奇函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，则f-0.5，f-1，fA．f-0.5<fC．f0<f变式2．（2015高一·全国·竞赛）已知fx是定义在R上的偶函数，对任意的x1,x2∈0,+∞A．f3<fC．f-2<f变式3．（2425高一上·上海·课后作业）若函数fx是奇函数，且f5f-3．（填“>”或“<”变式4．（2223高一·全国·随堂练习）已知函数fx对任意实数x都有f1+x=f(1)f1.2和f(2)f-1和f(3)f-2和f(4)f-2和变式5．（2324高一下·广东深圳·阶段练习）已知函数y=fx的图象关于y轴对称，且对于y=fx(x∈R)，当x1，x2A．-∞,2 B．(-2,2) C变式6．（2324高一上·广东广州·期中）已知函数fx=x3+A．a+b<0 B．a+b>0【题型7：奇偶性与函数图像】例7．（多选）（2425高一上·全国·课后作业）下图的四个函数图象中为奇函数图象的是（

）A． B．C． D．变式1．（多选）（2425高一上·全国·课后作业）（多选）一个偶函数定义在区间-7,7上，它在0,7上的图象如图所示，下列说法正确的是（

）A．这个函数有三个单调递增区间B．这个函数有两个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值-7变式2．（2425高一上·上海·课堂例题）已知偶函数fx和奇函数gx的定义域都是-4,4，它们在-4,0上的图像分别是图1和图2，则关于x的不等式fxg变式3．（2324高一上·北京朝阳·期中）已知奇函数fx的定义域为-5,5，且在0,5上的图像如图所示，则fx的单调递减区间为变式4．（2425高一上·全国·课后作业）已知函数fx是定义在-3,0∪0,3上的奇函数，当x>0时，fx

变式5．（2425高一上·全国·课堂例题）已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，fx=x(1)请补全函数y=(2)根据图象写出函数y=(3)根据图象写出使fx<0的x变式6．（2324高一下·全国·课堂例题）已知函数y=f(x变式7．（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知定义域为R的函数f(x①对任意x∈R,f(-x)+(1)求f(x)(2)在坐标系中画出函数f((3)写出f(x一、单选题1．（2324高一下·河南新乡·期末）已知函数fx=x2-1A．0 B．1 C．-1 D．22．（2223高一上·福建莆田·期中）设函数f(x)=x2-4xA．4 B．2 C．-2 D．-43．（2223高一下·云南昭通·期末）定义在R上的奇函数fx在-∞,0上单调递减，且f3=0，则满足x+1fA．-3,-1∪0,+∞ BC．-3,-1∪0,3 D4．（2425高一上·上海·课后作业）下列四个命题：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定通过原点；③既是奇函数又是偶函数的函数只能是fx④偶函数的图像关于y轴对称．其中正确的命题是（）A．③ B．④ C．②③④ D．①②③5．（2223高三上·甘肃定西·阶段练习）已知函数fx是定义在-4,4上的偶函数，且f2>A．f2>fC．f-2>f6．（2324高一下·山东淄博·期中）fx，gx是定义在R上的函数，hx=fx+gx，则“fx，gA．充要 B．充分而不必要C．必要而不充分 D．既不充分也不必要7．（2324高一下·云南昆明·期末）“函数y=f(x)为奇函数”是“函数yA．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2324高一上·云南曲靖·期末）若定义在R上的偶函数fx在-∞,0上单调递减，且f2=0，则满足m-1fA．-∞,4 B．-∞,0C．-1,0∪2,5 D二、多选题9．（2324高一下·湖南娄底·期末）已知函数y=fx是定义在RA．y=f|x| B．y=10．（2223高一下·河南·阶段练习）已知函数f(x)=A．a=-2 B．C．f(f(-1))=-1 D．11．（23