专题112线段垂直平分线（题型分类拓展）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.12线段垂直平分线（题型分类拓展）【题型目录】【题型1】坐标系中的线段垂直平分线；【题型2】线段垂直平分线中的折叠问题；【题型3】线段垂直平分线中的最值问题；【题型4】线段垂直平分线中的旋转问题；【题型5】线段垂直平分线中动点问题；单选题【题型1】坐标系中的线段垂直平分线；1．（2021下·河南许昌·九年级统考阶段练习）如图，已知的顶点，分别在轴，轴上，，，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，；②作直线交轴于点，交轴于点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2018·内蒙古·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，2），分别以点O，A为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（m，n+1）（），则n关于m的函数表达式为（

）A． B． C． D．【题型2】线段垂直平分线中的折叠问题；3．（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，中，的平分线与的垂直平分线相交于点，点分别在上，点沿折叠后与点重合，则是（

）A． B． C． D．4．（2023上·湖北荆门·八年级校联考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数为（）A． B． C． D．【题型3】线段垂直平分线中的最值问题；5．（2023上·福建莆田·八年级校考期中）如图，在中，于点D，于点E．若点P是上一动点，连接，则的最小值是等于下列哪条线段的长（

）A． B． C． D．6．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）如图，，，，点B是线段上一动点，以为底边作等腰三角形，则的最小值是（

）A．3 B． C． D．2【题型4】线段垂直平分线中的旋转问题；7．（2021下·广东深圳·七年级统考期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于点F，DE交BC、AC于点G、H，则以下结论：①△ABF≌△AEH；②连接AG、FH，则AG⊥FH；③当AD⊥BC时，DF的长度最大；④当点H是DE的中点时，四边形AFGH的面积等于AF×GH．其中正确的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【题型5】线段垂直平分线中动点问题；8．（2023上·浙江温州·八年级校考期中）如图，在中，，，D是的中点，动点P从A点出发以的速度向终点C运动，设运动时间为，若的中垂线恰好经过点D时，则t的值为（

）A．12 B． C． D．9．（2023上·河南焦作·九年级校考期中）如图①，一动点P从中的A点出发，在三角形的内部运动（含边上），沿直线运动两次，第一次到点，第二次到点，设点P运动的路程为x，如图②，是点P运动时y随x变化关系图象，若，则以，，A，B四点组成的四边形面积为（）

A． B． C． D．填空题【题型1】坐标系中的线段垂直平分线；10．（2016·辽宁丹东·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是矩形，顶点A，B，C，D的坐标分别为，点E在x轴上，点P在边上运动，使为等腰三角形，则满足条件的P点坐标为．11．（2023·辽宁大连·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B在x轴上，过点B作x轴的垂线l，l与线段的垂直平分线相交于点P，设点P的坐标为，当时，y关于x的函数解析式为．

【题型2】线段垂直平分线中的折叠问题；12．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，在中，，点为上一点，的垂直平分线交于点，将沿着折叠，点恰好和点重合，则的度数为．13．（2023上·云南昆明·九年级数据测试校2017112校考开学考试）综合与实践活动课上，小李同学对折长方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点落在上的点处，把纸片展平，连接，．则图中的度数为．

【题型3】线段垂直平分线中的最值问题；14．（2023上·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是16，若点P在直线上，则的最大值为．

15．（2023上·山东日照·八年级统考期中）如图，在四边形中，，点到的距离为3，，点为的中点，点为上的任意一点，则的最小值为．【题型4】线段垂直平分线中的旋转问题；16．（2023下·四川·八年级统考期末）如图，中，，，，将三角板的直角顶点D放在的斜边的中点处，交于点M，交于点N．将三角板绕点D旋转，当时，的长为．

17．（2022下·浙江温州·八年级统考期中）如图，一副三角板如图放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图，在旋转过程中，当，连接、，这时的面积是．【题型5】线段垂直平分线中动点问题；18．（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）如图，中，，D为上一动点，垂直平分分别交于E，交于F，则．19．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）如图，在中，，动点在射线上移动，连接．如果，则线段的长为．

解答题【题型1】坐标系中的线段垂直平分线；20．（2023上·吉林白城·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为一边在第一象限作等边．点为轴的正半轴上一动点，连接．以为边在第一象限内作等边．直线交轴于点．（1）当点坐标为时，求证：直线是边的垂直平分线；（2）随着点的移动，的长是否会发生变化？若没有变化，求的长；若有变化，请说明理由．【题型2】线段垂直平分线中的折叠问题；21．（2023上·广东中山·八年级校联考期中）综合与实践综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图1．发现四边形满足：，．查阅资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．【初步应用】（1）如图1，在中，若，，那么___________°．【类比探究】借助学习几何图形的经验，通过观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，小红对筝形的性质进行了探究．如图2，求证：（2）；（3）垂直平分线段．

【题型3】线段垂直平分线中的最值问题；22．（2023上·全国·八年级期末）如图，等腰直角中，，，请用直尺和圆规，作出符合下列条件的各点，不写作法，但保留必要的作图痕迹．（1）作上一点，上一点，使得，且最大；（2）在第一问的条件下，作上一点，上一点，使得，且最小，并求出这个最小值．【题型4】线段垂直平分线中的旋转问题；23．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）如图1，在和中，，，．连接，．（1）求证：；（2）将和绕点A向相反方向旋转，如图2，与交于点O，与交于点F．①若，求的度数；②连接，求证：平分；③若G为上一点，，，且，连接，直接写出与的数量关系．【题型5】线段垂直平分线中动点问题；24．（2023下·福建宁德·八年级统考期中）如图1，已知等腰三角形与等腰三角形全等，边与边重合，交射线于点M，．

（1）若，求的度数．（2）如图2，将等腰三角形绕点B按顺时针方向旋转，过点E作，交于点N．①求证：．②判断的数量关系，并证明．25．（2023上·湖北宜昌·八年级校联考期中）已知：如图，在中，，于点D，E是上的一动点，点F在直线上，且．（1）求证：；（2）如图1，求证：；（3）如图2，如果，，当正好平分时，直接写出的长为_____．（用含m的代数式表示）参考答案：1．B【分析】连接BC，如图，先利用勾股定理计算出OA＝8，再由作法得CA＝CB，利用勾股定理得到OC2＋42＝（8−OC）2，然后求出OC得到C点坐标．解：连接BC，如图，∵B（0，4），∴OB＝4，在Rt△ABO中，OA=，由作法得PQ垂直平分AB，∴CA＝CB，在Rt△BOC中，BC＝AC＝OA−OC＝8−OC，∵OC2＋42＝（8−OC）2，∴OC＝3，∴C点坐标为（−3，0）．故选：B．【点拨】本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理．2．A解：由作法得PO=PA,则m2+（n+1）2=（m−2）2+（n+1−2）2，整理得n=−m+1，即n关于m的函数表达式为n=−m+1.故选A.点睛：本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的平分线；过一点作已知直线的垂线）记住两点间的距离公式是解决问题的关键.3．A【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出，，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得．解：连接，设的平分线与交于点E，如图∵，，∴，∵平分，∴，∵垂直平分，∴，即，∴，∵，平分，由三线合一的性质可得：垂直平分，∴，即，由折叠的性质可知：，∴，∴，故答案为：【点拨】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．4．B【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，以及，再利用翻折变换的性质得出进而求出即可．解：连接，的平分线与的中垂线交于点O，，，，∵在等腰中，，，，在和中，，，∵点C沿折叠后与点O重合，，，．故选：B．【点拨】此题主要考查了翻折变换的性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．5．D【分析】本题考查轴对称—最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是连接，只要证明，即可推出，由，推出P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度．解：如图连接，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴P、C、E共线时，的值最小，最小值为的长度，故选：D．6．C【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、等腰三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理，连接，可证明，，当时，最小，利用等腰三角形的判定和勾股定理求解即可．得到点P的运动路线是解答的关键．解：连接，由题意，，，∴垂直平分，即，∵，∴，∴点P在与成的射线上，故当时，最小，如图，则，∴，由勾股定理得，∴，则，即的最小值是，故选：C．7．A【分析】根据SAS可证△ABF≌△AEH，可判断①；证AF＝AH，FG＝HG，可证AF垂直平分FH，可判断②；当AF最小时，DF最长，即AD⊥BC时，DF最大．可判断③；S四边形AFGH＝2S△AGH＝2×＝GH×AH，可判断④．解：①在△ABF和△AEH中，，∴△ABF≌△AEH（SAS），故①正确；②∵△ABF≌△AEH，∴∠AFB＝∠AHE，AF＝AH，∴∠DFG＝∠CHG，∵AD＝AC，∴DF＝CH，∴△DFG≌△CHG，∴FG＝GH，∴AG垂直平分FH，故②正确；③由DF＝AD﹣AF，∵AD是定长，∴AF最小时，DF最长，即AD⊥BC时，DF最大．故③正确；④当点H是DE的中点时，有AH⊥DE，∵AF＝AH，FG＝GH，且AG是公共边，∴△AFG≌△AHG（SSS）∴S四边形AFGH＝2S△AGH＝2×＝GH×AH，故④正确．故选A．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、垂线段最短、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．8．B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟悉并掌握这些结论是解决此题的关键．解：根据题意得，，则，连接，，，D是的中点，，，，的中垂线恰好经过点D，，，，，，，即，在中，，，即，，中，，，，故答案为：．9．B【分析】当时，，求出，由题意可知，，画出图形，由题意得垂直平分，垂足为点，当点P从运动到点的过程中，，即，不变，得到，由勾股定理求出，，根据即可得到答案．此题考查了从函数图象获取信息，用到了勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，数形结合是解题的关键．解：由题意可知，当时，，∴，∴，由题意可知，，如图，垂直平分，垂足为点，

当点P从运动到点的过程中，，即，不变，∴，此时，，，∴，即以，，A，B四点组成的四边形面积为，故选：B10．或或【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线，勾股定理．分情况讨论是解题的关键．由题意知，分为底，为腰两种情况求解：设，则，分①当为底，则在的垂直平分线与的交点；②当为腰，且时，；当为腰，且时，；分别计算求出满足要求的解即可．解：由题意知，分为底，为腰两种情况求解：设，则，①当为底，则在的垂直平分线与的交点，∴；②当为腰，且时，∴，解得，或（舍去），∴；当为腰，且时，∴，解得，或（舍去），∴；综上所述，点坐标为或或，故答案为：或或．11．【分析】根据题意可得，根据两点之间的距离公式求出，最后根据，即可进行解答．解：∵点A的坐标是，点P的坐标为，∴，∵轴，点P的坐标为，，∴，∵垂直平分，∴，∴，两边同时平方得：，整理得：，故答案为：．

【点拨】本题主要考查了两点之间的距离公式，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等．12．/15度【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．先利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而利用三角形的外角可得，然后利用折叠的性质可得，从而可得，最后根据三角形内角和定理可得，从而进行计算即可解答．解：点在的垂直平分线上，，，是的一个外角，，，由折叠得：，，，，，，故答案为：．13．60【分析】连接，结合折叠的性质证明为等边三角形，即可获得答案．解：如下图，连接，

由折叠的性质知，垂直平分，∴，由折叠的性质知，，∴，∴为等边三角形，∴．故答案为：60．【点拨】本题主要考查了折叠的性质以及等边三角形的判定与性质，解题关键是利用折叠的性质证明为等边三角形．14．6【分析】先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可．解：∵的垂直平分线交于点N，交于点M，∴，∵的周长是16，，∴的周长，点P在直线上，如图，连接，，，

∵点P在的垂直平分线上，∴，∴，故的最大值为6，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：6．【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键．15．3【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，由题意可得四边形为菱形，由菱形的性质可得垂直平分，从而得到，则，当、、在同一直线上时，的值最小，为，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可得解，熟练掌握菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解此题的关键．解：如图，连接、、，，在四边形中，，四边形为菱形，垂直平分，，，当、、在同一直线上时，的值最小，为，，，是等边三角形，为的中点，，点到的距离为3，，的最小值为3，故答案为：3．16．/【分析】延长至点G，使得，连接、、，易证，得到，，利用三角形内角和定理，得出，根据垂直平分线的性质，得到，设，则，，，再利用勾股定理列方程，求得，即可得到的长．解：如图，延长至点G，使得，连接、、，

是中点，，在和中，，，，，，，，，，，垂直平分，，设，在中，，，，，，，在中，，，解得：，，故答案为：．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质，勾股定理，完全平方公式等性质，正确作辅助线构造全等三角形，利用勾股定理解方程是解题关键．17．【分析】过点作，由得，再由得四边形为平行四边形，再证明≌得，再由可知垂直平分，延长交于，求出、，然后可用平行四边形的面积减三角形面积可得答案．解：如图，过点作，，，，，，，，四边形为平行四边形，，°，，，，，在与中，，≌（SAS），，，垂直平分，延长交于，，，，，，，，，．垂直平分，=，∴S△AED=S四边形ABCDS△ABES△CDES△BEC==．故答案为：．【点拨】本题是三角形旋转变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理，综合能力较强．18．【分析】本题主要考查了含角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含角的直角三角形是解题的关键．先利用含角的直角三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，然后利用等量代换以及线段的和差关系进行计算即可得到答案，解：，，垂直平分，，．故答案为：．19．或【分析】本题考查勾股定理，线段垂直平分线性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质．先由勾股定理求出，然后分两种情况：①当点P在线段上时，②当点P在线段延长线上时，分别求出的长即可．解：由勾股定理，得，①当点P在线段上时，如图，

∵，，∴∴，设，则，在中，由勾股定理，得解得：；②当点P在线段延长线上时，如图，在上截取，连接，∵，∴，∵，∴∴，∵，，∴∴∴，由①可得，∴，∴，综上，线段的长为或．20．（1）见分析；（2）随着点的移动．的长不会发生变化，【分析】（1）先证明，，结合，从而可得结论；（2）先证明，可得．证明在中．．可得，从而可得结论．解：（1）证朋：点坐标为点坐标为，．是等边角形，，．又是等边三角形，，点都在的垂直平分线上，直线是边的垂直平分线．（2）随着点的移动．的长不会发生变化，是等边三角形．．．即，而，，．是等边三角形，．．在中．．，，．【点拨】本题考查的是坐标与图形，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，含的直角三角形的性质，等边三角形的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．21．（1）20；（2）见分析；（3）见分析【分析】（1）证明，根据内角和定理、外角性质和全等三角形的性质即可求解；（2）根据即可证明；（3）根据（2）全等的性质和线段垂直平分线的判定定理即可证明；解：（1）在中，若，，，在和中，，∴，，，；（2）证明：在和中，∴；（3）证明：∵，∴点A在线段的垂直平分线上，∵，∴点D在线段的垂直平分线上，∴垂直平分线段．【点拨】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定．22．（1）见分析；（2）的最小值为【分析】本题考查作图基本作图，等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．（1）作于点，以为圆心，为半径作弧交于点，点，点即为所求；（2）设，利用勾股定理，转化的思想解决问题即可．解：（1）如图，点，点即为所求；（2）设，过点作于点．，，，，，，，，，欲求的最小值，只要在轴上找一点，使得点到，，的距离和最小即可，如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，此时的值最小，最小值．的最小值为．23．（1）见分析；（2）①；②见分析；③【分析】（1）根据，推出，从而结合“”证明，即可得出结论；（2）①根据，得出，根据结合三角形内角和定理即可得出答案；②过点A作于点M，于点N，根据，得出，，证明，即可证明结论；③证明，得出，，证明，根据等腰三角形三线合一得出，，根据垂直平分线的性质得出，根据，即可求出结果．解：（1）证明：∵，∴，即：，在和中，∴，∴；（2）解