专题24圆（全章分层练习）（培优练）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练

专题2.4圆（全章分层练习）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，半径为的圆中有一个内接矩形，，点是的中点，于点，若矩形的面积为，则线段的长为

A． B． C． D．2．如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列说法不正确的是（

）

A．平分B．点A，，在同一条直线上C．若，则D．若，则3．如图，中，是线段上的一个动点，以为直径画分别交于，连接，则线段长度的最小值为（）

A． B． C． D．4．如图，四边形是的内接四边形，，E为上一点，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．5．如图，在半径为1的上任取一点A，连续以1为半径在上截取，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交于F．则面积是（）

A． B． C． D．6．如图，等边内接于，为上一点，，交于点，，则的长为（

）

A． B． C． D．7．如图，是圆的直径，是切线，是切点，弦，与的延长线交于点，，则（

）

A． B． C． D．8．如图，C是半圆O上一点，是半圆O的直径，，D是垂足，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．9．如图，为直径，弦且过半径的中点H，过点A的切线交的延长线于G，且，点E为上一动点，于点F，当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F经过的路径长是（

）A． B． C． D．10．已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为，，，．若，则线段OP长的最小值是（

）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图，为等边的外接圆，点在劣弧上运动（不与点重合），连接．则的度数为．若的面积是，则的最大值是．

12．已知在中，直径为，弦为，的平分线交于D，交于E，则，．13．如图，半圆的直径为15，弦为9，弦平分，则的长是．14．如图，在中，AB是直径，弦于点E，于点M，CF交AB，BD分别于点G，H，，若，，则BM的长为．15．如图，，半径为的与角的两边相切，点是上任意一点，过点向角的两边作垂线，垂足分别为，，设，则的取值范围是．16．如图，已知是的直径，F是上一点，切于点E，连接交的切线于点C．交的延长线于点D．，，若点G为上一点，则最小值为．17．四边形中，，，且，．以为圆心，为半径作弧，交的延长线于点，若点为弧上的动点，过点作于点，设点I为的内心，连接，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为．

18．如图，，点在射线上的动点，连接，作，，动点在延长线上，，连接，，当，时，的长是．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，是的直径，点D是上一点，点C是的中点，连接、、、，与交于点Q．（1）若，则______；（2）作于点H，交于点P．求证：P是线段的中点；（3）若，，求的长．20．（8分）如图，是的内接三角形，直径，，点D为线段上一个动点（不运动至端点A、C），作于F，连接，并延长交于点H，连接．（1）当经过圆心O时，求的长；（2）求证：；（3）求的最大值．21．（10分）如图，是的直径，弦于点是弧上一点，的延长线交于点，连接．

（1）求证：；（2）已知．①求的半径长；②若点是的中点，求的长．22．（10分）如图，是的直径，弦于点，已知，，点为上任意一点，（点不与、重合），连结并延长与交于点，连结、、．

（1）求的长．（2）若，直接写出的长．（3）①若点在，之间（点不与点重合），求证：．②若点在，之间（点不与点重合），求与满足的关系．23．（10分）如图，是的直径，是半圆上的一点，平分，垂足为，交于，连接．（1）判断与的位置关系，并证明你的结论；（2）若，求的长；（3）若是弧的中点，的半径为5，求图中阴影部分的面积．24．（12分）如图1，把绕点逆时针旋转得，点，分别对应点，，且满足，，三点在同一条直线上．连接交于点，的外接圆与交于，两点．

（1）求证：是切线；（2）如图2，连接，，若，判断四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若，求的长．参考答案：1．A【分析】本题主要考查圆与勾股定理的综合应用；连接，，，根据圆周角定理，结合已知条件易证得为的直径，，则，再根据弧、弦、圆心角的关系及等腰直角三角形的性质可求得，然后根据同弧所对的圆周角相等及勾股定理可得，，设，，其中，利用勾股定理及矩形面积公式列得方程，解方程求得，的长度，再结合可证得，则，最后利用勾股定理列得方程，解方程即可．解：如图，连接，，四边形为矩形，，为的直径，，的半径为，，点为的中点，，，，，，，设，，其中，则，解得：或舍去，即，，，，，，，，，解得：或，故选：A．2．C【分析】根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断选项A选项；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断B选项；先求出，由旋转可知，，进一步得到，，作于点H，则，则，进一步得到，则，即可判断C选项；在截取，连接，证明是等边三角形，得到，由四边形是的内接四边形即可得，即可判断D选项．解：A．∵，∴，∴，∴平分，故选项正确，不符合题意；B．∵将绕点旋转至，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∴，∴点A，，在同一条直线上；故选项正确，不符合题意；C．∵，∴，∴，∵，∴，由旋转可知，，∴，，∴，，作于点H，则，

∴，∴，∴，故选项错误，符合题意；D．在截取，连接，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵四边形是的内接四边形，∴,故选项正确，故选：C【点拨】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键．3．B【分析】由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，如图所示，连接，，过点作，垂足为，由为等腰直角三角形，则，即此时圆的直径为，再根据圆周角定理可得到，则在中，利用锐角三角函数可计算出，然后根据垂径定理即可得到．解：由垂线段的性质可知，当为的边上的高时，直径最短，连接，，过点作，垂足为，如图所示：

在中，，，，即此时圆的直径为，，而，，在中，，，，，即线段长度的最小值为，故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了垂线段最短和解直角三角形．4．D【分析】连接，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，进而得到，推出，根据为定角，得到点的轨迹为三角形外接圆上一点，进而得到当点三点共线时，的长度最短，为进行求解即可．解：连接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴点的轨迹为三角形外接圆上一点，∴，∵，∴，∴过点作，则：，∵，∴，∴，过点作于点，则四边形为矩形，∴，∴，∴，∵，∴当点三点共线时，的长度最短，为；故选D．【点拨】本题考查求线段的最小值．解题的关键是确定点的轨迹，利用“一箭穿心”，求解即可．本题的综合性强，难度大，属于常见的压轴题．5．D【分析】连，，，，，过A作于G点，连交于N，连，如图，证明为等边三角形，可得，证明为的直径，，结合作图可得：，，可得，过O点，证明为等腰直角三角形，可得，，在中，，则，可得，，在中，，可得．解：连，，，，，过A作于G点，连交于N，连，如图，

∵，∴为等边三角形，∴，∴弧的度数为，又∵，∴，∴弧的度数为，，∴为的直径，，结合作图可得：，，∴，过O点，∴，∴为等腰直角三角形，∴，，在中，，则，∴，，在中，，∴．故选：D．【点拨】本题考查的是圆的基本性质，圆心角，弧，圆周角之间的关系，垂径定理的应用，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，熟练的理解尺规作图的含义是解本题的关键．6．B【分析】连接，过点作交延长线于，在上取一点使，证，在中求出，，进而在中由勾股定理得，则，证为等边三角形得，据此可证，进而得：：，由此得，据此可得的长．解：连接，过点作交延长线于，在上取一点，使，如图：

为等边三角形，，，，又四边形内接于，，，，在中，，，，，，，在中，，，由勾股定理得：，，，，为等边三角形，，，，又，，，，，故选：B．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线，灵活运用三角函数及相似三角形的性质进行计算是解答此题的关键．7．B【分析】连接OD，由及，即可得到，从而可证得，即可证得直线是的切线，进而根据，可得，设半径为，,在中，勾股定理求得，即可求解．解：证明：如图，连接OD，

，．又，，，．在与中，，，，又，，是的切线；∴，设半径为，,则，∵，∴，∴，则，在中，，∴，解得：，∴；【点拨】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，平行线分线段成比例，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定，平行线分线段成比例是解题的关键．8．A【分析】连接，证可得，再由即可求解．解：连接，∵为圆O的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，则故选：A．

【点拨】本题主要考查求不规则阴影部分面积、相似三角形的证明及性质，正确作出辅助线是解题的关键．9．B【分析】连接，，由，利用垂径定理得到H为的中点，证明，可求圆的半径，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂直于，得到三角形始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以为直径的圆上，当E位于点B时，，此时F与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合，可得出当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点F所经过的路径长．解：连接，，∵，∴H为的中点，即，∵是的切线，∴，又，∴，∴即，

∴，∴或（不符合题意，舍去）∴，，∴，∵，

∴始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以为直径的圆上，当E位于点B时，，此时F与H重合；当E位于点C时，此时F与C重合，∴当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长，在中，，∴，∴，∴所对圆心角的度数为，∵直径，∴的长，则当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长的长为．故选：B．【点拨】此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到当点E从点B出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长为的长是解本题的关键．10．B【分析】根据，可得，根据等边三角形的性质可求得△ABC中AB边上的高和△PAB中AB边上的高的值，当P在CO的延长线时，OP取得最小值，OP=CPOC，过O作OE⊥BC，求得OC=，则可求解．解：如图，，，∴=====，∴，设△ABC中AB边上的高为，△PAB中AB边上的高为，则，，∴，∴，∵△ABC是等边三角形，∴，，∴点P在平行于AB，且到AB的距离等于的线段上，∴当点P在CO的延长线上时，OP取得最小值，过O作OE⊥BC于E，∴，∵O是等边△ABC的中心，OE⊥BC∴∠OCE=30°，CE=∴OC=2OE∵，∴，解得OE=，∴OC=，∴OP=CPOC=．故选B．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，弄清题意，找到P点的位置是解题的关键．11．/度【分析】先利用圆的内接四边形的性质可得，根据旋转的性质得到，，推出点，点，点三点共线，得到是等边三角形，可得当为直径时，最大，再结合等边三角形的面积即可得到直径，从而可得答案．解：∵为等边的外接圆，点在劣弧上运动，∴，，如图，将绕点逆时针旋转，得到，

∴，，，∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，∴点，点，点三点共线，∴是等边三角形，∴，∴，∴当为直径时，最大，如图，连接，并延长交于，则，，，，∴，解得：，∴，，∴直径为，∴最大值为；故答案为：，【点拨】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，含的直角三角形的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键.12．【分析】根据圆周角定理及勾股定理可得的长，过点E作于点F，于点G，F，G是垂足，则四边形是正方形，设，由三角形面积公式可求出x的值，及的值，再证，根据相似比可求出的长，进而求出的长．解：是的直径，，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，；如图，过点E作于点F，于点G，F，G是垂足，则四边形是正方形，设，由，得，即，解得，，，即，又，，，即，解得，，，，故答案为：，．【点拨】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的判定和性质，及相似三角形的判定和性质．第二问有一定难度，解答此题的关键是作出辅助线，构造正方形．13．【分析】连接，与相交于点，根据圆周角定理得到，利用勾股定理计算出，再利用垂径定理得出，则，，，再利用勾股定理计算出，再计算出即可．解：如图，连接，与相交于点，，为直径，，在中，，弦平分，，，，，，，在中，，在中，，故答案为：．【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理和勾股定理．14．【分析】连接，设、交于点N，证明，得出，证明，得出，证明，得出，，证明，得出，求出，即可得出答案．解：连接，设、交于点N，如图所示：∵，，∴，∴，∵，为直径，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和判定，求出．15．【分析】本题考查了切线的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理；设半径为的与角的两边相切于，，连接，，延长交于，求得，根据直角三角形的性质得到，求得，得到，如图，延长交于，推出与是直角三角形，根据直角三角形的性质得到，，求得，当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，根据正方形的性质得到，求得；如图，当与相切且点在圆心的，左侧时，有最小值，同理可得于是得到结论．解：设半径为的与角的两边相切于，，如图，连接，，延长交于，，，是直角三角形，，，，，，如图，延长交于，，，，，，与是直角三角形，，，，当与相切且点在圆心的右侧时，有最大值，连接，则四边形是正方形，，，（；如图，当与相切且点在圆心的左侧时，有最小值，同理可得（；故的取值范围是，故答案为：．16．【分析】先求得，再过点作于，过点作交于，过点作交于，当、、在同一直线上（即、重合）时，最短，据此求解即可．解：连接，，，∵是的切线，∴，∵，∴，∴，∴，连接，过点作于，过点作交于，过点作交于，

∴，四边形是平行四边形，，，∵，，，，∴当、、在同一直线上（即、重合）时，最短，∵是的切线，∴，∴，，∵，∴，，∴，∴，的最小值为．故答案为：．【点拨】本题考查了切线的性质，平行四边形的判定和性质，最短路径问题．解题的关键是利用构造，利用了转化思想．17．/【分析】三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点，连接，由内心定义得，继而证明，再由全等三角形的对应角相等解得，接着计算的度数，得到，过、、三点作，求得的度数，求出，在等腰直角三角形中，利用勾股定理解得，最后根据弧长公式解题即可．解：如图，连接，

是内心，，，，，，，，，，过、、三点作，连接，，当点从点运动到点时，内心所经过的路径长为的长，过点作，过作，垂足分别为M、N，，，，，，．，，，在等腰直角三角形中，，．故答案为：．【点拨】本题考查圆的综合，涉及圆周角定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的内心性质、不共线三点确定一个圆、弧长公式等知识，是重要考点，正确作出辅助线、掌握相关知识是解题关键．18．【分析】过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN=3x，由△ACN≌△CDM可得AN=CM=10+x，CN=DM=3x，由点C、M、D、E四点共圆可得△NME是等腰直角三角形，于是NE=102x，由勾股定理求得AC可得CE，在Rt△CNE中由勾股定理建立方程求得x，进而可得BE；解：如图，过点C作CN⊥BE于N，过点D作DM⊥CN延长线于M，连接EM，设BN=x，则CN=BN•tan∠CBN=3x，∵△CAD，△ECD都是等腰直角三角形，∴CA=CD，EC=ED，∠EDC=45°，∠CAN+∠ACN=90°，∠DCM+∠ACN=90°，则∠CAN=∠DCM，在△ACN和△CDM中：∠CAN=∠DCM，∠ANC=∠CMD=90°，AC=CD，∴△ACN≌△CDM（AAS），∴AN=CM=10+x，CN=DM=3x，∵∠CMD=∠CED=90°，∴点C、M、D、E四点共圆，∴∠CME=∠CDE=45°，∵∠ENM=90°，∴△NME是等腰直角三角形，∴NE=NM=CMCN=102x，Rt△ANC中，AC=，Rt△ECD中，CD=AC，CE=CD，Rt△CNE中，CE2=CN2+NE2，∴，，，x=5（舍去）或x=，∵BE=BN+NE=x+102x=10x，∴BE=；故答案为：；【点拨】本题考查了三角函数，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，一元二次方程等知识；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键．19．（1）30；（2）见分析；（3）【分析】（1）由“直径所对的圆周角为直角”可得，进而可得，由题意可得，由“在同圆中，等弧所对的圆周角相等”可得，即可求解；（2）由“在同圆中，等弧所对的圆周角相等”可得，再利用角直角的互余，，进而可得，即可证得结论；（3）由（2）可得：，由，可知，设，则，解直角三角形得，，根据，得，则，求出即可．（1）解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵点是的中点，∴，∴，故答案为：30；（2）证明：∵点是的中点，∴，，∴，，即：，∵是的直径，∴，则，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，∴是线段的中点；（3）由（2）可得：，∵，，∴，设，则，，由勾股定理可得：，∵，令，，则，∴，则，解得：，∴．【点拨】本题考查了勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解直角三角形，由圆心角，弧，弦之间的关系、圆周角定理及直角三角形两锐角互余得，，是解决问题的关键．20．（1）；（2）见分析；（3）【分析】（1）根据题意，，，得到，证明，列比例式计算求解即可．（2）根据两个角相等的三角形相似，再利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明．（3）连接，由（2）得，再证明，构造二次函数求解即可．解：（1）∵直径，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）∵直径，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．（3）连接，由（2）得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，设，则，∵直径，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴，∴当时，的最大值为．【点拨】本题考查了圆的性质，三角形相似的判定和性质，构造二次函数求积的最大值，熟练掌握圆的性质，构造二次函数求最值是解题的关键．21．（1）见分析；（2）①5，②【分析】（1）如图：连接，由余角的性质可得，由圆周角定理即可证明结论；（2）①如图：连接，设圆的半径是r,由勾股定理列出关于r的方程，即可求解；②先证可得，即可求出，由勾股定理求出的长，进而求出DF的长．解：（1）证明：如图：连接，

∵是圆的直径，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．（2）解：①连接，设圆的半径是r,∵，∴，∵直径，∴，∵，∴，∴，解得：或（舍），∴的半径长是5；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵G是中点，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键．22．（1）8；（2）5或8；（3）①见分析；②【分析】（1）根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，据此求解即可；（2）根据点的位置关系及圆的性质可得答案；（3）①连接，由垂径定理可得，，利用证明，根据全等三角形的性质得出，结合圆周角定理即可得解；②连接，利用证明，根据全等三角形的性质得出，根据圆内接四边形的性质即可得解．（1）解：如图，连接，

直径，，，，，，在中，，，；（2）解：若，则点与点重合，或点与点重合．或8；（3）（3）①证明：连接，

是的直径，，，即是的垂直平分线，，，，，，，；②解：，理由如下：连接，

是直径，，，即是的垂直平分线，，，，，，、、、四点共圆，，．【点拨】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、垂