专题18绝对值贯穿有理数的八大经典题型（举一反三）（沪科版）

专题1.8绝对值贯穿有理数的八大经典题型【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用绝对值的性质化简求值】 1【题型2利用绝对值的非负性求值】 3【题型3根据字母的取值范围化简绝对值】 4【题型4利用绝对值的定义判断正误】 6【题型5利用绝对值的意义求字母取值范围】 8【题型6利用绝对值的意义分类讨论a|a|问题】 10【题型7分类讨论多绝对值问题】 13【题型8绝对值中最值问题】 15【题型1利用绝对值的性质化简求值】【例1】（2023春·江苏常州·七年级校考期中）如图表示在数轴上四个点p，q，r，s位置关系，若|pr|=10，|ps|=12，|qs|=9，则|qr|=（

）

A．7 B．9 C．11 D．13【答案】A【分析】根据绝对值的几何意义，将|pr|=10，|ps|=12，|qs|=9转化为两点间的距离，进而可得q、r两点间的距离，即可得答案．【详解】解：根据绝对值的几何意义，由|pr|=10，|ps|=12，|qs|=9可得p、r两点间的距离为10，p、s两点间的距离为12，q、s两点间的距离为9，则q、r两点间的距离为10+912=7，即|qr|=7，故选A．【点睛】本题考查绝对值的几何意义，|ab|即两实数a、b表示两个点间的距离．【变式11】（2023春·山东威海·六年级校联考期中）有理数a、b，在数轴上的位置如图所示，化简a+b+A．-a B．a C．a+2c【答案】B【分析】由数轴可知-1<【详解】解：由数轴可得：-1<∴a+∴a+故选B．【点睛】本题主要考查数轴、绝对值，熟练掌握数轴、绝对值是解题的关键．【变式12】（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校联考阶段练习）化简：|x【答案】|【详解】试题分析：要去掉绝对值符号，需知绝对值中式子的符号，x的取值是有理数范围内任一数，所以要对x的取值分情况讨论，再去绝对值符号．试题解析：①当x<-1时，原式②当-1≤x③当2≤x<4④当x≥4时，原式综上所述：|【变式13】（2023春·全国·七年级期末）已知a+a=0,bb【答案】a3bc【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.【详解】解：∵a∴a≤0，b＜0，c≥0∴a+2b＜0，ca＞0，ba＞0∴a+2b-c-a+-b-a=（a+2b）（ca）+（b故答案为a3bc.【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键.【题型2利用绝对值的非负性求值】【例2】（2023春·天津和平·七年级天津二十中校考期中）若有理数x、y满足|x|=3, |y【答案】6或8．【分析】根据绝对值的性质解得x，y的值，分情况讨论得出符合条件的x，y的值，即可解．【详解】∵|x|=3，∴x=3或-3，y=3①当x=3，y=3时，②当x=3, y|③当x=-3, y|x④当x=-3, y|x则②3④满足，则|x|+|y【变式21】（2023春·七年级课时练习）已知（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝1，则ab＝．【答案】2或4．【详解】解：根据平方数是非负数，绝对值是非负数的性质可得：|a+1|≥0，|b+5|≥0，∵（a＋1）2＋|b＋5|＝b＋5，∴b+5≥0，∴（a＋1）2＋b+5＝b＋5，∴（a＋1）2=0，解得a=－1，b≥﹣5，∵|2a－b－1|＝1，∴|－2－b－1|＝1，∴|b+3|=1，∴b+3=±1，∴b=－4或b=﹣2，∴当a=－1，b=－2时，ab=2；当a=－1，b=－4时，ab=4．故答案为2或4．点睛：本题主要考查了绝对值是非负数，偶次方是非负数的性质，根据题意列出等式是解题的关键．【变式22】（2023春·重庆·七年级校考阶段练习）已知x，y均为整数，且|x﹣y|+|x﹣3|＝1，则x+y的值为．【答案】5或7或8或4【分析】由绝对值的非负性质可知|x﹣y|和|x﹣3|这两个非负整数一个为1，一个为0，即x-y=1，x-3【详解】解：因为x，y均为整数，x-可得：x-y=1，x-3∴当x-3=0，x-y=1，可得：x当x-3=0，x-y=-1，可得：x当x-3=1，x-y=0，可得：x当x-3=-1，x-y=0，可得：x故答案为5或7或8或4．【点睛】本题考查了绝对值性质，由非负整数和为1得出加数分别为1和0，然后分类讨论解含绝对值的方程是关键．【变式23】（2023春·浙江温州·七年级校联考阶段练习）满足|a﹣b|+ab=1的非负整数（a，b）的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】∵|a﹣b|+ab=1，∴|ab|=1ab，∵|a﹣b|≥0，∴1ab≥0，∴ab≤1，∵a，b是非负整数，∴存在（1，1）（1，0）（0，1）3种情况．故选C.【点睛】本题主要考查非负整数、绝对值的性质，非负整数包括0和正整数，所以a，b可以是0或者是正整数．【题型3根据字母的取值范围化简绝对值】【例3】（2023春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）当1<m<3时，化简m【答案】2【分析】根据绝对值的性质进行化简即可．【详解】解：根据绝对值的性质可知，当1<m<3时，|m∴|m故答案为：2m【点睛】本题考查了绝对值的性质，整式的加减，熟知正数的绝对值是其本身、零的绝对值还是零、负数的绝对值是其相反数是解本题的关键．【变式31】（2023春·全国·七年级专题练习）已知有理数a<-1，则化简a+1+【答案】-【分析】先根据已知条件判断每个绝对值里边的代数式的值是大于0还是小于0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后去括号，合并同类项即可．【详解】∵a<1，∴a+1<0，1a>0，∴a=(a1)+(1a)=a1+1a=2a，故答案为：2a．【点睛】本题考查了绝对值和相反数的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，掌握以上知识是解题的关键．【变式32】（2023春·上海·六年级专题练习）已知非零实数a，b，c，a+a=0，ab=ab【答案】b【分析】根据“一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值它的相反数”化简即可．【详解】∵a+a=0，ab∴a<0,∴a+∴原式=-b【点睛】本题考查了化简绝对值，整式的加减计算，熟练掌握所学知识是解题关键．【变式33】（2023春·河南新乡·七年级校考期中）已知，|a|＝﹣a，bb=-1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝【答案】-【分析】根据已知的等式判断出a、b、c的正负，进而确定出a+b、a﹣c、b﹣c的正负，再利用绝对值的代数意义化简，即可求解．【详解】解：∵|a|=-a，|b|∴a为非正数，b为负数，c为非负数，∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，∴原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，故答案为：﹣2c．【点睛】本题考查了根据绝对值的代数意义进行化简等知识点，熟练掌握绝对值的代数意义是解答本题的关键．【题型4利用绝对值的定义判断正误】【例4】（2023春·湖北宜昌·七年级枝江市实验中学校考期中）如果a+b+c=0，且cA．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、c为正数，b为0【答案】A【分析】根据有理数的加法，一对相反数的和为0，可得a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，又c>b>【详解】解：∵a+∴a、b、c中至少有一个为正数，至少有一个为负数，∵c>∴c=∴可能a、b为正数，c为负数；也可能a、b为负数，c为正数．故选：A．【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，绝对值的意义，掌握有理数的加法法则是解题的关键．【变式41】（2023春·四川甘孜·七年级统考期末）已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．给出下列结论：①a+b+(-c)>0；②(-a)-b+c>0；【答案】②③【分析】根据有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置和绝对值的意义逐一进行判断即可．【详解】解：由数轴可知，b<0<a<∴a+-c∴a+b故①不正确，②正确，∵aa=1，bb∴a|故③正确，∵b∴bc<0∴bc-故④不正确，∵b<0<a<∴|a故⑤不正确，故答案为：②③．【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握绝对值的意义．【变式42】（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a、b为有理数，下列说法：①若a、b互为相反数，则ab②若a+b＜0，ab＞0，则|3a+4b|＝﹣3a﹣4b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是负数．其中错误的是（填写序号）．【答案】①③④【分析】根据不等式的性质进行判断即可；【详解】解：若a＝b＝0，则ab没有意义，故①∵a+b＜0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴3a+4b＜0，∴|3a+4b|＝﹣3a﹣4b，故②不符合题意；∵|a﹣b|+a﹣b＝0，∴|a﹣b|＝b﹣a，∴a≤b，故③符合题意；若a＝﹣2，b＝1，（a+b）•（a﹣b）＝（﹣1）×（﹣3）＝3＞0，故④符合题意；故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查有理数加法、乘法和除法法则，以及绝对值法则，掌握这些法则是解题的关键．【变式43】（2023春·湖北咸宁·七年级校联考期中）已知a、b为有理数，且a<0，ab<0，a+b<0，则下列结论：①b（a+【答案】②③④【分析】根据a<0，ab<0，a+b<0得b>0，【详解】解：∵a<0∴b>0，-∴b（a+b）<0，a>b，∴a<-b<b<-故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查了绝对值、有理数的乘法、有理数的比较大小，综合有理数的绝对值、有理数的乘法是解题的关键．【题型5利用绝对值的意义求字母取值范围】【例5】（2023春·七年级单元测试）当a取什么范围时，关于x的方程|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|＝a总有解？（）A．a≥4.5 B．a≥5 C．a≥5.5 D．a≥6【答案】B【分析】令y=|x4|+2|x2|+|x1|+|x|，根据x的范围分情况去掉绝对值符号，可求得y≥5，再结合题意即可确定a的范围．【详解】令y＝|x﹣4|+2|x﹣2|+|x﹣1|+|x|，当x≥4时，y＝5x﹣9≥11，当2＜x＜4时，y＝3x﹣1，∴5＜y＜11；当1≤x≤2时，y＝﹣x+7，∴5≤y≤6；当0＜x＜1时，y＝﹣3x+9，∴6＜y＜9；当x≤0时，y＝﹣5x+9，∴y≥9；综上所述，y≥5，∴a≥5时等式恒有解．故选：B．【点睛】本题考查绝对值的性质；通过构造函数，将等式问题转化为函数问题解题是关键【变式51】（2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习）已知|5x﹣2|＝2﹣5x，则x的范围是（）A．x>52 B．x<25【答案】D【分析】根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0可得出答案．【详解】解：∵|5x﹣2|＝2﹣5x，∴5x﹣2≤0，解得：x⩽故选：D．【点睛】本题考查了绝对值的性质，理解正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值等于0是解决问题的关键．【变式52】（2023春·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期末）数a在数轴上对应点位置如图，若数b满足b≤|a|，则b的值不可能是（）A．﹣1 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】根据数轴得到a<2【详解】由数轴可知，a∵b≤∴b<2∴b可以是-1,1,0不可能是故选：B．【点睛】本题考查了数轴的概念、绝对值的性质，根据数轴确定a的范围是解题的关键．【变式53】（2023春·山东济南·七年级校联考期中）若|x﹣2+3﹣2x|=|x﹣2|+|3﹣2x|成立，则x的范围是．【答案】3【分析】根据绝对值的性质可得x-2≤03-2【详解】∵|x2+32x|=|x2|+|32x|，∴x-2≤03-2解得32≤故x的范围是32故答案为32【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数a；③当a是零时，a的绝对值是零．【题型6利用绝对值的意义分类讨论a|a|【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，abcA．1 B．-1或-3 C．1或-3 D．【答案】A【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a，b，c中应有奇数个负数，进而可将a，b，c的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a，b，c的符号只能为1负2正，然后化简即得．【详解】∵abc∴a，b，c中应有奇数个负数∴a，b，c的符号可以为：1负2正或3负∵a∴a，b，c的符号为1负2正令a<0，b>0∴a=-a，b∴aa+故选：A．【点睛】本题考查了绝对值的性质、乘法法则及加法法则，利用加法法则和乘法法则确定数的符号是解题关键．【变式61】（2023·浙江·模拟预测）有理数a，b，c均不为0．且a+b+c=0，设xA．2010 B．1990 C．2030或1990 D．2010或1990【答案】C【分析】根据题意可得a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负，a=（b+c），b=（c+a），c=（a+b），则可得|a|b+c，|b|c+a，|c【详解】解：由a，b，c均不为0，知b+c，c+a，a+b均不为0，∵a+b+c=0，∴a=（b+c），b=（c+a），c=（a+b），又a，b，c中不能全同号，故必一正二负或一负二正，∴|a|b+c即其值为两个+1，一个1或两个1，一个+1，∴x=|∴x21-21x+2010或x21-21x+2010故选C．【点睛】本题考查了代数式求值，注意分类讨论思想的应用．能得到|a|b+c，|b|c+a，【变式62】（2023春·浙江·七年级专题练习）已知有理数a、b、c、【答案】2或-【分析】根据abcdabcd=-1，得到a，b，c，d中负数个数为1个或【详解】解：根据abcdabcd=-1，得到a，b，c，d中负数个数为1个或则原式=-1+1+1+1=2或-1-1-1+1=-2【点睛】本题考查了绝对值的意义以及有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义结合分类讨论的思想解题是关键．【变式63】（2023春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期中）已知x1，x2，x3解：当x1>0时，y1=x1x1=(1)若y2=|x1(2)若y3=|x1(3)由以上探究猜想，y2021=x(4)应用：如果a、b、c是非零实数，且a+b+c=0【答案】(1)±2或0(2)±1或±3(3)2022(4)0【分析】（1）由题意可得|x1|（2）由题意可得|x1|x1（3）通过计算发现规律：y2021有2022个值，最大值2021，最小值为-（4）根据正负性去绝对值计算即可，注意分类讨论．【详解】（1）解：∵|x1|∴y2=|故答案为：±2或0；（2）解：∵|x1|x1∴y3=|故答案为：±1或±3；（3）解：由（1）（2）可知，y1有2个值，y2有3个值，y3∴y2021有2022个值，最大值2021，最小值为故答案为：2022．（4）解：∵a、b、c是非零实数，且a+∴a、b、c是两个正数一个负数或一个正数两个负数，当a、b、c是两个正数一个负数时，abc<0，此时a当a、b、c是一个正数两个负数时，abc>0，此时a∴a|故答案为：0．【点睛】本题考查数字的变化规律、绝对值化简，通过计算，从特殊到一般进行归纳，探索出结果的规律是解题的关键．【题型7分类讨论多绝对值问题】【例7】（2023春·广西南宁·七年级校考期中）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a-b|+|b-c|=c-a，设【答案】-【分析】由a-b+b-c=c-a⇒【详解】解：∵a∴a∵d在a、c之间，∴a<d<当a<d<当a<b<故答案为：-【点睛】本题考查去绝对值，解题的关键是分类讨论思想的应用．【变式71】（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知a，b，c，d都是整数，且a+b+b【答案】1或0．【分析】根据题意易知|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以不外乎两种可能：①3个为0，1个为2；②2个为0，2个为1，继而讨论|a+d|的值．【详解】由题意得：|a+b|、|b+c|、|c+d|、|d+a|是整数，所以有两种可能：①3个为0，1个为2，②2个为0，2个为1，所以|a+d|只可能取0、1、2，若为2，则|a+b|=|b+c|=|c+d|=0，不难得出a=d，所以|a+d|=0，与假设|a+d|=2矛盾．所以|a+d|只可能取0、1，a=0，b=0，c=1，d=1时|a+d|=1；a=1，b=0，c=0，d=1时|a+d|=0．故答案为1或0．【点睛】本题考查了绝对值的知识，难度较大，注意对各种情况的讨论，不要漏解．【变式72】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）已知x是有理数，且x有无数个值可以使得代数式2021x+2021【答案】2022【分析】由题意确定出x的取值范围，然后按照这个取值范围化简原式即可求出此常数．【详解】由题意，得将2021x+2021因此，当-2022≤原式=-==2022．故答案为：2022．【点睛】本题考查了绝对值的性质、有理数的加减，解题的关键是确定x的取值范围．【变式73】（2023春·四川成都·七年级成都实外校考期中）已知m、n为有理数，方程||x+m【答案】2.7【分析】含有绝对值的方程，先去掉外边绝对值得|x+m|=2.7+n或|x+【详解】解：∵||x∴|x+m当|x+m|=2.7+n当|x+m|=-2.7+n∵方程||x∴-2.7+n=0时，n=2.7或2.7+当n=-2.7时，|∴n综上所述：n的值为2.7，故答案为：2.7．【点睛】本题考查绝对值方程，分类讨论是解题的关键．【题型8绝对值中最值问题】【例8】（2023春·江苏·七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点．（1）用“<”将a，b，c连接起来．（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．【答案】（1）c＜a＜b，（2）＞，（3）b1；（4）①b﹣a；②b﹣c．【分析】（1）比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到右的顺序，即从小到大的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；（2）先求出b﹣a的范围，再比较大小即可求解；（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；（4）根据绝对值的性质以及题意即可求出答案．【详解】解：（1）根据数轴上的点得：c＜a＜b；（2）由题意得：b﹣a＞0；（3）|c﹣b|﹣|c﹣a|+|a﹣1|＝b﹣c﹣（a﹣c）+a﹣1＝b﹣c﹣a+c+a﹣1＝b1；（4）由图形可知：①当x在a和b之间时，|x﹣a|+|x﹣b|有最小值，∴|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为：x﹣a+b﹣x＝b﹣a；②当x＝a时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|＝0+b﹣a+a﹣c＝b﹣c为最小值．故答案为：①b﹣a；②b﹣c．【点睛】考查了数轴，通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．【变式81】（2023春·广东汕头·七年级校考阶段练习）（1）在数轴上，点A表示数-3，点O表示原点，点A、O之间的距离=（2）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，点A、B之间的距离=a-b，数轴上分别表示a和-2的两点A和B之