专题01集合及其基本关系（6个考点梳理10个题型解读提升训练）（原卷版）

专题01集合及其基本关系【清单01】集合与元素1.含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.2.元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A【清单02】集合中元素的特点(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素可以任意排列．如果两个集合A，B,组成它们的元素完全相同，成这两个集合相等，记作A=B.【清单03】集合的分类含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.空集：不含任何元素的集合.【特别提醒】空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集！【清单04】几种特殊数集N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．【清单05】集合的表示方法1.自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．2.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．3.描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所组成的集合表示成.这种表示集合的方法称为描述法.4.区间表示法：（1）一般区间的表示．设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间__[a，b]__{x|a＜x＜b}开区间__(a，b)__{x|a≤x＜b}半开半闭区间[a，b){x|a＜x≤b}半开半闭区间(a，b]（2）特殊区间的表示.定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)【特别提醒】①关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．②区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．③正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．=4\*GB3④区间的端点a,b，ba称为区间的长度.【清单06】子集、真子集1.子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.读作A包含于B或B包含A.2.如果A不是B的子集，记作A⊈B或B⊉A.读作A不包含于B或B不包含A.3.任意集合A都是它自身的子集，Φ⊆A.4.规定：空集是任何集合A的子集．A⊆A5.真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则中A称作集合B的真子集，记作AB或BA.读作A真包含于B或B真包含A.6.维恩图：用平面上一条封闭曲线的内部表示集合，表示集合关系的示意图称作维恩图.7.集合间关系的“传递性”：对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC．8.集合的相等与子集的关系：（1）若A⊆B，且B⊆A，则A=B；（2）若A=B，则A⊆B，且B⊆A；9.集合的子集、真子集个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．【考点题型一】集合的概念【例1】（2425高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（

）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．的近似值D．我校跑步速度快的学生【变式11】（2425高一上·湖南岳阳·开学考试）下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生 B．2020年高考数学难题C．所有有理数 D．小于的正整数【变式12】（2223高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列说法正确的是（

）A．0与的意义相同B．某市文明市民可以组成一个集合C．集合是无限集D．方程的解集有二个元素【变式13】（多选）（2324高一上·陕西汉中·期中）下列说法中不正确的是（）A．0与表示同一个集合；B．集合与是两个相同的集合；C．方程的所有解组成的集合可表示为；D．集合可以用列举法表示．【变式14】（多选）（2324高一上·江西景德镇·期中）下列几组对象可以组成集合的有（

）A．高中数学必修第一册课本中所有的难题B．2023年参加杭州亚运会的全体运动员C．小于9的所有素数D．高一年级视力比较好的同学【考点题型二】元素和集合的关系【例2】（多选）（2425高一上·全国·课后作业）集合A中含有三个元素2，4，6，若，且，那么为（

）A．2 B．－2C．4 D．0【变式21】（2425高一下·浙江·开学考试）已知集合，则必有（

）A． B．C． D．【变式22】（2324高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法正确的有（

）①；②；③；④；⑤A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式23】（多选）（2022秋·江西南昌·高一统考期中）已知集合，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．【变式24】（多选）（2425高一上·全国·课堂例题）已知不超过5的实数组成的集合为M，，则（

）A． B．C． D．【考点题型三】根据元素与集合的关系求参数【例3】（2324高一上·河北邯郸·阶段练习）已知，，求实数的值.【变式31】（2425高三上·四川泸州·开学考试）设集合，，且，则集合（

）A． B． C． D．【变式32】（2324高一上·江苏南通·开学考试）设集合，若，则的值的集合为.【变式33】（2324高一下·全国·课堂例题）若集合A由三个元素组成，且，则.【变式34】（2324高一上·福建莆田·阶段练习）已知集合.(1)若是空集，求的取值范围；(2)若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来;(3)若中至多只有一个元素，求的取值范围;【考点题型四】根据集合中元素的个数求参数【例4】（2024高一·全国·专题练习）设是非空实数集，满足若，则，且.(1)若，则中至少还有几个元素？求出这几个元素；(2)集合是否可能只含有一个元素？如果能，请举出实例；如果不能，请说明理由.【变式41】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合A的元素个数为（

）A．9 B．8 C．6 D．5【变式42】（2324高一上·山东临沂·期中）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（

）A． B．1 C．或1 D．0或1【变式43】（2324高一上·上海·期中）若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和.【变式44】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知集合(1)若，求实数k的取值范围；(2)若集合A中的元素至少有一个，求实数k的取值范围.【考点题型五】用适当的方法表示集合【例5】（2526高一上·全国·课前预习）选择适当方法表示下列集合：(1)由小于8的所有自然数组成的集合A；(2)自然数的平方组成的集合B；(3)方程组的解组成的集合C；(4)二次函数的图象上所有的点组成的集合D．【变式51】（2425高一上·全国·随堂练习）对集合用描述法来表示，其中正确的是（

）A． B．C． D．【变式52】（2425高一上·全国·随堂练习）集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【变式53】（多选）（2526高一上·全国·课前预习）若满足不等式且的实数组成的集合，则集合为（

）A． B． C． D．【变式54】（2324高一下·全国·课堂例题）用适当的方法表示下列集合：(1)方程的所有解组成的集合A；(2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B；(3)一年中有31天的月份的全体；(4)所有能被3整除的数的集合；(5)不等式的解集.【考点题型六】集合间关系的判定【例6】（多选）（2324高一下·全国·课后作业）下列命题中，正确的有（

）A．集合的所有真子集为B．若（其中），则C．是菱形是平行四边形D．【变式61】（2425高三上·河北唐山·阶段练习）已知集合，则下列表述正确的是（

）A． B． C． D．【变式62】（2324高二下·福建泉州·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（

）A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥【变式63】（2425高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式64】（2324高一上·湖北十堰·期末）集合，，的关系是（

）A． B．C． D．【考点题型七】子集、真子集（个数）的确定【例7】（2324高一下·全国·课堂例题）（1）写出集合的子集和真子集．（2）写出集合的所有子集和真子集．（3）写出集合的所有子集和真子集．【变式71】（2425高一上·河南驻马店·开学考试）已知集合A满足，，则满足条件的集合A的个数为（）A．1个 B．2个 C．4个 D．8个【变式72】（2425高一上·上海·课后作业）已知集合，且中至少含有一个奇数，这样的集合有个．【变式73】（2024·广西南宁·三模）集合子集的个数是．【变式74】（2324高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集．【考点题型八】根据集合的包含关系求参数（范围）【例8】（2425高一上·甘肃·开学考试）已知集合，．(1)求A；(2)若，求实数a的取值范围．【变式81】（2324高二下·河北承德·期末）已知集合，且，则（

）A．8或20 B．8或20 C．或20 D．或【变式82】（2324高二下·贵州黔南·期末）已知集合，若，则a的取值范围为．【变式83】（2324高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则.【变式84】（2324高一下·上海杨浦·期中）已知集合，集合.(1)若，求实数的取值范围(2)若，求实数的值【考点题型九】根据集合的相等求参数【例9】（2425高三上·湖南常德·阶段练习）若集合，则．【变式91】（多选）（2425高一上·广西·开学考试）已知集合，若，则的值可能是（

）A．4 B．2 C．0 D．2【变式92】（2223高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，则．【变式93】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，若，则【变式94】（2324高一上·湖南邵阳·阶段练习）设，若，求的值.【考点题型十】根据子集（真子集）个数求参数【例10】（2425高一上·福建漳州·开学考试）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合．【变式101】（2324高