专题139三角形中的边角关系命题与证明章末八大题型总结（拔尖篇）（沪科版）（原卷版）

专题13.9三角形中的边角关系、命题与证明章末八大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1利用三角形的中线求面积】 1【题型2利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】 2【题型3利用三角形的三边关系化简或证明】 3【题型4与角平分线有关的三角形角的计算问题】 4【题型5与平行线有关的三角形角的计算问题】 6【题型6与折叠有关的三角形角的计算问题】 8【题型7坐标系中的角度探究问题】 10【题型8有关三角形角度的多结论问题】 12【题型1利用三角形的中线求面积】【例1】（2023春·贵州毕节·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG

A．60 B．56 C．70 D．48【变式11】（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在△ABC中，BF=2FD，EF=FC，若△BEF的面积为【变式12】（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD

【变式13】（2023春·江苏盐城·八年级统考期末）【问题情境】苏科版数学课本八年级下册上有这样一道题：如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与小旭同学在图1中作BC边上的高AE，根据中线的定义可知BD=CD．又因为高AE相同，所以S△

【深入探究】（1）如图2，点D在△ABC的边BC上，点P在AD①若AD是△ABC的中线，求证：S②若BD=3DC，则S【拓展延伸】（2）如图3，分别延长四边形ABCD的各边，使得点A、B、C、D分别为DH、AE、BF、CG的中点，依次连结E、F、G、H得四边形EFGH．①求证：S△②若S四边形ABCD=3，则【题型2利用三角形的三边关系求线段的最值或取值范围】【例2】（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，∠AOB<90°，点M在OB上，且OM=6，点M到射线OA的距离为a，点P在射线OA上，MP=x．若△

A．x=a或x≥6 B．x≥6 C．x=6【变式21】（2023秋·安徽合肥·八年级统考期末）不等边△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是【变式22】（2023秋·安徽·八年级期末）一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（

）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【变式23】（2023秋·浙江杭州·八年级期末）设a,b,c表示一个三角形三边的长，且他们都是自然数，其中a≤b【题型3利用三角形的三边关系化简或证明】【例3】（2023·八年级单元测试）如图，已知点O为ΔABC内任意一点.证明：（1）OA+（2）AB+（3）若A，B，C为三个城镇，AB+AC+BC=10km【变式31】（2023春·八年级课时练习）已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．【变式32】（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，点P是△ABC内部一点，连接BP，并延长交AC于点D(1)试探究AB+BC+(2)试探究AB+AC与(3)如图2，点D，E是△ABC内部两点，试探究AB+AC【变式33】（2023春·六年级单元测试）如图，草原上有四口油井，位于四边形ABCD的四个顶点上，现在要建立一个维修站H，试问H建在何处，才能使它到四口油井的距离之和HA+【题型4与角平分线有关的三角形角的计算问题】【例4】（2023春·江苏苏州·八年级太仓市第一中学校考期中）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分(1)若∠A=60°，则∠BDC(2)若∠A=α，直线MN①如图2，若MN∥AB，求∠NDC-∠MDB②如图3，若MN绕点D旋转，分别交线段BC,AC于点M,N，试问旋转过程中∠NDC③如图4，继续旋转直线MN，与线段AC交于点N，与CB的延长线交于点M，请直接写出∠NDC与∠MDB的关系（用含【变式41】（2023秋·河南漯河·八年级校考期中）（1）在图1中，请直接写出∠A（2）如果图2中，∠D=40°,∠B=36°，AP与CP分别是∠DAB（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠【变式42】（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动(不与点O重合(1)如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，当AO=BO时∠AEB(2)如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D，随着点A，B的运动∠D(3)如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的【变式43】（2023秋·安徽宣城·八年级校考期中）如图1，∠MON=90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点(1)若BC是∠ABN的平分线，BC的反方向延长线与∠BAO的平分线交于点①若∠BAO=60°，则∠D②猜想：∠D的度数是否随A，B(2)如图2，若∠OAD=35∠OAB，(3)若将∠MON=90°改为∠MON=120°（如图3），∠OAD=mn∠OAB，∠NBC【题型5与平行线有关的三角形角的计算问题】【例5】（2023春·辽宁盘锦·八年级统考期末）（1）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PMB=140°，（2）问题迁移：在（1）的条件下，如图2，∠AMP的角平分线与∠CNP的角平分线交于点F，则（3）问题拓展：如图3，AB∥CD，点P在射线OM上移动时（点P与点O，M，D三点不重合），记∠PAB=α，∠PCD=【变式51】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图，AB∥CD，点P在直线AB上，作∠BPM=50°，交CD于点M，点F是直线CD上的一个动点，连接PF，PE⊥CD于点

(1)若点F在点E左侧且∠PFM=32°，求(2)当点F在线段EM（不与点M，E重合）上时，设∠PFM=α°，直接写出(3)将射线PF从（1）中的位置开始以每秒10°的速度绕点P逆时针旋转至PM的位置，转动的时间为t秒，求当t为何值时，△FPM【变式52】（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）如图，AB//CD，点O在直线CD上，点P在直线AB和CD之间，∠ABP=∠PDQ（1）求∠BPD的度数（用含α（2）过点D作DE//PQ交PB的延长线于点E，作∠DEP的平分线EF交PD于点F，请在备用图中补全图形，猜想EF（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ【变式53】（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）已知MN∥PQ，点D是直线(1)如图1，现有一块含30°角的直角三角板（∠CAB=30°，∠ACB=60°，∠ABC=90°），将其点A固定在直线MN上，并按图1位置摆放，使∠MAC=30°，点(2)现将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，转到与DQ重合时停止，三角板按图1摆放不动，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当DE与三角板的一边平行时，求t的值；(3)若将射线DE从图1的位置开始以每秒2度的速度绕点D顺时针旋转，同时，将三角板ABC也从图1的位置开始以每秒4度的速度绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，∠MAC的角平分线AH与∠PDE的角平分线DF交于点①如图2，当DF∥BC时，∠②如图3，当DF∥BA时，∠【题型6与折叠有关的三角形角的计算问题】【例6】（2023秋·山东临沂·八年级统考期末）有一张正方形纸片ABCD，点E是边AB上一定点，在边AD上取点F，沿着EF折叠，点A落在点A′处，在边BC上取一点G，沿EG折叠，点B落在点B′处．(1)如图1，当点B落在直线A′E上时，猜想两折痕的夹角∠FEG的度数并说明理由．(2)当∠A′EB′=13∠B′EB时，设∠A′EB′=x①试用含x的代数式表示∠FEG的度数．②探究EB′是否可能平分∠FEG，若可能，求出此时∠FEG的度数；若不可能，请说明理由．【变式61】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）（1）如图1，将一张三角形纸片ABC沿着AD折叠，使点C落在边AB上的C处，若∠CAB=70°，则∠CAD（2）如图2，将一张三角形纸片ABC沿着DE折叠(点D，E分别在边AB和AC上)，并使得点A和点A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（3）如图3，将长方形纸片沿着BC和BD折叠成如图所示的形状，BE和BI重合，①∠CBD②如果∠IBD=58°17【变式62】（2023秋·江西南昌·八年级校联考期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C(1)如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'=58°，则∠C=______，可以发现(2)如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'=42°(3)如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y【变式63】（2023春·江苏·八年级统考期中）将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落A'的位置，折痕为DE(1)当点A落在四边形BCDE的外部A'的位置且A'与点C在直线①如图1，若∠C=90°，∠A②如图2，请写出∠1、∠2和∠A如图3，有一张三角形纸片ABC，∠A=30°，∠C=50°，若点E是AB边上的固定点（AE<12AB），请在AC上找一点D，将纸片沿DE折叠，DE为折痕点A落在A【题型7坐标系中的角度探究问题】【例7】（2019春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）在平面直角坐标系中A(a,0)，C(0,c)且满足（1）求点B的坐标．（2）如图1，若点M从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动（不超过点O），点N从原点O出发，以1个单位/秒的速度向下运动（不超过点C），设M、N两点同时出发，在它们运动的过程中，四边形MBNO的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围．（3）如图2，E为x轴负半轴上一点，且∠CBE=∠CEB，F是x轴正半轴上一动点，∠ECF的平分线CD交BE的延长线于点D，在点F运动的过程中，请探究∠【变式71】（2023春·重庆彭水·七年级统考期中）已知，在平面直角坐标系中，点A的坐标是a,0，B的坐标是0，b，其中a、b满足a-12+b-3=0，将点B向左平移m

(1)求点A、(2)如图1，若S△ABC>(3)如图2，若m>1，BE平分∠ABC交AC于点E（不与点A重合），射线CF交直线AB于点G，交射线BE于点M，求∠【变式72】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）已知直线MN∥PQ，点A在直线MN上，点B、C为平面内两点，AC⊥

(1)如图1，当点B在直线MN上，点C在直线MN上方时，延长CB交直线PQ于点D，则∠CAB和∠CDP之间的数量关系是(2)如图2，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线MN与PQ之间时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．为探究∠ABC与∠BDP之间的数量关系，小明过点B作BF∥(3)如图3，在（2）的条件下，作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠AEB=2∠(4)如图4，当点C在直线MN上且在点A左侧，点B在直线PQ下方时，过点B作BD⊥AB交直线PQ于点D．作∠ABD的平分线交直线MN于点E，当∠【变式73】（2023春·四川自贡·七年级校考期中）如图1，平面直角坐标系中，已知Aa,0，Bb,3，C2,0

(1)填空：a=______，b=(2)如图1，在x轴上是否存在点P（P点不与点A、O、C重合），使得△ABP的面积与△ABC的面积相等？若存在，直接写出点(3)如图2，点D为y轴正半轴上一点，ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，AM交【题型8有关三角形角度的多结论问题】【例8】（2023春·福建福州·七年级校考期末）如图，在ΔABC，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C

A．1 B．2 C．3 D．4【变式81】（2023春·江苏南京·七年级校考期中）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠

①∠BOC=90°+12∠A；②∠DA．①②④ B．①②③ C．①② D．①②③④【变式82】（2023春·全国·七年级期末）如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，