专题251直线与圆的位置关系-

专题2.5.1直线与圆的位置关系【基本知识梳理】知识点1：直线与圆的位置关系的判断直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0【特别注意】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．知识点2：圆的弦长问题求直线与圆相交时弦长的两种方法：(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).图①(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，图②则|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．知识点3：圆的切线问题求过某一点的圆的切线方程(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式方程可得切线方程．②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当切线斜率不存在时要加以验证．③过圆外一点的切线有两条．知识点4：圆的方程的实际应用（1）建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题．（2）解决直线与圆的实际应用题的步骤①审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．②建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．③求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．④还原：将运算结果还原到实际问题中去．【题型1直线与圆的位置关系的判定】【例1】（20232024·浙江绍兴·高二上·期中）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.以上都有可能【答案】C【解析】【分析】求出点到直线的距离即可求解.【详解】因为圆，所以，半径，因为点到直线的距离，所以直线与圆的位置关系是相离.故选：C.【变式11】（20232024·安徽·高三·联考）已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定【答案】C【解析】【分析】根据题意可得直线表示过定点，且除去的直线，点在圆上，可判断直线与圆相交.【详解】因为直线，即，当时，，解得，所以直线表示过定点，且除去的直线，将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上，所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意，所以直线与圆相交.故选：C.【变式12】（20232024·山东菏泽·高二上·期中）（多选）已知圆，则（）A.点在圆的内部 B.圆的直径为2C.过点的切线方程为 D.直线与圆相离【答案】ACD【解析】【分析】利用圆的标准方程，找到圆心和半径，利用直线和圆的位置关系判断即可.【详解】A:将点代入圆：，所以点在圆内，故A正确；B:圆的半径为，所以直径为，故B错误；C:将代入圆：，所以点在圆上，过圆上的一点做圆的切线有且只有一条，当斜率不存在时，此时过点的直线为，满足，故只有唯一的切线方程，故C正确；D:圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故D正确.故选：ACD【变式13】（20232024·山东德州·高二上·期中）直线与圆的公共点个数为（）．A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个【答案】D【解析】【分析】求直线过的定点，再判断直线与圆位置关系，【详解】为，故过定点，在圆上，故直线与圆相切或相交，公共点个数为1个或2个，故选：D【题型2根据直线与圆的位置关系求参数】【例2】（20232024·福建厦门·高二下·期末）（多选）已知直线与圆：有公共点，则可以是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】CD【解析】【分析】根据直线与圆相交或相切，则圆心到直线的距离，可解问题.【详解】圆的圆心坐标为，半径为，由于直线与圆有公共点，则，解得，由于，所以符合条件的选项为C、D.故选：CD.【变式21】（20232024·山西咸阳·高二下·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是_______.【答案】0（或1或2）【变式22】（20222023·山东烟台·高二上·期中）若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定【答案】C【解析】【分析】根据题意，求出圆心到直线的距离大于半径，得到，故点在圆内，进而判断结果.【详解】因为直线与圆相离，所以圆心到直线的距离大于半径，即，所以，故点在圆内，所以过点的直线与圆相交，故选：C.【变式23】（20232024·湖南衡阳·高三上·期末）（多选）已知半径为的圆的圆心在直线上，且圆与直线相切，则圆的圆心坐标可能为（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解.【详解】依题意可设圆的圆心坐标为，则，解得或，所以圆的圆心坐标为或.故选：AC【变式24】（20232024·全国·高三·阶段练习）已知直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2A．14 B．12 C．1【解题思路】由直线和圆相切可得m2【解答过程】由于直线l:mx+ny=1与圆O:x故圆心到直线l的距离为d=1m2故mn≤m2+故选：B.【题型3圆的切线长及切线方程的求解】【例3】（20232024·天津·高二上·阶段练习）圆在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解.【详解】将圆的方程化为标准方程得，∵点在圆上，∴点P为切点．从而圆心与点P的连线应与切线垂直．又∵圆心为，设切线斜率为k，∴，解得．∴切线方程为．故选：D.【变式31】（20232024·山东青岛·高二上·期中）过点作圆的两条切线，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点点距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解.【详解】由可得，所以,进而可得，故，所以四边形的面积为，故选：C【变式32】（20232024·山东潍坊·高二上·期中）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，然后得到四边形面积为，利用切线长公式可知，当最短时，四边形面积最小，求解即可得到答案.【详解】

将化为标准方程为：，所以圆的圆心为，半径为2，由题意，四边形面积为，又因为，所以当最短时，四边形面积最小，此时.故选：C【变式33】（20232024·山东青岛即墨·高二上·期中）（多选）已知点为圆的两条切线，切点分别为，则下列说法正确的是（

）A．圆的圆心坐标为，半径为B．切线C．直线的方程为D．【答案】AC【分析】将圆的方程配方易得A项正确；利用圆的切线的性质和勾股定理易求得；设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求出值，回代入直线方程与圆的方程联立，求出点的坐标，再利用斜率关系即可求得直线的方程；先判断，求出的正余弦，再求即得.【详解】对于A项，由可得：，知圆心为,半径为，故A项正确；

如图，点为圆的两条切线,切点分别为.对于B项，分别连接,在中，,则,故B项错误；对于C项，设过点的圆的切线方程为：，即：，由圆心到直线的距离，解得：，取，则切线方程为代入整理得：，解得：，代入可得：，即得：，因,直线的斜率为1，则直线的斜率为，故直线的方程为：，即：，故C项正确；对于D项，由对称性可知,由上分析知，,则，于是，.故D项错误.故选：AC.【点睛】思路点睛：本题主要考查直线与圆相切产生的切线长，直线方程和夹角问题，属于较难题.解决此类题目的思路即是，作出图形，利用图形的几何性质，借助于直线与圆的方程联立，求出相关点坐标和相关角的三角函数值即可依次求得.【变式34】（20232024·山西太原·高二上·期末）已知圆的方程为，点在圆内.（1）求实数的取值范围；（2）求过点且与圆相切的直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得.（2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程.【小问1详解】圆：的圆心，半径由点在圆内，得，解得，所以的取值范围为.【小问2详解】显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2，则直线是过点的圆的切线；当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为，由，解得，切线方程为，即，所以圆的切线方程为或.【题型4已知切线求参数】【例4】（20232024·浙江宁波·高二上·期中）若直线与圆相切，则（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，再利用圆的切线性质求解作答.【详解】圆的圆心，半径，依题意，，解得，所以.故选：A【变式41】（20232024·全国·高三·模拟）“b=2”是“直线y=x+b与圆x2+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程，解出b值，再根据充分不必要条件的判定即可得到答案.【解答过程】若直线y=x+b与圆x2则圆心0,0到直线x−y+b=0的距离d等于半径r，即b2=1，故前者能推出后者，后者无法推出前者，故“b=2”是“直线y=x+b与圆x故选：A.【变式42】（20232024·浙江台州·高二上·期中）已知点P，Q是圆O：上的两个动点，点A在直线l：上，若的最大值为，则点A的坐标是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判断直线与圆为相离，再由题设得为圆的切线，根据已知确定，设应用两点距离公式求坐标.【详解】由到的距离，故直线任意一点与圆上两点所成角最大，则为圆的切线，要使的最大值为，即为边长为的正方形，则，此时，令，有，，所以，即.故选：A【变式43】（20232024·山东临沂·高二上·联考）已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是．【答案】或【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合可得解.【详解】由可得，即直线过定点，由可得，即曲线C：，作出曲线与直线的图象，如图，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，即，解得或（由图可知不符合题意，舍去），由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点.故答案为：或【题型5求圆的弦长与中点弦】【例5】（20232024·四川达州·高二上·期中）已知直线与圆交于两点，则（）A. B. C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】先求出弦心距，然后根据弦长公式求出弦长即可.【详解】由题意得圆的半径为，圆心到的距离，所以，故选：B【变式51】（20232024·内蒙古巴彦淖尔·高二上·阶段练习）已知直线l与圆C:x−12+y2=9相交于A,B两点,弦AB的中点为MA．x+2y+4=0 B．x+2y−4=0 C．x−2y+4=0 D．x−2y−4=0【解题思路】由M0,2是弦AB的中点,所以CM⊥AB,求出CM的斜率,进而求得AB的斜率,根据AB的中点为M0,2,根据点斜式即可写出直线【解答过程】解:由题知,圆C:x−12+y因为弦AB的中点为M0,2,所以CM⊥AB因为kCM=2−1=−2因为M0,2在AB上,所以AB:y−2=12故选:C.【变式52】（20232024·山东枣庄·高二上·期中）直线被圆截得的最短弦长为________.【答案】【解析】【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.【详解】直线，即，令，解得，所以直线恒过点，又圆的圆心为，半径，因为，当时直线被圆截得的最短弦长，最短弦长为.故答案为：【变式53】（20222023·山东德州·高二上·期中）已知圆C与x轴相切，圆心C在直线上，且与轴正半轴相交所得弦长为．（1）求圆C的方程；（2）过点的直线交圆于C，于E，F两点，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】分析】（1）根据几何法，利用勾股定理即可求解，（2）根据直线与圆相交，弦长公式即可求解.【小问1详解】设圆心，因为圆与轴的正半轴相切，所以，圆的半径为，因为圆截轴所得弦的弦长为，所以，即，又，所以，所以圆．【小问2详解】当直线无斜率时，此时直线方程为，由题知：此时直线与圆C截得的弦长为，不满足条件，当直线有斜率时，设直线方程为：，则圆心到直线的距离为，所以，解得，所以直线的方程为：或【题型6已知圆的弦长求方程或参数】【例6】（20232024·山东威海·高二上·期末）已知直线与圆交于，两点，且，则实数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圆心到直线的距离，由垂径定理得到方程，求出，验证后得到答案.【详解】变形为，故，解得，故圆心为，半径为，设圆心到直线的距离为，则，由垂径定理得，解得，满足要求故选：D【变式61】（20232024·浙江杭州·高二上·期末）已知圆C：x2﹣2x+y2＝0与直线l：y＝mx+2m（m＞0），过l上任意一点P向圆C引切线，切点为A和B，若线段AB长度的最小值为2，则实数m的值为（）A．277 B．77 C．14【答案】D【变式62】（20232024·全国·高三·阶段练习）直线y=kx+2与圆(x−2)2+(y−3)2=4相交于M,N两点，若MNA．−34,34 B．−3【解题思路】根据MN≥23，由弦长公式得，圆心到直线的距离小于或等于1，从而可得关于【解答过程】圆(x−2)2+(y−3)2=4直线y=kx+2的方程化为一般形式为kx−y+2=0.∵MN≥23，设圆心到直线y=kx+2的距离为d∴d=2k−3+2k2故选：D.【变式63】（20232024·湖南长沙·高二上·期末）已知圆经过点且圆心在直线上.（1）求圆的方程；（2）已知直线经过点，直线与圆相交所得的弦长为8，求直线的方程.【答案】解：（本题满分12分）（1）设圆的方程为，因为圆经过点，且圆心在直銭上，依题意有解得，所以圆的方程为.（2）设圆心到直戟的距离为，则弦长，当直线的斜率不存在时，，所以直线的斜率存在，设其方程为，即，，解得，所以所求直线的方程为或.【题型7直线与圆有关的最值问题】【例7】（20232024·北京丰台·高二上·期中）已知点为圆上一点，记为点到直线的距离.当变化时，的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】根据直线方程，求得该直线的定点，利用点到过定点直线以及点到圆上点距离的性质，可得答案.【详解】由直线方程，则该直线过定点，易知圆上任意定点到该直线的最大距离就是该点到的距离，由圆的方程，则其圆心为，半径为，点到圆上点的最大距离为.故答案为：.【变式71】（20232024·湖南·高二上·期中）（多选）已知直线：和圆：，则（）A.直线恒过定点B.直线与圆相交C.存在使得直线与直线：平行D.直线被圆截得的最短弦长为【答案】BD【解析】对于A，由可得，，令，即，此时，所以直线恒过定点，A错误；对于B，因为定点到圆心的距离为，所以定点在圆内，所以直线与圆相交，B正确；对于C，因为直线：的斜率为，所以直线的斜率为，此时直线的方程为，直线与直线重合，故C错误；对于D，设直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确；故选BD.【变式72】（20232024·陕西·高二上·期中）已知直线l：x−y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则【答案】【变式73】（20232024·福建厦门·高二上·期中）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设点，求出动点的轨迹圆的方程，再求出直线过定点坐标，依题意点在圆的内部，即可得到不等式，解得即可.【详解】设点，，，所以动点的轨迹为阿氏圆：，又直线恒过点，若对任意实数直线与圆恒有公共点，在圆的内部或圆上，所以，所以，解得，即的取值范围为.故选：C【题型8直线与圆的方程的应用】【例8】（20232024·山东聊城·高二上·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是__________米.（注意：）【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点的纵坐标，进而即可计算出的长．【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系，由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为，由勾股定理可得，又，即，解得，所以圆心的坐标为，则圆的方程为，将代入圆的方程得，又，解得，所以(米)．故答案为：．【变式81】（20232024·湖北荆州·高二上·期中）如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面AB的长为16米，最大高度CD的长为4米，以C为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立直角坐标系.(1)求该圆弧所在圆的方程;(2)若某种汽车的宽约为2.5米，高约为1.6米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车?(将汽车看作长方体)

【答案】解：(1)由圆的对称性可知，该圆弧所在圆的圆心在y轴上，设该圆的半径为r米，则r2=8故该圆弧所在圆的方程为x(2)设与该种汽车等高且能通过该隧道的最大宽度为d米，则(d2若并排通过5辆该种汽车，则安全通行的宽度为5×2.5+4×0.5=14.5>242.24，故该隧道不能并排通过5若并排通过4辆该种汽车，则安全通行的宽度为4×2.5+3×0.5=11.5<242.24，故该隧道能并排通过4综上所述，该隧道最多可以并排通过4辆该种汽车.【变式82】（20232024·浙江台州·高二上·期中）如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原