专题74探索直线平行的条件（题型分类拓展）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题7.4探索直线平行的条件（题型分类拓展）【题型分类目录】【题型1】旋转问题；【题型2】规律探索问题；【题型3】拓展探究问题；【题型4】折叠与重合问题；单选题【题型1】旋转问题1．（2023·河南濮阳·统考一模）如图，直线a与直线c相交于点A，，，直线a绕点A逆时针旋转，使，则直线a至少旋转（

）

A． B． C． D．2．（2022下·江苏淮安·七年级统考期中）如图，固定木条b、c，使，旋转木条a，要使得，则应调整为（

）A． B． C． D．3．（2021下·河北石家庄·七年级统考期末）如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（

）时，．A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°4．（2015上·八年级课时练习）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为（）A．65° B．85° C．95° D．115°【题型2】规律探索问题5．（2017下·江苏南通·七年级阶段练习）在同一平面内有直线…，，若，，，，…，按此规律进行下去，则与的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．无法判断【题型3】拓展探究问题6．6．（2019下·北京怀柔·七年级统考期末）在探究平行线的判定——基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行时，老师布置了这样的任务：请同学们分组在学案上（如图），用直尺和三角尺画出过点P与直线AB平行的直线PQ；并思考直尺和三角尺在画图过程中所起的作用．小菲和小明所在的小组是这样做的：他们选取直尺和含有45°角的三角尺，用平移三角尺的画图方法画出AB的平行线PQ，并将实际画图过程抽象出平面几何图形（如图）．以下是小菲和小明所在小组关于直尺和三角尺作用的讨论：①在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45°②由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中QP为截线③初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角④在画图过程中，直尺可以由直线CD代替⑤在“三线八角图”中，因为AB和CD是截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”其中，正确的是（

）A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．③④⑤【题型4】折叠问题7．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，将一纸条沿折痕折叠，时对应线段与相交于点则下列条件中，不足以证明的是（

）

A． B．C． D．8．（2022下·河南信阳·七年级统考期中）学习平行线后，小龙同学想出了“过已知直线m外一点P画这条直线的平行线的新方法”，他是通过折一张半透明的正方形纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P的已知直线m的平行线．从图中可知，小龙画平行线的依据有（

）①两直线平行，同位角相等；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④9．（2022下·河南信阳·七年级统考期中）图中所示三种沿折叠纸带的方法，（1）如图①所示，展开后测得；（2）如图②，展开后测得且；（3）如图③展开后测得，其中能判定两条边线的是（

）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3）10．（2020上·山东济南·八年级校联考期末）如图，将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中能得出AD∥BC的条件个数是（

）

①∠2=∠4：②∠2+∠3=180°；③∠1=∠6：④∠4=∠5A．1 B．2 C．3 D．4填空题【题型1】旋转问题11．（2019下·七年级单元测试）如图,∠A=70°,O是AB上一点,直线CO与AB所夹的∠BOC=82°.当直线OC绕点O按逆时针方向旋转时，OC//AD．12．（2021下·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有．（写出所有正确结论的序号）13．（2019下·七年级课时练习）如图，直线a与直线b被直线c所截，b⊥c，垂足为A，∠1＝70°.若使直线b与直线a平行，则可将直线b绕着点A顺时针至少旋转度．14．（2016上·甘肃天水·七年级统考期末）如图，∠A=70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹的∠BOD=78°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转．【题型2】规律探索问题15．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）已知平面内2025条不同的直线、、，……，满足以下规律：，，，，，……，按此规律，则与，与的位置关系分别是，．【题型3】拓展探究问题16．（2018下·七年级课时练习）（1）如图：①所示，两条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对；（2）如图②所示，三条水平的直线被一条倾斜的直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对；（3）根据以上探究的结果，（为大于的整数）条水平直线被一条倾斜的直线所截，同位角有对，内错角有对，同旁内角有对（用含的式子表示）．【题型4】折叠问题17．（2020下·山东聊城·七年级统考期中）如图所示的四种沿AB折叠纸带的方法：①如图①，展开后测得∠1＝∠2；②如图②，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4；③如图③，测得∠1＝∠2；④如图④，展开后测得∠1＋∠2＝180°．其中能判断纸带两条边a，b互相平行的是．（填序号）解答题【题型1】旋转问题18．（2020下·河北邢台·七年级校考期末）如图，已知∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD＝82°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转多少度？

19．（2018下·七年级单元测试）如图，桌面上的木条AB，OC固定，木条DE在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与AB平行，则n的大小是多少？【题型2】规律探索问题20．（2019下·七年级单元测试）平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图①，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角相等，即∠1＝∠2．如图②所示，AB，CD为两面平面镜，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，请你计算：图②中，当两平面镜AB，CD的夹角∠ABC是多少度时，可以使入射光线m与反射光线n平行但方向相反．【题型3】拓展探究问题21．（2019下·山东青岛·七年级校联考期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中（1）若，求的度数；（2）试猜想与的数量关系，请说明理由：（3）若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，试探究当等于多少度时，，并简要说明理由．【题型4】折叠重合问题22．（2019下·广东韶关·七年级统考期末）将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，，.（1）猜想与的数量关系，并说明理由；（2）若，求的度数；（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.23．（2021·浙江·九年级专题练习）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变）．（1）当∠BAD＝°，CDAB．（2）当∠BAD＝°，则三角板ACD有一条边与直角边OB平行．（写出所有可能情况）参考答案：1．A【分析】观察图中是同位角，根据“同位角相等两直线平行”，故变成时即可使，因此需要旋转．解：若使，则需满足（同位角相等，两直线平行）即直线a绕点A逆时针旋转后，若，至少旋转的度数为：故选：A．【点拨】本题考查了平行线的判定，解题的关键是分析得出∠1与∠2是同位角的关系．2．D【分析】根据同旁内角互补两直线平行，求出∠2的度数即可．解：要使得，则需满足∠1+∠2=180°，∵∠1=80°，∴∠2=100°，故选：D．【点拨】此题考查了平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行．3．C【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．解：如图（2），当∠ACB'=42°时，∵，∴∠ACB'=∠A．∴CB'∥AB．如图（2），当∠ACB'=138°时，∵∠A=42°，∴∴CB'∥AB．综上可得，当或时，CB'∥AB．故选：C【点拨】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．4．B【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，，进而算出答案．解：∵当∠AOB=65°时，∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，故选：B【点拨】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．5．A【分析】根据垂直同一条直线的两条直线互相平行，平行线垂直于同一条直线，可得答案．解：∵，，∴，∵，∴．由此类推：，，每4条出现重复：与前面的垂直，后面的平行．∴；故选：A．【点拨】本题考查了平行线，发现规律：每4条出现重复，即与前面的垂直，后面的平行是解题关键．6．B【分析】这种画法就是画同位角∠DMB和∠DEP相等，从而判断PQ∥AB，从而根据平行线的判定定理对各小题进行判断．解：在画平行线的过程中，三角尺由初始位置靠着直尺平移到终止位置，实际上就是先画∠BMD=45°，再过点P画∠BMD=45°，所以①正确；由初始位置的三角尺和终止位置的三角尺各边所在直线构成一个“三线八角图”，其中CD为截线，所以②错误；初始位置的三角尺和终止位置的三角尺在“三线八角图”中构成一组同位角，所以③正确；在画图过程中，直尺可以由直线CD代替，所以④正确；⑤在“三线八角图”中，因为AB和PQ是一组平行线，CD为截线，所以，可以下结论“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”，所以⑤错误．故选：B．【点拨】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．7．D【分析】根据翻折的性质和平行线的判定逐一进行判断即可．解：A.，；B．由翻折可知：，，，，故B选项不符合题意；C．由翻折可知：，，，，，故C选项不符合题意；，，，不平行，故D选项符合题意；故选：D．【点拨】本题考查了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．8．C【分析】根据折叠可直接得到折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；然后根据平行线的判定条件由③∠3=∠1可得AB∥CD，由④∠4=∠2，可得AB∥CD．解：第一次折叠后，得到的折痕AB与直线m之间的位置关系是垂直，将正方形纸展开，再进行第二次折叠（如图（4）所示），得到的折痕CD与第一次折痕之间的位置关系是垂直；∵AB⊥m，CD⊥m，∴∠1=∠2=∠3=∠4=90°，∵∠3=∠1，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故③正确；∵∠4=∠2，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故④正确；综上分析可知，正确的是①②，故C正确．故选：C．【点拨】此题主要考查了平行线的判定，以及翻折变换，关键是掌握平行线的判定定理．9．A【分析】找出对应的内错角，利用内错角相等，两直线平行就可以判断出结果．解：（1）∵和是一组内错角并且，∴，故此项正确，符合题意；（2）∵和是一组内错角，和是一组内错角，同时且，∴，故此项正确，符合题意；（3）∵，∴可得到等腰三角形，不能确定，故此项错误，此项不符合题意．故选：A．【点拨】本题主要考查了平行线的判定定理“内错角相等，两直线平行的”，正确的识别内错角是解决本题的关键．10．D【分析】分别利用同旁内角互补两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．解：①∵∠2=∠4，∴AD∥BC（同位角相等两直线平行），符合题意；②∵∠2+∠3=180°，∠5+∠3=180°，∴∠5=∠2，∴GF∥HE，因为GF和HE是由DF和CE折叠得到的，∴FD∥EC，即AD∥EC，符合题意；③∠1=∠6，由折叠性质知∠1=∠FEC，∴∠6=∠FEC，∴AD∥BC，符合题意：④由折叠的性质知,∠GFE=∠DFE，∴∠DFE=∠5+∠6，∵∠6+∠DFE=180°，∴∠5+2∠6=180°，∵∠4=∠5，∴∠4+2∠6=180°，又∵∠4+2∠1=180°，∴∠6=∠1=∠FEC，∴AD∥BC，符合题意.故答案为：D.【点拨】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．11．12°/12度【分析】根据平行线的判定可知当∠BOC=∠A=70°时，OC∥AD，则直线OC绕点O按逆时针方向旋转应旋转12°.解：∵∠BOC与∠A为同位角，∴当∠BOC＇=∠A=70°时，OC∥AD，∵∠BOC=82°，则直线OC绕点O按逆时针方向旋转82°70°=12°.故答案为12°.【点拨】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行.12．②③④【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．解：①如图，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，∴∠1=∠3≠45°，故①不正确；②∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2=45°，∵∠1=∠3，∴∠3=45°，又∵∠C=∠B=45°，∴∠3=∠B，∴BC∥AE，故②正确；③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，则∠4=∠ADE∠ACB=60°45°=15°，故③正确；④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠3=60°，又∠E=30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，∵∠B=45°，∴∠4=45°，∴∠C=∠4，故④正确，故答案为：②③④．【点拨】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．13．20【分析】先根据b⊥c得出∠2的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论．解：如图：∵b⊥c，∴∠2=90°，∵∠1=70°，a∥b，∴直线b绕着点A顺时针旋转的度数=90°70°=20°．故答案为20．【点拨】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．14．8°【分析】根据OD∥AC，两直线平行，同位角相等，求得∠BOD'=∠A，即可得到∠DOD'的度数，即旋转角．解：∵OD∥AC，∴∠BOD'=∠A=70°，∴∠DOD'=78°﹣70°=8°．故答案是：8°．考点：平行线的判定．15．【分析】根据题意得到前面直线序号为偶数两直线垂直，奇数两直线平行，即可得到结果；判断与，，，，，的关系，即可得到规律：，，，，四个一循环，则刚好开始进入新的循环，即可求解解：根据题意得：直线与直线的位置关系是垂直．∵，，，，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴可得规律为：，，，，，，……所以可得到规律：，，，，四个一循环，根据规律∴∵∴．故答案为：，．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，注意找到规律：⊥，⊥，，，四个一循环是解此题的关键．16．4221266【分析】根据同位角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，内错角是两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据同旁内角是两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，可得答案．解：（1）如图1，两条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有4对，内错角有2对，同旁内角有2对．故答案为：4，2，2；（2）如图2，三条水平的直线被一条竖直的直线所截，同位角有12对，内错角有6对，同旁内角有6对．故答案为：12，6，6；（3）列表如下：条数

角同位角（对数）内错角（对数）同旁内角（对数）2422312664241212．．．．．．．．．．．．n2n（n1）n（n1）n（n1）根据以上探究的结果，n（n为大于1的整数）条水平直线被一条竖直直线所截，同位角有2n（n1）对，内错角有n（n1）对，同旁内角有n（n1）对，故答案为：2n（n1），n（n1），n（n1）．【点拨】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．17．①②④【分析】对于①，∠1与∠2是一组内错角，根据“内错角相等，两直线平行”判断即可；对于②，根据已知条件可知∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，根据“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”判断即可；对于③，∠1＝∠2，其既不是同位角，也不是内错角，结合两直线平行的判定定理即可判断；对于④，∠1与∠2是一组同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”判断即可．解：对于①，因为∠1＝∠2，且∠1与∠2是一组内错角，所以a∥b；对于②，因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，故a∥b；对于③，根据∠1＝∠2无法证得a∥b；对于④，因为∠1＋∠2＝180°，且∠1与∠2是一组同旁内角，故a∥b．故答案为：①②④【点拨】本题考查了平行线的判定定理，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．18．12°【分析】根据OD'∥AC，运用两直线平行，同位角相等，求得∠BOD'=∠A，即可得到∠DOD'的度数，即旋转角的度数．解：∵OD'∥AC，∴∠BOD'=∠A=70°，∴∠DOD'=82°70°=12°．故答案为：12°．【点拨】本题考查旋转角以及平行线的判定定理的运用，理解旋转角的定义是解题关键．19．30.【分析】要使DE∥AB，则∠DOC＝∠BCO＝70°，据此求解即可.解：要使DE∥AB，则∠DOC＝∠BCO＝70°.∵未转动时∠DOC＝100°，∴n°＝100°－70°＝30°，即n＝30.【点拨】本题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等两直线平行是解答本题的关键.20．∠ABC＝90°【分析】根据平行线的判定得到：若使入射光线m与反射光线n平行，则∠5＋∠6=180°，再由平角的定义及已知得到∠2+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数即可．解：由题意可知：∠1=∠2，∠3=∠4．若使入射光线m与反射光线n平行，则∠5＋∠6=180°．∵∠1＋∠2＋∠5=180°，∠3＋∠6＋∠4=180°，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，∴∠2＋∠3=90°，∴在三角形ABC中，∠ABC=90°．【点拨】本题考查了平行线的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解答此题的关键．21．（1）；（2），理由见分析；（3）当或时，，理由见分析【分析】（1）依据，可得的度数，即可得到的度数；（2）依据，即可得到的度数；（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当或时，．（1）解：∵，∴，∴；（2）解：，理由如下：；（3）解：