《数学分析I》课程教学大纲

《数学分析Ⅰ》教学大纲课程编号：122206A课程类型：通识教育必修课□通识教育选修课□学科基础课□专业核心课□专业提升课□专业拓展课总学时：96讲课学时：96实验（上机）学时：0学分：6考试类型：eq\o\ac(□,√)考试□考查适用对象：经济统计学、数据科学与大数据技术、统计学、数学与应用数学（金融方向）□是eq\o\ac(□,√)否适合作为其他专业学生的个性化选修课先修课程：无一、教学目标《数学分析》是大学数学、统计学、数据科学与大数据技术专业最重要的一门基础课程，是几乎所有后继课程的必备基础，对培养学生的数学素养至关重要。通过本课程的教学，引导学生领会极限的思想和方法，掌握数学分析的基本理论和论证方法，培养学生严瑾的逻辑思维能力和推理论证能力、演算技能和应用能力等数学素质，为学习后继课程打下扎实的基础。《数学分析I》是其第一部分。目标1：通过本课程的学习，使学生掌握《数学分析I》的基本理论和方法。目标2：培养学生严谨的逻辑思维和推理论证能力。目标3：提高学生运用数学工具来观察问题、思考问题、分析问题和解决问题的能力，为进一步学习现代数学科学和应用科学打下扎实的数学基础。目标4：培育有坚定理想信念、深厚爱国主义情怀、高尚道德情操，具有扎实基础学识，坚韧奋斗进取品格的社会主义新青年。二、教学内容及其与毕业要求的对应关系（一）教学内容及要求《数学分析I》主要教学内容包括实数集与函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数与微分、微分中值定理及其应用、实数的完备性、不定积分、定积分及其应用、反常积分等。在教学过程中要细讲极限理论，为本课程学习打下扎实的理论基础；精讲极限、导数、微分、不定积分和定积分等基本概念、基本性质及相关理论，使学生建立基本的知识框架；对于难点，如极限理论、微分中值定理和实数完备理论，需要讲透理论，并且结合实例加深理解。（二）教学方法和教学手段在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。（三）实践教学环节本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。（四）学习要求学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。（五）考核方式本课程采用闭卷考试的方式进行考核。考核成绩包括平时成绩与期末考试成绩。平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现及期中考试）占40%，期末考试成绩占60%。三、各教学环节学时分配以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：教学课时分配（单位：课时）序号章节内容讲课实验其它合计1第一章实数集与函数第一节实数第二节数集、确界原理第三节函数概念第四节具有某些特性的函数6062第二章数列极限第一节数列极限概念第二节收敛数列的性质第三节数列极限存在的条件993第三章函数极限第一节函数极限概念第二节函数极限的性质第三节函数极限存在的条件第四节两个重要的极限第五节无穷小量与无穷大量12124第四章函数的连续性第一节连续性概念第二节连续函数的性质第三节初等函数的连续性665第五章导数与微分第一节导数的概念第二节求导法则第三节参变量函数的导数第四节高阶导数第五节微分10106第六章微分中值定理及其应用第一节拉格朗日定理和函数的单调性第二节柯西中值定理和不定式极限第三节泰勒公式第四节函数的极值与最值第五节函数的凸性与拐点第六节函数图像的讨论14147第七章实数的完备性第一节基本定理第二节闭区间上连续函数性质的证明448第八章不定积分第一节不定积分概念与基本积分公式第二节换元积分法与分部积分法第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分第八章习题课10109第九章定积分第一节定积分概念第二节可积条件第三节定积分的性质第四节微积分学基本定理、牛顿-莱布尼茨公式第五节定积分计算121210第十章定积分的应用第一节平面图形的面积第二节由平行截面面积求体积第三节平面曲线的弧长与曲率第四节旋转曲面的面积第五节定积分在物理中的某些应用第六节定积分的近似计算6611第十一章反常积分第一节反常积分概念第二节无穷积分的性质与收敛判别第三节瑕积分的性质与收敛判别5512总复习22合计9696四、教学内容第一章实数集与函数第一节实数1、实数的概念2、实数的性质3、绝对值与不等式第二节数集确界理论1、区间与邻域2、有界集与无界集3、上确界与下确界4、确界原理第三节函数概念1、函数的定义2、函数的表示法3、分段函数4、函数的四则运算5、复合函数6、反函数7、初等函数 第四节具有某些特性的函数1、有界函数2、单调函数3、奇函数与偶函数4、周期函数教学重点、难点：确界概念、确界原理和函数概念课程的考核要求：了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式；弄清区间和邻域的概念,理解确界概念、确界原理，会利用定义证明一些简单数集的确界；掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。课程思政切入点：（1）数学分析的发展历程与前沿；（2）理性思考的重要性。复习思考题：如何证明函数在某集合上无界？如何用定义验证某数集的上确界和下确界？并举例说明。常见的非初等函数有哪些？第二章数列极限第一节数列极限的概念1、数列的定义2、数列极限的概念3、无穷小数列第二节收敛数列的性质1、唯一性2、有界性3、保号性4、单调性5、四则运算法则6、数列收敛与子列收敛的关系第三节数列极限存在的条件1、单调有界准则2、迫敛性法则3、柯西收敛准则教学重点、难点：数列极限概念与性质，单调有界定理、柯西收敛准则课程的考核要求：逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用e-N语言处理极限问题；掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能灵活运用；理解数列极限的柯西收敛准则,理解子列的概念及其与数列极限的关系；理解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系；掌握数列极限的求解方法。课程思政切入点：整体与个体的关系。复习思考题：在数列极限的定义中，和的作用是什么？二者有什么关系？用该定义验证数列极限的方法是什么？若两个数列的收敛性不确定，讨论二者的和、差、积、商的收敛性。用柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件，并举例说明。第三章函数极限第一节函数极限概念1、函数极限的概念2、单侧极限的概念第二节函数极限的性质1、唯一性2、局部有界性3、局部保号性4、不等式性5、迫敛性第三节函数极限存在的条件1、归结原则（Heine定理）2、柯西准则第四节两个重要的极限第五节无穷小量与无穷大量1、无穷小量2、无穷小量阶的比较3、无穷大量教学重点、难点：函数极限概念及其性质，两个重要极限，等价无穷小量，归结原则课程的考核要求：理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用e-d,e-X语言处理函数极限问题；理解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极限和等价无穷小量来处理极限问题。课程思政切入点：数学知识的发展。复习思考题：在函数极限的定义中，和的作用是什么？二者有什么关系？用该定义验证函数极限的方法是什么？根据函数极限的柯西收敛准则，叙述函数极限不存在的充要条件，并举例说明。讨论无穷大量与无界变量的关系。第四章函数的连续性第一节连续性概念1、一点连续的定义2、区间连续的定义3、单侧连续的定义4、间断点及其分类；第二节连续函数的性质1、局部性质及运算性质2、闭区间上连续函数的性质3、反函数的连续性4、一致连续性第三节初等函数的连续性教学重点、难点：连续性的定义，间断点的分类，闭区间上连续函数的性质，一致连续性课程的考核要求：理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。课程思政切入点：不间断的中国文明复习思考题：在定义区间上每一点处均不连续的函数存在吗？连续与一致连续的区别与关系是什么？第五章导数和微分第一节导数的概念1、导数的定义2、单侧导数3、导函数4、导数的几何意义；第二节求导法则1、导数的四则运算2、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则）3、导数公式第三节参变量函数的导数第四节高阶导数第五节微分1、微分的定义2、微分的运算法则3、高阶微分4、微分的应用教学重点、难点：导数定义，复合函数的导数，高阶导数，微分的定义课程的考核要求：理解和掌握导数与微分概念，了解它们的几何意义；能熟练地运用导数的运算性质和求导法则求函数的导数；理解单侧导数、可导性与连续性的关系，高阶导数的求法；了解导数的几何应用，微分在近似计算中的应用。课程思政切入点：中国丝绸尽享丝滑复习思考题：导数的实质是什么？如何用定义判断分段函数在分段点的可导性？微分的实质是什么？微分与导数的关系是什么？一阶微分形式的不变性是什么？高阶微分为什么不具有形式不变性？并举例说明。第六章微分中值定理及其应用第一节拉格朗日中值定理和函数的单调性1、罗尔定理2、拉格朗日中值定理3、拉格朗日中值定理第二节柯西中值定理和不定式极限1、柯西中值定理2、不定式极限第三节泰勒公式第四节函数的极值与最值1、函数的极值2、函数的最值第五节函数的凸性与拐点第六节函数图像的讨论教学重点、难点：中值定理，洛必达法则，函数极值与凸性，泰勒公式课程的考核要求：掌握中值定理的内容、证明及其应用；了解泰勒公式及在近似计算中的应用，能够把某些函数按泰勒公式展开；能熟练地运用洛必达法则求不定式的极限；了解和掌握函数的某些特性(单调性、极值与最值、凹凸性、拐点)及其判断方法，能利用函数的特性解决相关的实际问题。课程思政切入点：一桥飞架南北，天堑变通途复习思考题：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理四个中值定理的条件和结论是什么？如何证明？主要应用是什么？七种未定式极限用洛必达法则来求解的方法一般有哪些？如何应用泰勒公式求极限和近似计算？第七章实数的完备性第一节关于实数完备性的基本定理第二节闭区间上连续函数整体性质的证明教学重点、难点：实数完备性的六个基本定理及应用课程的考核要求：了解实数连续性的几个定理和闭区间上连续函数的性质的证明课程思政切入点：超越自己，成为更好的自己复习思考题：实数完备性的六个定理的内容是什么？如何证明其相互等价性？如何应用实数完备性的基本定理证明闭区间上连续函数的性质？第八章不定积分第一节不定积分概念与基本积分公式第二节换元积分法与分部积分法第三节有理函数和可化为有理函数的不定积分教学重点、难点：原函数与不定积分概念，换元积分法与分部积分法，有理函数积分法课程的考核要求：理解原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部积分法、有理式积分法、简单无理式和三角有理式积分法。课程思政切入点：科学的可重复、可验证、可回溯复习思考题：不定积分的实质是什么？换元积分法和分部积分法的基本类型有哪些？有理函数积分的主要步骤是什么？第九章定积分第一节定积分概念1、概念的引入2、黎曼积分定义3、定积分的几何意义第二节可积条件1、可积的必要条件和充要条件2、达布上和与达布下和3、可积函数类第三节定积分的性质1、定积分的基本性质2、积分中值定理第四节微积分学基本定理1、变限积分2、原函数存在定理（微积分学基本定理）3、牛顿-莱布尼兹公式4、积分第二中值定理第五节定积分的计算1、换元积分法2、分部积分法教学重点、难点：定积分的定义，变限积分，牛顿—莱布尼茨公式，微积分学基本定理，定积分的计算课程的考核要求：理解定积分概念及函数可积的条件；熟悉一些可积分函数类，会一些较简单的可积性证明；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿-莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算一些定积分。课程思政切入点：泰山不辞土壤，故能成其高复习思考题：定积分的概念是什么？可积的条件是什么？常见的可积函数类有哪些？微积分基本定理是什么？变限积分的导数如何求？比较定积分和不定积分的换元积分法和分部积分法的异同。第十章定积分的应用第一节平面图形的面积第二节由平面截面面积求体积第三节平面曲线的弧长与曲率第四节旋转曲面的面积第五节定积分在物理中的某些应用第六节定积分的近似计算教学重点、难点：定积分的几何应用，微元法课程的考核要求：重点掌握定积分的几何应用；理解定积分在物理上的应用