专题918矩形（直通中考）（提升练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.18矩形（直通中考）（提升练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023·西藏·统考中考真题）如图，矩形中，和相交于点O，，，点E是边上一点，过点E作于点H，于点G，则的值是（

）

A．2.4 B．2.5 C．3 D．42．（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（

）

A． B． C． D．3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，．若，，则的长为（

）

A． B．3 C． D．4．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（

）

A． B． C． D．5．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）

A．24 B．22 C．20 D．186．（2022·青海·统考中考真题）如图，在中，，D是AB的中点，延长CB至点E，使，连接DE，F为DE中点，连接BF.若，，则BF的长为（

）A．5 B．4 C．6 D．87．（2022·浙江宁波·统考中考真题）如图，在中，D为斜边的中点，E为上一点，F为中点．若，，则的长为（

）A． B．3 C． D．48．（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（

）

A． B．3 C． D．9．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（

）A． B． C． D．10．（2019·河北·统考中考真题）对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为、宽为的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数.”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数．甲：如图2，思路是当为矩形对角线长时就可移转过去；结果取．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的值对B．乙的思路和他的值都对C．甲和丙的值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022·青海·统考中考真题）如图，矩形的对角线相交于点O，过点O的直线交，于点E，F，若，，则图中阴影部分的面积为．12．（2023·江苏·统考中考真题）如图，在中，，D是AC延长线上的一点，．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作．连接并取的中点P，连接，则的取值范围是．

13．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是．

14．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，在矩形中，点E在边上，点F是AE的中点，，则的长为．

15．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为．

16．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为．17．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是．

18．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：．20．（8分）（2023·四川·统考中考真题）如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边上的高剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．

（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．21．（10分）（2023·山东烟台·统考中考真题）【问题背景】如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．

【问题提出】在矩形中，，求线段的长．【问题解决】经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长；方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长．请你任选其中一种方案求线段的长．22．（10分）（2022·北京·统考中考真题）在中，，D为内一点，连接，，延长到点，使得（1）如图1，延长到点，使得，连接，，若，求证：；（2）连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图2，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．23．（10分）（2022·海南·统考中考真题）如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E．（1）当点P是的中点时，求证：；（2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F．①证明，并求出在（1）条件下的值；②连接，求周长的最小值；③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由．24．（12分）（2023·辽宁大连·统考中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点落在上时，．”小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰中，由翻折得到．（1）如图1，当点落在上时，求证：；（2）如图2，若点为中点，，求的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长．参考答案：1．A【分析】连接，利用矩形的性质可得，，，即，再利用面积可得，，结合，可得，问题随之得解．解：连接，如图，

∵四边形是矩形，，，∴，，，，∴，，即，∵，，∴，，∵，∴．∴，∴，故选：A．【点拨】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理以及三角形的面积等知识，灵活利用面积得出，是解答本题的关键．2．C【分析】根据折叠的性质，得出，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可．解：根据折叠的性质可知：，，，，∴∵四边形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∴∴，在中，，∴，∴，故选：．【点拨】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键．3．A【分析】依据题意，连接，记与交于点，先证，从而得，再由线段垂直平分从而，又在中可得的值，从而再在中可求得．解：由题意，连接，记与交于点．

线段垂直平分，，．四边形是矩形，．．又，．．在中，．在中可得，．故选：A．【点拨】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质，解题时要熟练掌握并理解是关键．4．D【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．解：连接、

∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．∴，则，依题意，，∴，则，∴∴，∴，∵，∴故选：D．【点拨】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键．5．B【分析】通过证明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四边形ACGH的周长即为AB+AC+GH，进而可确定当MH⊥AB时，四边形ACGH的周长有最小值，通过证明四边形ACGH为矩形可得HG的长，进而可求解．解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，确定GH的值是解题的关键．6．A【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．解：在中，，，，．又为中线，．为中点，即点是的中点，是的中位线，则．故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，利用直角三角形的中线性质求出线段的长度是解题的关键．7．D【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE＝AD，可以得到AD的长，然后根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长．解：∵D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，∴BD＝AC＝AD＝4，故选：D．【点拨】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出AD的长．8．C【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得，，通过证明四边形是平行四边形，可得，则，作点C关于直线的对称点M，则，点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为．解：四边形是矩形，，，点M，N分别是的中点，，，，，，，，又，四边形是平行四边形，，，如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，

则，当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为，在中，，，，的最小值，故选C．【点拨】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想．9．A【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，∴BC=EC，在△BFC与△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=ADDE=，故选：A．【点拨】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题．10．B【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出矩形的对角线长，即可判断甲和乙，丙中图示情况不是最长．解：甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n=≈14；乙的思路与计算都正确，n=≈14；丙的思路与计算都错误，图示情况不是最长，n=（12+6）×=≈13．故选B．【点拨】本题考查了矩形的性质与旋转的性质，熟练运用矩形的性质是解题的关键．11．6【分析】结合矩形的性质证明，可得与的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积进行求解即可．解：∵四边形是矩形，，∴，，，∴，又∵，在和中，，∴，∴，∴，∴，故答案为：6．【点拨】本题考查矩形的性质、全等三家形的判定与性质，根据证明三角形全等，将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半是解题的关键．12．【分析】过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，分析可知为的最大值，为的最小值，据此即可求解．解：过点B作交的延长线于点，连接，过点P作的平行线交于点，交于点，连接，过点作，如图所示：

由题意得：点在线段上运动（不与点重合），点在线段上运动（不与点重合）故：为的最大值，为的最小值∵∴∵∴∵且∴∵P为的中点∴∵P为的中点∴为的中点∴∵∴故∵点M与点B、C不重合∴的取值范围是故答案为：【点拨】本题综合考查了勾股定理、动点轨迹问题．根据题意确定动点轨迹是解题关键．13．【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解．解：∵四边形是矩形，∴，∵折叠，∴，在中，∴，∴设，则，∵折叠，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．14．【分析】利用矩形的性质和勾股定理求出，进而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线的性质即可求解．解：在矩形中，，∴，，，∴，∴，∴，∵点F是AE的中点，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题15．【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，等面积法证明，进而证明，，根据全等三角形的性质得出，，根据已知条件求得，进而勾股定理求得，进而即可求解．解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，

∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴设在中，∴∴，∴∴解得：∴在中，，在中，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．16．【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可．解：∵矩形中，，，∴，，又，∴，∴，∵，，∴，，∴，在和中，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．/【分析】如图所示，取的中点D，连接，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质得到，再由可得当三点共线时，有最大值，最大值为．解：如图所示，取的中点D，连接，∵是边长为2的等边三角形，∴，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴当三点共线时，有最大值，最大值为，故答案为：．

【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当三点共线时，有最大值是解题的关键．18．【分析】作辅助线，利用垂直平分线的性质得出的值，OB＝OD，由矩形的性质、勾股定理得出，的值，进而得出，的值，根据全等三角形的判定（角边角）得出△MDO≌△BNO，最后利用全等三角形的性质得出结论．解：如图，连接BM．由作图可知MN垂直平分线段BD，∴BM＝DM＝5．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD∥AB．∴BC＝＝＝4．∴BD＝＝＝．∴OB＝OD＝．∵∠MOD＝90°，∴OM＝＝＝．∵CD∥AB，∴∠MDO＝∠NBO．在△MDO和△NBO中，∴△MDO≌△BNO（ASA）．∴OM＝ON＝．∴MN＝．故答案为：．【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质，作图—基本作图，勾股定理，全等三角形的判定与性质等的理解与运用能力．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等的两三角形全等；两全等三角形的对应边相等，对应角相等．在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方．掌握线段的垂直平分线的性质是解本题的关键．19．证明见分析【分析】根据定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证．解：证明：四边形是矩形，，，，，，在和中，，，．【点拨】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键．20．（1）见分析；（2）4或，或2，【分析】（1）根据题意画出拼接图形即可；（2）利用等边三角形的性质求得，分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定理求解即可．（1）解：如图①或②或③，

，（2）解：∵等边边，∴，∴，如图①所示：可得四边形是矩形，则其对角线长为；如图②所示：，连接，过点C作于点E，则可得四边形是矩形，∴，，则；如图③所示：，连接，过点A作交延长线于点E，可得四边形是矩形，由题意可得：，，故．【点拨】本题考查图形的剪拼，涉及等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和矩形性质，作辅助线构造直角三角形求解是解答的关键．21．线段的长为．【分析】方案一：连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可；方案二：将绕点旋转至处，证明，推出，设，同方案一即可求解．解：方案一：连接，如图2．

∵四边形是矩形，∴，，由作图知，由翻折的不变性，知，，，∴，，又，∴，∴，设，则，，在中，，即，解得，∴线段的长为；方案二：将绕点旋转至处，如图3．

∵四边形是矩形，∴，，由作图知，由旋转的不变性，知，，，则，∴共线，由翻折的不变性，知，∴，∴，设，则，，在中，，即，解得，∴线段的长为．【点拨】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．22．（1）见分析；（2）；证明见分析【分析】（1）先利用已知条件证明，得出，推出，再由即可证明；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证，推出，通过等量代换得到，利用平行线的性质得出，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到．解：（1）证明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：补全后的图形如图所示，，证明如下：延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，垂