专题06函数的单调性与奇偶性（5个考点梳理10题型解读提升训练）（原卷版）

专题06函数的单调性与奇偶性【清单01】单调性的定义与证明1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为，区间，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数单调区间I是y＝f(x)的增区间I是y＝f(x)的减区间图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的提醒：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．2．证明函数单调性的定义法：【清单02】函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的，都有，那么称为y＝f(x)的最大值，记为；设函数y＝f(x)的定义域为A，存在x0∈A，使得对于任意的，都有，那么称为y＝f(x)的最小值，记为【清单03】函数的平均变化率1.函数单调性与平均变化率2.利用平均变化率证明单调性（1）∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数．（2）步骤：设元算差求比定号结论【清单04】函数的奇偶性.1.函数的奇偶性及函数图像的对称性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个，都有并且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数并且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y轴对称关于原点对称2.提醒：(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．(2)若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：①f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔.②f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔.【清单05】函数奇偶性的应用1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．即“奇同偶反”.2.提醒：函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)若y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；若y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．【考点题型一】判断、证明函数的单调性【例1】（2324高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数.(1)求的解析式；(2)判断在上的单调性，并根据定义证明.【变式11】（2324高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B． C． D．【变式12】（2024高一·全国·专题练习）下列函数中，满足“对于任意，都有”的是（

）A． B．C． D．【变式13】（多选）（2324高一上·四川绵阳·期中）已知函数，则（

）A．B．若，则或C．函数在上单调递减D．函数在上的值域为【变式14】（2324高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数.(1)证明:函数在区间上单调递减;(2)当时，求函数的值域.【考点题型二】求函数的单调区间【例2】（2324高一下·全国·课堂例题）已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)求在上的值域【变式21】（2324高一下·全国·课堂例题）函数的单调递增区间为【变式22】（2324高一·上海·课堂例题）试讨论函数的单调性.【变式23】（2425高一上·全国·课堂例题）已知函数，,根据图象写出它的单调区间．【变式24】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知定义域为R的函数满足：①对任意；②当时，.(1)求在实数集R上的解析式；(2)在坐标系中画出函数的图象；(3)写出的单调递增区间.【考点题型三】根据函数的单调性求参数【例3】（2024高三·全国·专题练习）若函数在集合内为单调递增函数，则实数t的取值范围为.【变式31】（2324高一下·全国·课后作业）若函数在上是减函数，则（

）.A． B． C． D．【变式32】（2324高一上·江苏常州·期中）已知函数，若对于任意，都有，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式33】（2223高一下·吉林长春·开学考试）已知函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式34】（2223高一上·河北保定·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是．【考点题型四】应用函数单调性解不等式、比较大小【例4】（2324高一下·山东淄博·期中）已知函数，则不等式的解集为．【变式41】（2324高一上·山东德州·阶段练习）已知为上的增函数，则满足的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式42】（2324高一上·重庆南岸·期中）定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【变式43】（2223高一上·北京·期中）已知函数，若，比较：（填“=、>、<、、”）【变式44】（2324高一上·四川遂宁·期末）已知函数在上有定义，且．若对任意给定的实数，均有恒成立，则不等式的解集是．【考点题型五】应用函数单调性求最值【例5】（2324高一上·河南安阳·期末）已知函数，且.(1)求.(2)用定义证明函数在上是增函数.(3)求函数在区间上的最大值和最小值.【变式51】（2324高一上·浙江宁波·开学考试）函数的最大值为.【变式52】（2324高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数．(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求该函数在区间上的最大值和最小值.【变式53】（2324高一上·山东济宁·阶段练习）已知函数.(1)判断在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求在区间上的最大值和最小值.【变式54】（1011高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数，(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数在区间上的最大值与最小值.【考点题型六】函数奇偶性的判断【例6】（2024高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)，(5)(6)；(7)(8)【变式61】（2324高一上·天津·期中）下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（

）A． B． C． D．【变式62】（2024·西藏·模拟预测）若函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【变式63】（2324高一下·辽宁·开学考试）设函数，则有（

）A．是奇函数， B．是奇函数，C．是偶函数， D．是偶函数，【变式64】（多选）（2023秋·高一课时练习）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（）A． B．C． D．【考点题型七】由函数的奇偶性求函数值、解析式【例7】（2324高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：．(1)求的解析式；(2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式．【变式71】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数，则【变式72】（2324高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数的定义域为，且是奇函数，为偶函数，则.【变式73】（2425高一上·湖南邵阳·开学考试）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.结合以上推广，现有函数，则.【变式74】（2425高一上·全国·课堂例题）是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式．【考点题型八】抽象函数的奇偶性问题【例8】（2324高一上·广东珠海·期末）已知定义在上的函数满足，，且.(1)求的值；(2)判断的奇偶性，并证明.【变式81】（2324高三上·山东济宁·期中）已知函数的定义域为R，满足，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是奇函数【变式82】（多选）（2324高二下·山东威海·期末）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（

）A． B．为奇函数C．在R上单调递减 D．当时，【变式83】（2425高一上·上海·课后作业）已知是奇函数，定义域是，是偶函数，定义域是．设，则为函数．【变式84】（2024高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，.(1)求，；(2)判断的奇偶性，并证明；【考点题型九】由函数的奇偶性求参数【例9】（2011高一上·江苏淮安·学业考试）已知函数是实数集R上的奇函数.(1)求实数的值；(2)判断在上的单调性，并证明你的结论.【变式91】（2324高一上·安徽·期末）已知函数是奇函数，则（

）A． B．1 C． D．2【变式92】（2324高一下·贵州贵阳·阶段练习）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C． D．【变式93】（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（

）A． B． C．1 D．2【变式94】（2324高一上·天津·期中）若函数为奇函数,则【考点题型十】函数性质的综合应用【例10】（2324高一上·天津·期中）已知函数的定义域为，并且满足下列条件：①；②对任意，都有；③当时，.(1)证明：为奇函数.(2)解不等式.(3)若对任意的，恒成立，求实数m的取值范围.【变式101】（2324高一上·贵州·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【变式102】（1920高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数在上的单调递减的，且函