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文档简介
概率论与数理统计各周作业解
习题一
2设A&C是三个事件,用A,8,C的运算关系表示下列事件:
(1)A发生,B与C不发生;
(2)A,8,C都发生,而C不发生;
(3)A,8,C中至少有一个发生;
(4)A,B,C都发生;
(5)A,8,C都不发生;
(6)A,8,C中不多于一个发生;
(7)ABC中不多于两个发生;
(8)A,B,C中至少有两个发生.
解:(1)A发生,B与C不发生表为:ABC
04,8,C都发生,而C不发生表为:ABC
DA8,C中至少有1个发生表为:ABC
0A,8,C都发生表为:ABC
6A,8,C都不发生表为:~ABC
6A,B,。中不多于一个发生表为:ABCABCABCABC
或BCACAB
0A,8,C中不多于两个发生表为:A8c或ABC
$A,8,C中至少有两个发生表为:A8ACBC
3⑴设A8,C是三事件,且P(A)=P(B)=P(C)=-,P(AB)=P(BC)=O,
P(AC)=1,求A,8,C至少有一个发生的概率;
8
⑵已知p(A)=,P(B)=1,P(C)=1,P(AB)=,P(AC)=,
2351015
P(BC)=1P(ABC)=1,求48,AB,ABC,ABC,ABC,ABC,的概
20530
率;
1/45
⑶已知P(A)=L,⑴若A8互不相容,求(ii)若P(AB)=』,求
28
P(而),
解:⑴P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)
-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P[ABC)
因为ABCSAB,O<P(ABC)<P(A)=O,
所以P(ABC)=0,
所以A,8,C至少一个发生的概率为
111„1c5
P(ABC)=++-0o-0-+0=
44488
⑵P(AB)=P(A)+P(B)~P(AB)
11111
=+-=
231015
114
P(AB)=P(AB)=1-P(A8)=1--=—,
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)
-P(AB)-P(BC)-尸(4C)+P(ABC)
111111117
=4-4~———+—,
2351015203020
173
P(ABC)=P(ABC)=1一尸(ABC)=1-=,
2020
437
P(ABC)=P(AB-C)=P(AB)-P(ABC)=-=
152060
或P(ABC)=P(C-AB)=P(C)-P(C(AB))
=P(C)-P(ACBC)=P(C)-P(AC)-P(BC)-^-P(ABC)
1111_7
=————+-------1
515203060
_______417Z
P(ABC)=P(AB)+P(C)-P(ABC)="+一一一=一,
1556020
⑶尸(的)=P(A)-P(AB),
⑴若AB互不相容,贝P(AB)=1-0=^
22
2/45
(ii)若尸(AB)=1.,则P(AB)=J-1=L
8288
9.从5双不同的鞋子中任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的
概率是多少?
解:设A="至少有两只配成一双",则所求概率为:
C4.241Q
尸(4)=1—p(/i)=i-r5_±_=2±
C421
10
11.将3个球随机的放入四个杯子中,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3
的概率.
解:设4二“杯子中球的最大个数为k”,则所求概率分别为
k
A33
P(A)=-4-=,
1438
C2cle19
P(A)=-3-4-3-=,
24316
Ci1
P(A)=-4-=
34316
14.(1)已知尸(A)=o.3,尸(B)=0.4,P(/W)=0.5,求B).
⑵已知产(4)=:尸(目勺=1,尸(48)二」,求尸(4B)
432
解:(1)产(4)=1一尸(7)=1—0.3=0.7,
P(8)=1-P(8)=1-0.4=0.6
P(B(AB))=P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=07-0.5=0.2
尸(A8)=尸(A)+P(B)—尸(4B)=0.7+0.6—0.5=0.8
8月虹包=0”
P(BA
)P(AB)0.84
(2)已知尸(A)=L,P(B|/A)=1,P(/»(B)=1
432
3/45
P(AB)=P(A)P(8|A)=,xl=J_,
4312
~c、尸(AB)11_1
P(B)=----;—=+'»
P(A\B)1226
1111
尸(AB)=P(A)+P(B)~P(AB)=
(注:红色题目是08级的作业,下同)
E掷两颗骰子,已知两颗骰子的点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率
(分别用条件概率的定义计算和条件概率的含义计算).
解:记人二“有一颗为1点”,B="点数之和为7”,
(1)用条件概率的定义计算,所求概率为:
2
尸(而/佝=62J
P(B)03
62
(2)用条件概率的含义计算,所求概率为:
尸(雨=2=1
63
6据以往资料表明,某一3口之家,患某种传染病的概率有以下规律:
P{孩子得病}=0.6,P{母亲得病|孩子得病}=0.5,
P{父亲得病I母亲及孩子得病}=0.5,
求母亲及孩子得病但父亲不得病的概率.
解:记A="孩子得病”,B="母亲得病”,C="父亲得病”,则所求概率
为
P(ABC)=P(A)P(B\A)尸(dBC)
=P(A)P(B\A)[]-P(C\BC)]
=0.6x0.5x(1-0.4)=0.18.
23.将两信息分别编码为A和B后传送出去,接收站接收时,A被误收为B
的概率为0.02,B被误收为A的概率为0.01,信息A与信息B传送的频繁程度
4/45
之比为2:1,若接收站收到的信息是A,问原发信息也是A的概率是多少?
解:记人="收到信息A",B="发送信息A”,则
P(?A|B)=1-P(^|B)=1-0.02=0.98,
尸(8)=2,P(-B)=\
尸(平)=0.01,
33
依贝叶斯公式,所求概率为
P(B)尸(力8)「96
P(B\A)=
P(B)P(A\B)+P(B)P(A\B)197
24.有两箱同种类的零件,第一箱装50只,其中10只一等品,第二箱装30
只,其中18只一等品,今从两箱中任选一箱,然后从该箱中无放回地取零件两次,
每次取一件,求⑴第一次取到的零件是一等品的概率;⑵第一次取到的零件是
一等品的条件下,第二次取到的零件也是一等品的概率?
解:设A=”第k次取到一等品”,
k
8="从第k箱中取零件",A=1,2,
k
(1)依全概率公式,第一次取到的零件是
一等品的概率是
111
尸(一)=尸(8)尸(4忸)+尸(8)P(A\B)=.°+.—=0.4
1111212250230
(2)依全概率公式,
P(AA)=P(B)P(AA\B)+P(B)P(AA\B)
1211212122
110x9118x17276
=4-=
250x49230x291421
所求概率为
P(AA)
P(A\A)=—I一«0.48557
21P(A)
1
35三人独立的去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,
1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率。
解:用4,8,C分别表示各人能译出的事件,即尸(A)=1,P(B)=1,P(C)=1
534
5/45
则所求概率为
P(ABC)=1-P(^BC)=1-P(A)P(B)~P(C)
=1-[1-P(^)][1-P(B)][1-P(C)]
1113
=1-[1-][1-][1-]=.
5345
3设第一只盒子中装有3只蓝球,2只绿球2只白球;设第二只盒子中装
有2只蓝球,3只绿球4只白球,独立地分别在两只盒子中各取一球,
(1)求至少有一只蓝球的概率;
(2)求有一只蓝球一只白球的概率;
(3)已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率.
解:设A=“在第k盒取到一只蓝球”,
k
B=“在第k盒取到一只白球",k=1,2,
k
(1)至少有一只蓝球的概率为
32325
P(AA)=P(A)+P(A)-P(A)P(A)=+-x=
12121279799
(2)有一只蓝球一只白球的概率为
P(ABAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)
12211221
342216
=x+X=
799763
(3)至少有一只蓝球条件下,有一只蓝球一只白球的概率为
P(ABAB\AA)=~
i22112p(AA)35
12
补充1.已知4与B相互独",P(A)=0.6,P(8)=0.4,求P(A8)及
P(A-B)-
解P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=0.6+0.4—0.6x0.4=0.76
P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)
=0.6—0.6x0.4=0.36
习题二
6/45
4.进行重复独立试验,设每次成功的概率为p,失败的概率为g=1-p,
(0<p<1),
①将试验进行到出现一次成功为止,以X表示所需的试验次数,求X的分布
律;
②将试验进行到出现,.次成功为止,以丫表示所需的试验次数,求y的分布律;
③一篮球运动员的投篮命中率为45%,以x表示他首次投中时累计投篮的次
数,求x的分布律,并计算x取偶数的概率。
解:(1)x的分布律为
P{X=k)=qk-ipZ=1,2,.
(2)y的分布律为
P\Y=k}=Cr-^qk-rprr,1,.
(3)x的分布律为
P{X=/:}=0.55*-1x0.45A=1,2,.
X取偶数的概率为
,v0.55x0.4511
P{X=偶/ra±数k}=乙0.5521x0.45=八二
1-0.55231
Jt=1
6.一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻t每个设备被
使用的概率为0.1,问在同一时刻
0)恰有2个设备被使用的概率是多少?
0至少有3个设备被使用的概率是多少?
解设在同一时刻有X个设备被使用,则X〜8(5,0.1).
(0恰有2个设备被使用的概率是
P{X=2}=C2-(0.1)2.(0.9)3=0.0729
5
0至少有3个设备被使用的概率是
P{X>3}=ZC*(0.1)*-(0.9)5-*«0.00856
k=3
12.一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布,求⑴某一
7/45
分钟恰有8次呼唤的概率;(2)某一分钟呼唤次数大于3的概率.
解:某一分钟呼唤次数X〜尸(4),
(1)某一分钟恰有8次呼唤的概率为
48
P{X=8}=eY=0.0298
8!
0某一分钟呼唤次数大于3的概率为
34k
P{X>3}=1-P{X<3}=1-Z8-4=0.5665
k!
k=0
17(2)求第2(1)题中的随机变量的分布函数。
解:第2(1)题中随机变量x的分布律为
X345
p0.10.30.6
随机变量X的分布函数为
0,x<3,
°-13Mx<4,
尸(x)=〈
0.44<x<5,
1,x>5,
18.在区间[o,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标,设这个质
点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求x的
分布函数.
解:当x<0时,P{X4x}=0.
当x<a时,P[X<x}=kx,
1X
P{X<a}=ka=tk=,/.P{X<x}=
aa
当xza时,P{X<x}=1.
故X的分布函数为
8/45
0,x<0,
x
F(x)=<—,0Wxva,
Ia
x>a.
20.设随机变量x的分布函数为
[0,x<1,
F(x)=*Inx,1<x<e,
1x>e,
试求(1)p[X<2},P{0<x<3},P{2<X<\;⑵x的密度函数.
2
解:⑴P{X<2}=F(2)=ln2;
P{0<x<3)=F(3)-F(0)=1;
5555
P[2<X<]=F()-F(2)=In-In2=In
2224
(2)x的密度函数。
[1
/(X)=尸(x)=<x'1-V<6
〔0,其它,
21(1).设随机变量x的概率密度为
[2(1-l/x2),14x42,
/(内)=]
I0,其它,
求X的分布函数F(x)»
解:X的分布函数为
X<1,0,X<1,
1口2
尸(x)=Jf(t)dt=02(1-1/*)〃,1<x<2,=〈2x+-4,1<x<2,
x
2[11x>2,1a
I1x>2,
23.某种型号的器件的寿命X(以小时计)具有如下的概率密度
(1000
I-----,x>1000
/(x)=〈x2
0其他
9/45
现有一大批此种器件,任取5只,问其中至少有2件寿命大于1500小时的概率.
解:RX>1500}=卜f(x)dx=r1QQQ-dxJ
15001500X23
设任取5只,有y件寿命大于1500小时,则L8(5/),所求概率为
P{Y>2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}
333243
25.设K•在(°,5)内服从均匀分布,求x的方程4x2+4kx+K+2=0有实根的
概率.
解:K在(0,5)内服从均匀分布,其密度函数
血2,0<x<5
f(X)=
其他
4x2+4kx+K+2=0有实根,
/=(K4)2-4X4X(K+2)=16(K2-K-2)20
即K4-1或K22,
故4x2+4kx+K+2=0有实根的概率
P[K<-1或K22}=卜f(x)dx+卜f(x)dx=J50.2dx=0.6
另解:K在(0,5)内服从均匀分布,其分布函数
[0,x<0
F(x)=<0.2x,0<x<5
[1x>5
4x2+4kx+K+2=0有实根,
/=(K4)2-4X4X(K+2)=16(K2-K-2)Z0
即K4-1或K22,
故4x2+4kx+K+2=0有实根的概率
"{/<4-1或/<±2}=尸(-1)+[1-尸(2)]=0+[1-0.4]=0.6
33.设随机变量的分布律为
10/
X-2-1013
P1/51/61/51/1511/30
试求y=X2的分布律.
解:作草表如下
X-2-1013
y=x241019
p.1/51/61/51/1511/30
Y=X2的分布律为
-6149
P1/57/301/511/30
/
35.设X~N(O,1),⑴求y=ex的概率密度;(2)求y=2X2+l的概率密度
⑶求y=|x的概率密度
解X~N(O,1),X的概率密度
[-2
1-00
(1)y=ex严格单调增加,有反,函数〃(y)=Iny,hr(y)=1一
y
所以丁ex的概率密度为
[f[h(y)]h'(y)ly>n[1
'=i—e2,0,
,/(y)=〈o,向y>
yI0,y<
[0,y<0,
⑵y=2X2+i的分布函数
F(y)=P{Y<y}=P{2X?4-14),},
当时,F(y)=0J(y)=F'(y)=o,
yYy
当y>1时,
Fyf邛
1
f(y)M'(y)=2力
yyV22J2y-2
11/
]
J2y-2
所以y=2X2+l的密度函数为
y>i
,ywi
⑶y=|x|的分布函数FY(y)=P[Y<y}=pix|<y},
当好0时,FY(y)=0,fY(y)=F'Y(y)=0-,
当y>0时,F(y)=P{-y<X<y}=2<P(y)~1
Y
2y2
f(y)=尸3=2"(y)=2f(y)=-j=e~2
Yy」2乃
所以Y=|X|的密度函数为
2-'2c
—e2,y>0
f(),)=〈71
Y
o,y<o
37.设x的密度函数为
[2x
।----0<X<7T,
/(X)小2f
[0,其他
求丫=sinX的概率密度.
解7=sinX的分布函数F丫(y)=尸{YMy}=尸{sinXMy},
当―0时,F(y]=O,f(y)=F'(y)=O,
YYy
当y21时,F(y)=l,/(y)=FJy)=O,
当0<y<1时
F(y)=P{0<X<arcsiny}+P{7-arcsiny<X<n}
Y
farcsinyXfx2X,
-Jor+Jax
2
0乃2x-arcsiny乃
2
=(arcsin,v.+1_(—arcsiny户=arcsin丫
兀2万2n
■丫zjl-y2
所以y=sinX的密度函数为
o<”l,
其他,
12/
或解y=sinx的分布函数
F(y)=P{Y<y}=P{sinX<y}>
当y40时'F(y)=O,f(y)=F'(y)=0,
YYy
当y21时,F=(y)=『(y)=O,
Yyv
当0<y<1时
F(v)=1-P{sinX>j}=1-P{arcsiny<X<n-arcsiny}
Y
=1-[F(n-arcsiny)-F(arcsiny)]
XX
〃y)=F'(y)=-【F'("-arcsiny)-(--j---------F(arcsiny)-,]
1
।[f(Tt-arcsiny)+/(arcsiny)]
Ji72
112(K-arcsiny)^2arcsiny
712兀2
2
兀Jl-y2
所以y=sinX的密度函数为
i,2,
fY(y)=-yz
[0,其他,
补充2.设随机变量*服从标准正态分布,
\x,若IxLl,
II
[-X,若lx>1,
求y的概率分布.
解X〜N(OJ),X的密度函数为
f(x)=1----e2,(-00<x<+co)’
J2乃
Y的分布函数为尸(y)=P{y“},
当|y|>1时,
当「海)=P{X2-y}=l-0(-y)=0(y),
IJ<1F(y)=P{-1MXMy}+P{X>1}
Y
所以y的分布函数为.(y)=0(y),Y的密度函数为
Y
f(,)="())=f(y)=t----e2,(-00<j<+00)
YJ2〃
即y~N(0,i)。
习题三
13/
3.设随机变量(X,Y)的概率密度为
f(6-x-y),Q<x<2,2<y<4
小)=1。「其它,
⑴确定常数A;⑵求p{x<i,y<3};⑶求P{X<15};⑷;^P{x+r<4}-
解法一:
⑴1=f(x,y)dxdy=x-y)dy
—QO—0002
212
=kJ[6y-xy-,y2]卜公=女J(6-2x)dx
022°
}
=k[6x-x2]b=8k,k=,
08
⑵P(X<1,y<3}=f'dx\2f(x,y)dy
=1(6-x-y)dy=〔J'[6y-xy-1y2]3(Lc
o288022
1f1717x13
=—J(—-x)dx=—[——--x2]|1=—,
80282208
⑶P{X<1.5}=
,111.51
f'54J[6y-xy-
=Jdx(6-x-y)dyy2]卜山•
0288022
=1f15(6-2x)Jx=1[6x-x2]卜5=27,
8o8032
(4)p[x+r<4}=fff(x,y)dxdy
x+yM4
12
=J2公J4T(6-%-y)dy=\[6y-xy-1y2d1公
0288o22
1fO>•21y32
2
一J(6-4x+,~)dx=[6x-2x+-~]2=",
80286。3
解法二:
⑴1=f,zff(x,y)dxdyJdyk(6-x-y)dx
20
4
=kj(10-2}>)</)>
2
=k[Wy-y2][4=8Z:,•,k=—
28
14/
(2)P{X<1,y<3}=f3dy[f[x,y)dx
-f3</yf1^(6-x-y)dx=1f3[6x-1x2yx]卜力
2088220
1P(11111v3
-y)dy[
82282At8
⑶尸{Xv1.5}=J15dxfxf(x,y)dy
-8-CO
41.511.41.
=fdy\(6-x-y)dx=J[6x-x2-yx]p^dy
208822°
=5(63_3y)力=1[6y_3T=27
8282884232
(4)p[x+y<4}=fff(x,y)dxdy
x+y<4
=f'-(6-x-y)6fr=1J4[6X--x2-yx]卜r
zo88220
1f412
=J(16-6y+)=[16-3+y3].=,
——dy-yy2l4-
2
822'8,'63
解法三:
(1)当0<x<2,2<y<4时,
yKx
F(xty)dv[k(6-u-v)du=4[6〃J-M2-vw]\dv
0
2022
f112
=k]v[6x-x2-vx]dv=k[6xv-x2v-XV]卜
22222
11
=Z(6肛-⑶一肛2-10x+x2)
22
当x22,”4时,F(x,y)=1,
尸(2,4)=F(2-0,4-0)得1=8k,;•*=
8
当0cx<2,”4时,
F(x,y)=\xdu[^(6-u-v)dv=1J*[(6-M)V-":卜4〃
o288o22
71
=—J[6—2u]du=—(6x—x2)
808
当x>2,2<y<4时,
15/
F(x,y)=J'"」?1.(6-u-v)du=Lj[6u--M2-VM]|2</V
208822°
=1J'[10-2v]dv=[10v-v2]y(10^-y2-16)
82828
当x40或y42时,F(x,y)=0,
0,x<0或y«2
11
|——(12xy-x2y_xy2_20x+2x2),0<x<2,2<y<4
I161
F(x,y)=〈(6x-x2),0<x<2,y>4
I8
l(10y-y2-16),
x>2,2<y<4
8
I1,x>2,y>4
(2)P{X<1,y<3}=F(1,3)=2,
8
,、27
(3)P{x<1.5}=P{X<1.5,y<+00}=尸(15+8)=,
32
(4)P{X+y<4}=IJf(x,y)dxdy=\2dx\^~x1(6-x-y)dy
028
x+>•<4
=1f2[6v-xy--y^]\-'dx=lf2(6-4x+-)dx
8o228o2
1v3I2
=[6x-2x2+]2=,
8603
5.设随机变量(x,y)的具有分布函数
11-ee-y-ex>0,y>0,
尸(x,y)=〈甘:
Io,其它,
求边缘分布函数.
解:(x,y)的缘分布函数为:
-e-x,Q
F(x)=F(x,+oo)=〈X>
X[0,其它,
「1-er,y>0
F(y)=F(a,y)=〈-'
'I0,其它,
16/
6.将以枚硬币掷三次,以x表示前两次中出现”的次数,以y表示三次中出
现H的次数,求(x,y)的联合分布律及边缘分布律.
解:(X,Y)的联合分布律为:
P(X=i,y=力=00.53,z=0,1,2,j=i,Z+1,
2
(X,Y)的边缘分布律为
P{X=z}=C-0.52,/=0,1,2;
2
2{y=7)=c.53,7=0,1,2,3.
3
或解:(x,y)的联合分布律及边缘分布律
0123P.
1
01/81/8001/4
10
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