概率论与数理统计各周作业解答

概率论与数理统计各周作业解

习题一

2设A&C是三个事件，用A,8,C的运算关系表示下列事件：

(1)A发生，B与C不发生；

(2)A,8,C都发生，而C不发生；

(3)A,8,C中至少有一个发生；

(4)A,B,C都发生；

(5)A,8,C都不发生；

(6)A,8,C中不多于一个发生；

(7)ABC中不多于两个发生；

(8)A,B,C中至少有两个发生.

解：(1)A发生，B与C不发生表为：ABC

04,8,C都发生，而C不发生表为：ABC

DA8,C中至少有1个发生表为：ABC

0A,8,C都发生表为：ABC

6A,8,C都不发生表为：~ABC

6A,B,。中不多于一个发生表为：ABCABCABCABC

或BCACAB

0A,8,C中不多于两个发生表为：A8c或ABC

$A,8,C中至少有两个发生表为：A8ACBC

3⑴设A8,C是三事件，且P(A)=P(B)=P(C)=-,P(AB)=P(BC)=O,

P(AC)=1,求A,8,C至少有一个发生的概率；

8

⑵已知p(A)=,P(B)=1,P(C)=1,P(AB)=,P(AC)=,

2351015

P(BC)=1P(ABC)=1,求48,AB,ABC,ABC,ABC,ABC,的概

20530

率;

1/45

⑶已知P(A)=L,⑴若A8互不相容，求(ii)若P(AB)=』，求

28

P(而)，

解：⑴P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)

-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P[ABC)

因为ABCSAB,O<P(ABC)<P(A)=O,

所以P(ABC)=0,

所以A,8,C至少一个发生的概率为

111„1c5

P(ABC)=++-0o-0-+0=

44488

⑵P(AB)=P(A)+P(B)~P(AB)

11111

=+-=

231015

114

P(AB)=P(AB)=1-P(A8)=1--=—,

P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)

-P(AB)-P(BC)-尸(4C)+P(ABC)

111111117

=4-4~———+—,

2351015203020

173

P(ABC)=P(ABC)=1一尸(ABC)=1-=,

2020

437

P(ABC)=P(AB-C)=P(AB)-P(ABC)=-=

152060

或P(ABC)=P(C-AB)=P(C)-P(C(AB))

=P(C)-P(ACBC)=P(C)-P(AC)-P(BC)-^-P(ABC)

1111_7

=————+-------1

515203060

_______417Z

P(ABC)=P(AB)+P(C)-P(ABC)="+一一一=一，

1556020

⑶尸(的)=P(A)-P(AB),

⑴若AB互不相容，贝P(AB)=1-0=^

22

2/45

(ii)若尸(AB)=1.,则P(AB)=J-1=L

8288

9.从5双不同的鞋子中任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的

概率是多少?

解：设A="至少有两只配成一双"，则所求概率为:

C4.241Q

尸(4)=1—p(/i)=i-r5_±_=2±

C421

10

11.将3个球随机的放入四个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3

的概率.

解：设4二“杯子中球的最大个数为k”，则所求概率分别为

k

A33

P(A)=-4-=,

1438

C2cle19

P(A)=-3-4-3-=,

24316

Ci1

P(A)=-4-=

34316

14.(1)已知尸(A)=o.3,尸(B)=0.4,P(/W)=0.5,求B).

⑵已知产(4)=:尸(目勺=1,尸(48)二」，求尸(4B)

432

解：(1)产(4)=1一尸(7)=1—0.3=0.7,

P(8)=1-P(8)=1-0.4=0.6

P(B(AB))=P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=07-0.5=0.2

尸(A8)=尸(A)+P(B)—尸(4B)=0.7+0.6—0.5=0.8

8月虹包=0”

P(BA

)P(AB)0.84

(2)已知尸(A)=L,P(B|/A)=1,P(/»(B)=1

432

3/45

P(AB)=P(A)P(8|A)=，xl=J_,

4312

~c、尸(AB)11_1

P(B)=----；—=+'»

P(A\B)1226

1111

尸(AB)=P(A)+P(B)~P(AB)=

(注：红色题目是08级的作业，下同)

E掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率

(分别用条件概率的定义计算和条件概率的含义计算).

解:记人二“有一颗为1点”,B="点数之和为7”,

(1)用条件概率的定义计算,所求概率为：

2

尸(而/佝=62J

P(B)03

62

(2)用条件概率的含义计算,所求概率为：

尸(雨=2=1

63

6据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：

P｛孩子得病｝=0.6,P｛母亲得病|孩子得病｝=0.5,

P｛父亲得病I母亲及孩子得病｝=0.5,

求母亲及孩子得病但父亲不得病的概率.

解：记A="孩子得病”，B="母亲得病”，C="父亲得病”，则所求概率

为

P(ABC)=P(A)P(B\A)尸(dBC)

=P(A)P(B\A)[]-P(C\BC)]

=0.6x0.5x(1-0.4)=0.18.

23.将两信息分别编码为A和B后传送出去，接收站接收时，A被误收为B

的概率为0.02,B被误收为A的概率为0.01,信息A与信息B传送的频繁程度

4/45

之比为2:1,若接收站收到的信息是A,问原发信息也是A的概率是多少?

解:记人="收到信息A"，B="发送信息A”，则

P(?A|B)=1-P(^|B)=1-0.02=0.98,

尸(8)=2,P(-B)=\

尸(平)=0.01,

33

依贝叶斯公式，所求概率为

P(B)尸(力8)「96

P(B\A)=

P(B)P(A\B)+P(B)P(A\B)197

24.有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品，第二箱装30

只，其中18只一等品,今从两箱中任选一箱，然后从该箱中无放回地取零件两次,

每次取一件,求⑴第一次取到的零件是一等品的概率；⑵第一次取到的零件是

一等品的条件下,第二次取到的零件也是一等品的概率？

解：设A=”第k次取到一等品”，

k

8="从第k箱中取零件"，A=1,2,

k

(1)依全概率公式，第一次取到的零件是

一等品的概率是

111

尸(一)=尸(8)尸(4忸)+尸(8)P(A\B)=.°+.—=0.4

1111212250230

(2)依全概率公式，

P(AA)=P(B)P(AA\B)+P(B)P(AA\B)

1211212122

110x9118x17276

=4-=

250x49230x291421

所求概率为

P(AA)

P(A\A)=—I一«0.48557

21P(A)

1

35三人独立的去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,

1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率。

解：用4,8,C分别表示各人能译出的事件，即尸(A)=1,P(B)=1,P(C)=1

534

5/45

则所求概率为

P(ABC)=1-P(^BC)=1-P(A)P(B)~P(C)

=1-[1-P(^)][1-P(B)][1-P(C)]

1113

=1-[1-][1-][1-]=.

5345

3设第一只盒子中装有3只蓝球,2只绿球2只白球；设第二只盒子中装

有2只蓝球,3只绿球4只白球，独立地分别在两只盒子中各取一球，

(1)求至少有一只蓝球的概率；

(2)求有一只蓝球一只白球的概率；

(3)已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率.

解：设A=“在第k盒取到一只蓝球”，

k

B=“在第k盒取到一只白球"，k=1,2,

k

(1)至少有一只蓝球的概率为

32325

P(AA)=P(A)+P(A)-P(A)P(A)=+-x=

12121279799

(2)有一只蓝球一只白球的概率为

P(ABAB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)

12211221

342216

=x+X=

799763

(3)至少有一只蓝球条件下，有一只蓝球一只白球的概率为

P(ABAB\AA)=~

i22112p(AA)35

12

补充1.已知4与B相互独"，P(A)=0.6,P(8)=0.4,求P(A8)及

P(A-B)-

解P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=0.6+0.4—0.6x0.4=0.76

P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)

=0.6—0.6x0.4=0.36

习题二

6/45

4.进行重复独立试验，设每次成功的概率为p,失败的概率为g=1-p,

(0<p<1),

①将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布

律；

②将试验进行到出现，.次成功为止，以丫表示所需的试验次数，求y的分布律;

③一篮球运动员的投篮命中率为45%,以x表示他首次投中时累计投篮的次

数，求x的分布律，并计算x取偶数的概率。

解：(1)x的分布律为

P{X=k)=qk-ipZ=1,2,.

(2)y的分布律为

P\Y=k}=Cr-^qk-rprr,1,.

(3)x的分布律为

P{X=/:}=0.55*-1x0.45A=1,2,.

X取偶数的概率为

,v0.55x0.4511

P{X=偶/ra±数k}=乙0.5521x0.45=八二

1-0.55231

Jt=1

6.一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t每个设备被

使用的概率为0.1,问在同一时刻

0)恰有2个设备被使用的概率是多少？

0至少有3个设备被使用的概率是多少？

解设在同一时刻有X个设备被使用，则X〜8(5,0.1).

(0恰有2个设备被使用的概率是

P{X=2}=C2-(0.1)2.(0.9)3=0.0729

5

0至少有3个设备被使用的概率是

P{X>3}=ZC*(0.1)*-(0.9)5-*«0.00856

k=3

12.一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求⑴某一

7/45

分钟恰有8次呼唤的概率；(2)某一分钟呼唤次数大于3的概率.

解：某一分钟呼唤次数X〜尸(4),

(1)某一分钟恰有8次呼唤的概率为

48

P{X=8}=eY=0.0298

8!

0某一分钟呼唤次数大于3的概率为

34k

P{X>3}=1-P{X<3}=1-Z8-4=0.5665

k!

k=0

17(2)求第2(1)题中的随机变量的分布函数。

解：第2(1)题中随机变量x的分布律为

X345

p0.10.30.6

随机变量X的分布函数为

0,x<3,

°-13Mx<4,

尸(x)=〈

0.44<x<5,

1,x>5,

18.在区间［o,a］上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标,设这个质

点落在［0,a］中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求x的

分布函数.

解:当x<0时，P{X4x}=0.

当x<a时，P［X<x}=kx,

1X

P{X<a}=ka=tk=,/.P{X<x}=

aa

当xza时，P{X<x}=1.

故X的分布函数为

8/45

0,x<0,

x

F(x)=<—,0Wxva,

Ia

x>a.

20.设随机变量x的分布函数为

[0,x<1,

F(x)=*Inx,1<x<e,

1x>e,

试求(1)p[X<2},P{0<x<3},P{2<X<\；⑵x的密度函数.

2

解：⑴P{X<2}=F(2)=ln2;

P{0<x<3)=F(3)-F(0)=1;

5555

P[2<X<]=F()-F(2)=In-In2=In

2224

(2)x的密度函数。

[1

/(X)=尸(x)=<x'1-V<6

〔0,其它，

21(1).设随机变量x的概率密度为

[2(1-l/x2),14x42,

/(内)=]

I0，其它，

求X的分布函数F(x)»

解：X的分布函数为

X<1,0,X<1,

1口2

尸(x)=Jf(t)dt=02(1-1/*)〃，1<x<2,=〈2x+-4,1<x<2,

x

2[11x>2,1a

I1x>2,

23.某种型号的器件的寿命X(以小时计)具有如下的概率密度

(1000

I-----,x>1000

/(x)=〈x2

0其他

9/45

现有一大批此种器件，任取5只，问其中至少有2件寿命大于1500小时的概率.

解：RX>1500}=卜f(x)dx=r1QQQ-dxJ

15001500X23

设任取5只，有y件寿命大于1500小时，则L8(5/)，所求概率为

P{Y>2}=1-P{Y=0}-P{Y=1}

333243

25.设K•在(°,5)内服从均匀分布，求x的方程4x2+4kx+K+2=0有实根的

概率.

解：K在(0,5)内服从均匀分布，其密度函数

血2,0<x<5

f(X)=

其他

4x2+4kx+K+2=0有实根，

/=(K4)2-4X4X(K+2)=16(K2-K-2)20

即K4-1或K22,

故4x2+4kx+K+2=0有实根的概率

P[K<-1或K22}=卜f(x)dx+卜f(x)dx=J50.2dx=0.6

另解：K在(0,5)内服从均匀分布，其分布函数

[0,x<0

F(x)=<0.2x,0<x<5

[1x>5

4x2+4kx+K+2=0有实根，

/=(K4)2-4X4X(K+2)=16(K2-K-2)Z0

即K4-1或K22,

故4x2+4kx+K+2=0有实根的概率

"{/<4-1或/<±2}=尸(-1)+[1-尸(2)]=0+[1-0.4]=0.6

33.设随机变量的分布律为

10/

X-2-1013

P1/51/61/51/1511/30

试求y=X2的分布律.

解：作草表如下

X-2-1013

y=x241019

p.1/51/61/51/1511/30

Y=X2的分布律为

-6149

P1/57/301/511/30

/

35.设X~N(O,1)，⑴求y=ex的概率密度；(2)求y=2X2+l的概率密度

⑶求y=|x的概率密度

解X~N(O,1)，X的概率密度

[-2

1-00

(1)y=ex严格单调增加，有反,函数〃(y)=Iny,hr(y)=1一

y

所以丁ex的概率密度为

[f[h(y)]h'(y)ly>n[1

'=i—e2,0,

,/(y)=〈o,向y>

yI0,y<

[0,y<0,

⑵y=2X2+i的分布函数

F(y)=P{Y<y}=P{2X?4-14)，}，

当时，F(y)=0J(y)=F'(y)=o,

yYy

当y>1时,

Fyf邛

1

f(y)M'(y)=2力

yyV22J2y-2

11/

]

J2y-2

所以y=2X2+l的密度函数为

y>i

，ywi

⑶y=|x|的分布函数FY(y)=P[Y<y}=pix|<y},

当好0时,FY(y)=0,fY(y)=F'Y(y)=0-,

当y>0时，F(y)=P{-y<X<y}=2<P(y)~1

Y

2y2

f(y)=尸3=2"(y)=2f(y)=-j=e~2

Yy」2乃

所以Y=|X|的密度函数为

2-'2c

—e2,y>0

f()，)=〈71

Y

o,y<o

37.设x的密度函数为

[2x

।----0<X<7T,

/(X)小2f

[0，其他

求丫=sinX的概率密度.

解7=sinX的分布函数F丫(y)=尸{YMy}=尸{sinXMy}，

当―0时,F(y]=O,f(y)=F'(y)=O,

YYy

当y21时，F(y)=l,/(y)=FJy)=O,

当0<y<1时

F(y)=P{0<X<arcsiny}+P{7-arcsiny<X<n}

Y

farcsinyXfx2X,

-Jor+Jax

2

0乃2x-arcsiny乃

2

=(arcsin,v.+1_(—arcsiny户=arcsin丫

兀2万2n

■丫zjl-y2

所以y=sinX的密度函数为

o<”l,

其他，

12/

或解y=sinx的分布函数

F(y)=P{Y<y}=P{sinX<y}>

当y40时'F(y)=O,f(y)=F'(y)=0,

YYy

当y21时，F=(y)=『(y)=O,

Yyv

当0<y<1时

F(v)=1-P{sinX>j}=1-P{arcsiny<X<n-arcsiny}

Y

=1-[F(n-arcsiny)-F(arcsiny)]

XX

〃y)=F'(y)=-【F'("-arcsiny)-(--j---------F(arcsiny)-,]

1

।[f(Tt-arcsiny)+/(arcsiny)]

Ji72

112(K-arcsiny)^2arcsiny

712兀2

2

兀Jl-y2

所以y=sinX的密度函数为

i,2,

fY(y)=-yz

[0,其他，

补充2.设随机变量*服从标准正态分布,

\x,若IxLl,

II

[-X,若lx>1,

求y的概率分布.

解X〜N(OJ)，X的密度函数为

f(x)=1----e2,(-00<x<+co)’

J2乃

Y的分布函数为尸(y)=P{y“},

当|y|>1时，

当「海)=P{X2-y}=l-0(-y)=0(y),

IJ<1F(y)=P{-1MXMy}+P{X>1}

Y

所以y的分布函数为.(y)=0(y),Y的密度函数为

Y

f(，)="())=f(y)=t----e2,(-00<j<+00)

YJ2〃

即y~N(0,i)。

习题三

13/

3.设随机变量(X,Y)的概率密度为

f(6-x-y),Q<x<2,2<y<4

小)=1。「其它，

⑴确定常数A;⑵求p{x<i,y<3}；⑶求P{X<15}；⑷；^P{x+r<4}-

解法一：

⑴1=f(x,y)dxdy=x-y)dy

—QO—0002

212

=kJ[6y-xy-,y2]卜公=女J(6-2x)dx

022°

}

=k[6x-x2]b=8k,k=,

08

⑵P(X<1,y<3}=f'dx\2f(x,y)dy

=1(6-x-y)dy=〔J'[6y-xy-1y2]3(Lc

o288022

1f1717x13

=—J(—-x)dx=—[——--x2]|1=—,

80282208

⑶P{X<1.5}=

,111.51

f'54J[6y-xy-

=Jdx(6-x-y)dyy2]卜山•

0288022

=1f15(6-2x)Jx=1[6x-x2]卜5=27,

8o8032

(4)p[x+r<4}=fff(x,y)dxdy

x+yM4

12

=J2公J4T(6-%-y)dy=\[6y-xy-1y2d1公

0288o22

1fO>•21y32

2

一J(6-4x+,~)dx=­[6x-2x+-~]2=",

80286。3

解法二:

⑴1=f，zff(x,y)dxdyJdyk(6-x-y)dx

20

4

=kj(10-2}>)</)>

2

=k[Wy-y2][4=8Z:,•,k=—

28

14/

(2)P{X<1,y<3}=f3dy[f[x,y)dx

-f3</yf1^(6-x-y)dx=1f3[6x-1x2yx]卜力

2088220

1P(11111v3

-y)dy[

82282At8

⑶尸{Xv1.5}=J15dxfxf(x,y)dy

-8-CO

41.511.41.

=fdy\(6-x-y)dx=J[6x-x2-yx]p^dy

208822°

=5(63_3y)力=1[6y_3T=27

8282884232

(4)p[x+y<4}=fff(x,y)dxdy

x+y<4

=f'-(6-x-y)6fr=1J4[6X--x2-yx]卜r

zo88220

1f412

=J(16-6y+)=[16-3+y3].=,

——dy-yy2l4-

2

822'8,'63

解法三：

(1)当0<x<2,2<y<4时,

yKx

F(xty)dv[k(6-u-v)du=4[6〃J-M2-vw]\dv

0

2022

f112

=k]v[6x-x2-vx]dv=k[6xv-x2v-XV]卜

22222

11

=Z(6肛-⑶一肛2-10x+x2)

22

当x22,”4时,F(x,y)=1,

尸(2,4)=F(2-0,4-0)得1=8k,；•*=

8

当0cx<2,”4时，

F(x,y)=\xdu[^(6-u-v)dv=1J*[(6-M)V-":卜4〃

o288o22

71

=—J[6—2u]du=—(6x—x2)

808

当x>2,2<y<4时，

15/

F(x,y)=J'"」？1.(6-u-v)du=Lj[6u--M2-VM]|2</V

208822°

=1J'[10-2v]dv=[10v-v2]y(10^-y2-16)

82828

当x40或y42时，F(x,y)=0,

0,x<0或y«2

11

|——(12xy-x2y_xy2_20x+2x2),0<x<2,2<y<4

I161

F(x,y)=〈(6x-x2),0<x<2,y>4

I8

l(10y-y2-16),

x>2,2<y<4

8

I1，x>2,y>4

(2)P{X<1,y<3}=F(1,3)=2,

8

,、27

(3)P{x<1.5}=P{X<1.5,y<+00}=尸(15+8)=,

32

(4)P{X+y<4}=IJf(x,y)dxdy=\2dx\^~x1(6-x-y)dy

028

x+>•<4

=1f2[6v-xy--y^]\-'dx=lf2(6-4x+-)dx

8o228o2

1v3I2

=[6x-2x2+]2=，

8603

5.设随机变量(x,y)的具有分布函数

11-ee-y-ex>0,y>0,

尸(x，y)=〈甘：

Io,其它，

求边缘分布函数.

解：(x,y)的缘分布函数为：

-e-x,Q

F(x)=F(x,+oo)=〈X>

X[0,其它，

「1-er,y>0

F(y)=F(a,y)=〈-'

'I0,其它，

16/

6.将以枚硬币掷三次，以x表示前两次中出现”的次数，以y表示三次中出

现H的次数，求（x,y）的联合分布律及边缘分布律.

解：（X,Y）的联合分布律为：

P（X=i,y=力=00.53,z=0,1,2,j=i,Z+1,

2

（X,Y）的边缘分布律为

P{X=z}=C-0.52,/=0,1,2;

2

2{y=7)=c.53,7=0,1,2,3.

3

或解：(x,y)的联合分布律及边缘分布律

0123P.

1

01/81/8001/4

10