2024-2025学年新教材高中数学第一章直线与圆1直线与直线的方程1.1.3第2课时直线方程的两点式直线方程的一般式课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(三)直线方程的两点式直线方程的一般式(建议用时：40分钟)一、选择题1．一条直线不垂直于坐标轴，则它的方程()A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式B[由于直线不垂直于坐标轴，所以直线的斜率存在，且直线上随意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不肯定能写成截距式．故选B．]2．直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则()A．C＝0，B>0 B．A>0，B>0，C＝0C．AB<0，C＝0 D．AB>0，C＝0D[通过直线的斜率和截距进行推断．]3．已知两直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的位置如图所示，则()A．b>0，d<0，a<c B．b>0，d<0，a>cC．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a<cC[由已知直线表达式，得l1：y＝－eq\f(1,a)x－eq\f(b,a)，l2：y＝－eq\f(1,c)x－eq\f(d,c)，由题图知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)>－\f(1,c)>0,－\f(b,a)<0,－\f(d,c)>0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c<a<0,b<0,d>0.))]4．把直线x－y＋eq\r(3)－1＝0绕点(1，eq\r(3))逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是()A．y＝－eq\r(3)x B．y＝eq\r(3)xC．x－eq\r(3)y＋2＝0 D．x＋eq\r(3)y－2＝0B[如图，已知直线的斜率为1，则其倾斜角为45°，则直线l的倾斜角α＝45°＋15°＝60°．∴直线l的斜率k＝tanα＝tan60°＝eq\r(3)，∴直线l的方程为y－eq\r(3)＝eq\r(3)(x－1)，即y＝eq\r(3)x．]5．若直线Ax＋By＋C＝0过坐标原点，则A，B，C满意的条件是()A．C＝0 B．AB≠0且C＝0C．A2＋B2≠0且C＝0 D．A＋B＝0C[A，B不能同时为0．]二、填空题6．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．2x－y＋1＝0[由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式为2x－y＋1＝0．]7．过点(－1，1)和(3，9)的直线在x轴上的截距是________．－eq\f(3,2)[直线方程为eq\f(y－1,9－1)＝eq\f(x＋1,3＋1)，即y＝2x＋3，令y＝0，得x＝－eq\f(3,2)，∴在x轴上的截距为－eq\f(3,2)．]8．过点P(3，－1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是________．x＋2y－1＝0或x＋3y＝0[设直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，当a＝0时，b＝0，此时直线l的方程为eq\f(y,x)＝eq\f(－1,3)，所以x＋3y＝0；当a≠0时，a＝2b，此时直线l的方程为eq\f(x,2b)＋eq\f(y,b)＝1，代入(3，－1)，得x＋2y－1＝0．]三、解答题9．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，求直线在y轴上的截距．[解]由已知，直线过点(3，0)，所以3(a＋2)－2a＝0，即a＝－6．所以直线方程为－4x＋45y＋12＝0，即4x－45y－12＝0．令x＝0，得y＝－eq\f(4,15)．故直线在y轴上的截距为－eq\f(4,15)．10．求经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程．[解]由题意可知，所求直线的斜率为±1．又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0，或x＋y－7＝0．11．过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的肯定值相等的直线有()A．2条B．3条C．4条D．多数多条B[当截距都为零时满意题意要求，直线为y＝－eq\f(1,3)x；当截距不为零时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,a)＋\f(－1,b)＝1,|a|＝|b|，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4,b＝－4，))即直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,4)＋eq\f(y,－4)＝1，∴满意条件的直线共有3条．故选B．]12．已知直线a1x＋b1y＋1＝0和直线a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2，1)，则过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是()A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y－1＝0 D．x＋2y＋1＝0A[∵点A(2，1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，∴2a1＋b1＋1＝0．由此可知点P1(a1，b1)在直线2x＋y＋1＝0上．∵点A(2，1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，∴2a2＋b2＋1＝0．由此可知点P2(a2，b2)也在直线2x＋y＋1＝0上．∴过点P1(a1，b1)和点P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0．]13．(多选题)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满意()A．ab>0 B．bc<0C．ab<0 D．bc>0AB[易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b)，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)<0，,－\f(c,b)>0，))所以ab>0，bc<0．]14．(一题两空)已知点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________；最小值为________．30[线段AB的方程为eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1(0≤x≤3)，所以xy＝4xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x,3)))＝－eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋3，所以当x＝eq\f(3,2)时，xy的最大值为3；当x＝0或3时，xy的最小值为0．]15．已知直线l过点M(2，1)，且与x轴、y轴的正方向分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程．[解]依据题意，设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，由题意，知a>2，b>1，∵l过点M(2，1)，∴eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，解得b＝eq\f(a,a－2)，∴△AOB的面积