2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.3平面与平面平行同步练习含解析新人教A版必修第二册

PAGE课时素养评价二十八平面与平面平行(20分钟35分)1.下列四个正方体图形中,A,B,C为正方体所在棱的中点,则能得出平面ABC∥平面DEF的是 ()【解析】选B.在B中,如图,连接MN,PN,因为A,B,C为正方体所在棱的中点,所以AB∥MN,AC∥PN,因为MN∥DE,PN∥EF,所以AB∥DE,AC∥EF,所以AB∥平面DEF,AC∥平面DEF,又AB∩AC=A,所以平面ABC∥平面DEF.2.若三条直线a,b,c满意a∥b∥c,且a⊂α,b⊂β,c⊂β,则两个平面α,β的位置关系是 ()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能确定【解析】选C.由题意可知,b,c在平面β内,但不相交,因为a∥b∥c,所以a所在平面α与平面β不肯定只平行,有可能相交.3.平面α∥平面β,AB,CD是夹在α和β间的两条线段,E,F分别为AB,CD的中点,则EF与α ()A.平行 B.相交C.垂直 D.不能确定【解析】选A.若AB,CD共面,则EF∥AC,故EF∥α,若AB,CD是异面直线,则连接AD并取AD的中点M,连接EM与FM,则可得出EM∥平面β,且FM∥平面α,又因为平面α∥平面β,所以EM∥平面α,又EM∩FM=M,EM,FM⊂平面EFM,故平面EFM∥平面α,所以EF与α平行.4.若夹在两个平面间的三条不共面的平行线段相等,则这两个平面的位置关系是.

【解析】设α,β为平面,AA′,BB′,CC′为平行线段且相等.因为AA′BB′,所以四边形AA′B′B为平行四边形.所以AB∥A′B′,同理BC∥B′C′,所以AB∥β,BC∥β,又因为AB∩BC=B,所以平面α∥平面β.答案:平行5.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,过点E作平面α,使得平面α∥平面AB1C,则平面α在正方体表面上截得的图形的周长为【解析】如图,F,G,H,I,J分别为棱AD,AA1,A1B1,B1C1,CC1则HI∥A1C1∥GJ,故G,H,I,J四点共面,同理E,F,G,J四点共面.因为EJ∥AB1,EF∥AC,EF∩EJ=E,EJ∥平面AB1C,EF∥平面AB所以平面EFGJ∥平面AB1C所以H,I∈平面EFGJ,所以平面EFGHIJ即为平面α,依据三角形的中位线的性质可得,六边形每条边的长度都等于正方体表面对角线的一半,即每边长都等于QUOTE=QUOTE,故六边形的周长为6QUOTE.答案:6QUOTE6.如图,在三棱柱ABC-A′B′C′中,点D是BC的中点,欲过点A′作一截面与平面AC′D平行,问应当怎样画线,并说明理由.【解析】在三棱柱ABC-A′B′C′中,点D是BC的中点,取B′C′的中点E,连接A′E,A′B,BE,则平面A′EB∥平面AC′D,A′E,A′B,BE即为应画的线.证明如下:因为D为BC的中点,E为B′C′的中点,所以BD=C′E,又因为BC∥B′C′,所以四边形BDC′E为平行四边形,所以DC′∥BE.连接DE,则DEBB′,所以DEAA′,所以四边形AA′ED是平行四边形,所以AD∥A′E.所以BE∥平面ADC′,A′E∥平面ADC′.又因为A′E∩BE=E,A′E⊂平面A′BE,BE⊂平面A′BE,AD∩DC′=D,AD⊂平面AC′D,DC′⊂平面AC′D,所以平面A′EB∥平面AC′D.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的全部直线中 ()A.不肯定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在多数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线【解析】选D.由于α∥β,a⊂α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行.2.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A′,B′,C′.若PA′∶AA′=2∶5,则△A′B′C′与△ABC的面积比为 ()A.2∶5 B.2∶7 C.4∶49 D.9∶25【解析】选C.因为平面α∥平面ABC,平面α∩平面PAB=A′B′,平面ABC∩平面PAB=AB,所以A′B′∥AB.所以A′B′∶AB=PA′∶PA.又PA′∶AA′=2∶5,所以A′B′∶AB=2∶7.同理B′C′∶BC=2∶7,A′C′∶AC=2∶7,所以△A′B′C′∽△ABC,所以S△A′B′C′∶S△ABC=4∶49.3.如图所示,平面α∥平面β,△ABC,△A′B′C′分别在α,β内,线段AA′,BB′,CC′共点于O,O在α,β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°,OA∶OA′=3∶2,则△A′B′C′的面积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选B.由题意可知,AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,所以△ABC∽△A′B′C′,且QUOTE=QUOTE=QUOTE.QUOTE=QUOTE,因为S△ABC=QUOTEAB·AC=1,所以S△A′B′C′=QUOTE.4.(2024·广州高一检测)如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,F是侧面CDD1C1上的动点,且B1F∥平面A1BE,则F在侧面CDDA.a B.QUOTE C.QUOTEa D.QUOTE【解析】选D.设G,H,I分别为CD,CC1,C1D1边上的中点,连接B1I,B1H,IH,CD1,EG,BG,则A1,B,E,G四点共面,且平面A1BGE∥平面B1HI,又因为B1F∥平面A1所以F落在线段HI上,因为正方体ABCD-A1B1C1D1所以HI=QUOTECD1=QUOTEa.即F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是QUOTEa.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.平面α∥平面β的一个充分条件是 ()A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.随意一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α【解析】选BD.对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不肯定平行,故A不对;对于B,由面面平行的定义可知正确;对于C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C不对;对于D,两个平面中的两条异面直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行.6.平面α与平面β平行的条件可以是 ()A.α内有多数多条直线都与β平行B.直线a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,a∩b=AC.平面α内不共线的三点到β的距离相等D.一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β【解析】选BD.A中这多数条直线可能是平行直线;B中因为a∩b=A,所以确定平面γ,所以α,β都与平面γ平行,故α∥β;D中一个平面内两条不平行的直线必相交,依据平面与平面平行的判定定理可知α∥β.三、填空题(每小题5分,共10分)7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,M,N分别为棱A1D1,A1B1的中点,过点B的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面是形,面积为【解析】如图所示,截面为等腰梯形BDPQ,故截面的面积为QUOTE×(2QUOTE+4QUOTE)×3QUOTE=18.答案:等腰梯188.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为【解析】因为平面α∥平面BC1E,平面α∩平面AA1B1B=A1F,平面BC1E∩平面AA1B1B=BE,所以A1F所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E,所以AF=B1E=1.答案:1四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2024·石嘴山高一检测)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别为CC1和BB1的中点,QUOTEAA1=AB=BC=2.(1)求三棱锥C1-A1FA的体积.(2)求证:平面AC1F【解析】(1)由题意可知:C1B1⊥平面A1FA,QUOTEAA1=AB=BC=2,F为BB1的中点,所以A1A=4,C1B1所以QUOTE=QUOTEA1A·AB=QUOTE×4×2=4,所以QUOTE=QUOTE·C1B1=QUOTE×4×2=QUOTE.(2)如图,取DD1的中点G,连接C1G,AG,A1因为点F是BB1的中点,所以AG∥C1F,且AG=C1F,所以四边形AGC1F为平行四边形,则点A,G,C1,F四点共面,GC1又因为E,F分别是线段CC1,BB1的中点,所以C1F所以GC1∥平面BDE,C1F又GC1∩C1F=C1且GC1⊄平面BDE,C1F⊄所以平面AC1F∥10.已知M,N分别是底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD的棱AB,PC的中点,平面CMN与平面PAD交于PE,求证:(1)MN∥平面PAD.(2)MN∥PE.【证明】(1)如图,取DC的中点Q,连接MQ,NQ.因为NQ是△PDC的中位线,所以NQ∥PD.因为NQ⊄平面PAD,PD⊂平面PAD,所以NQ∥平面PAD.因为M是AB的中点,四边形ABCD是平行四边形,所以MQ∥AD.因为MQ⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以MQ∥平面PAD.因为MQ∩NQ=Q,MQ,NQ⊂平面MNQ,所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN⊂平面MNQ,所以MN∥平面PAD.(2)由(1)知平面MNQ∥平面PAD,平面PEC∩平面MNQ=MN,平面PEC∩平面PAD=PE,所以MN∥PE.1.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则GH=.

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,AB=CD,所以∠EAH=∠DFH,∠AEH=∠FDH,因为E,F分别是AB,CD的中点,所以AE=FD,所以△AEH≌△FDH,所以EH=DH.因为平面AGF∥平面PEC,平面PED∩平面AGF=GH,平面PED∩平面PEC=PE,所以GH∥PE,所以G是PD的中点,因为PA=PB=AB=2,所以PE=2×sin60°=QUOTE.所以GH=QUOTEPE=QUOTE.答案:QUOTE2.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段B1D1(1)求证:EF∥平面BDD1B1.(2)在棱CD上是否存在一点G,使得平面GEF∥平面BDD1B1?若存在,求出QUOTE