专题17 逆用导数的四则运算法则构造函数

专题17逆用导数的四则运算法则构造函数【方法点拨】1.已知中同时出现关于、的不等关系，而所求是抽象形式的不等式，应考虑“逆用导数的四则运算法则”构造函数的单调性，然后再逆用单调性；2.常见的构造函数:①对于，构造；一般的，对于，构造．②对于，构造；一般的，对于，构造．③对于，构造；一般的，对于，构造．④对于，构造；一般的，对于，构造．⑤对于，即，构造．⑥对于，构造．⑦对于，构造.⑧对于，构造.⑨对于，构造.【典型题示例】例1（2021·江苏省南通市通州区一诊·15）已知偶函数(x≠0)的导函数为，，当x＞0时，，则使成立的x的取值范围是．（其中e为自然对数的底数）【答案】【解析】设，则∵x＞0时，∴当x＞0时，，故在（0，+∞）单增又，所以∵是偶函数∴也是偶函数，且在（－∞，0）单减等价于，即由是偶函数且在（0，+∞）单增得，解之得.例2（多选题）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是A． B． C． D．【分析】结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．【解答】解：令，，因为，则，故在，上单调递减，因为，则，结合选项可知，，从而有，即，故错误，因为，结合在在，上单调递减可知，从而有，由可得，故错误；，从而有，且，即．故正确；，从而有即．故正确．故选：．例3函数的定义域为，，对任意，，则的解集为.【答案】（，+）【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中，只需构造函数，使得，不难得到（这里为常数，本题中取），进而利用的单调性，即可找到解题的突破口.【解析】构造函数，则，故单调递增，且.另一方面所求不等式，就转化为，逆用单调性定义易知，则不等式的解集为. 例4设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f(eq\r(x＋1))>eq\r(x－1)·f(eq\r(x2－1))的解集为________．【答案】[1,2)【解析】设F(x)＝xf(x)，则由F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数F(x)是R上的增函数．又eq\r(x＋1)>0，∴由f(eq\r(x＋1))>eq\r(x－1)f(eq\r(x2－1))可变形得eq\r(x＋1)f(eq\r(x＋1))>eq\r(x2－1)f(eq\r(x2－1))，即F(eq\r(x＋1))>F(eq\r(x2－1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x＋1)>\r(x2－1)，,x≥1，))解得1≤x<2.【巩固训练】1.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为______．2.已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，则满足的实数的取值范围是．3.设是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集是（）A.B.C.D.4．定义在上的可导函数，当时，恒成立，，则的大小关系为（）A．B．C．D．5．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（）A．B．C．D．6．函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（）A.B.C.D.与的大小不确定7.设奇函数f(x)定义在(－，0)∪(0，)上其导函数为f(x)，且f(eq\f(,2))＝0，当0＜x＜时，f(x)sinx－f(x)cosx＜0，则关于x的不等式f(x)＜2f(eq\f(,6))sinx的解集为．

【答案或提示】1.【答案】(0，＋∞)【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.2.【答案】3.【答案】D【解析】构造函数，于是该函数递减，变形为，于是，得，选D.4．【答案】A【解析】构造函数，当时，，即函数单调递增，则，，则，即，选A．5．【答案】A【解析】由得，构造函数，则，故单调递增，有．故选A．6．【答案】B【解析】令,则,因为,所以在上恒成立.即函数在单调递增.因为,所以即.答案选B．7.【答案】(－eq\f(,6)，0)∪(eq\f(,6)，)【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要工具，大家知道(eq\f(f,g))＝eq\f(fg－fg,g2)，(sinx)＝cosx，于是本题的本质是构造eq\f(f(x),sinx)来解不等式【解析】设g(x)=eq\f(f(x),sinx)，则g(x)=(eq\f(f(x),sinx))＝eq\f(f(x)sinx－f(x)cosx,sin2x)，所以当0＜x＜时，g(x)<0，g(x)在(0，)上单调递减又由于在(0，)上sinx＞0，考虑到sineq\f(,6)＝eq\f(1,2)，所以不等式f(x)＜2f(eq\f(,6))sinx等价于eq\f(f(x),sinx)＜eq\f(f(eq\f(,6)),sineq\f(,6))，即g(x)<g(eq\f(,6)),所以此时不等式等价于eq\f(,6)＜x＜.又因为f(x)、sinx为奇函数，所以g(x)是偶函数，且在(－，0)上sinx＜0，所以函数g(x)在(－，