2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第03讲平面向量的数量积(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

A． B．C．在方向上的投影向量为 D．与反向的单位向量是10．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量则下列说法正确的是（

）A．的相反向量是 B．若，则C．在上的投影数量为 D．若，则三、填空题11．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为.12．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，已知，点满足，且，则．四、解答题13．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知，.(1)若，求；(2)若与的夹角为，求；(3)若与垂直，求与的夹角．14．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在四边形中，已知，，.(1)若四边形是矩形，求的值；(2)若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值.15．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，分别是AD，DC的中点，为线段上一点（除端点外），且，设．(1)若，以为基底表示向量与；(2)求的取值范围．B能力提升1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）设A，B，C，D为平面内四点，已知，，与的夹角为，M为AB的中点，，则的最大值为，此时．4．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知正六边形ABCDEF的边长为1，若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，则的最小值为；若点N为线段AE（含端点）上的动点，且满足，则的最大值为.C综合素养（新定义解答题）1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则：①②；③④(1)设，为虚数单位，求，，；(2)设是两个复向量，①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立；②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数.第03讲平面向量的数量积(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知向量且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．-1【答案】A【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可【详解】由，得，解得，故选：A2．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知点，则（

）A． B．0 C．2 D．【答案】D【分析】先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可.【详解】因为，所以，所以.故选：D.3．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知向量满足，且，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量夹角余弦公式求出，得到答案.【详解】∵，且，，∵，∴.故选：B.4．（2024·河北·模拟预测）平面向量满足，则在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.【详解】依题意，在方向上的投影向量为.故选：D5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知，，若，则（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】，由得，解得.故选：A.6．（23-24高一下·甘肃金昌·阶段练习）已知向量，若与垂直，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据与垂直，由求解.【详解】解：，与垂直，，.故选：A.7．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知向量的夹角为，且，则（

）A．6 B． C．3 D．【答案】A【分析】由平面向量减法的几何意义，结合平面几何的知识可解.【详解】在边长为6的等边三角形中，设，则，故.故选：A8．（2024·全国·模拟预测）单位向量满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：将平方得，求出，再利用夹角公式求解；法二：设向量坐标化，确定，再利用向量夹角的坐标公式求解.【详解】法一：因为，所以，所以.由是单位向量，得，故.所以，所以.因为，所以.法二：因为，所以.因为是单位向量，所以设，，，则，，，解得.取，则.因为，，所以.故选：B.二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）已知向量．若，则（

）A． B．C．在方向上的投影向量为 D．与反向的单位向量是【答案】ABC【分析】利用平面向量的坐标运算及投影向量、单位向量的定义一一判定选项即可.【详解】．．，即．，即，解得，则．对于A，，故A正确；对于B，因为，故B正确；对于C，在方向上的投影向量为，故正确；对于D，与反向的单位向量是，故D错误．故选:ABC．10．（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知向量则下列说法正确的是（

）A．的相反向量是 B．若，则C．在上的投影数量为 D．若，则【答案】AC【分析】由相反向量的定义判断A；由向量垂直数量积为0判断B；由投影数量的概念判断C；由共线量的坐标运算判断D.【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；对于B，因为，所以，又，且，所以，解得，故B错误；对于C，因为，所以，，所以在上的投影数量为，故C正确；对于D，因为，又，且，所以，解得，故D错误.故选：AC.三、填空题11．（23-24高一下·湖北武汉·阶段练习）已知，若向量满足，则在方向上的投影向量的坐标为.【答案】【分析】根据数量积的运算律求得，根据投影向量的概念，即可求得答案.【详解】由题意知，故，所以，而，则，故，则在方向上的投影向量为，即在方向上的投影向量的坐标为，故答案为：12．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，已知，点满足，且，则．【答案】/【分析】根据平面向量的线性运算可得，，结合数量积的运算律和定义即可求解.【详解】由题意得，，，，故，．故答案为：四、解答题13．（23-24高一下·广东东莞·阶段练习）已知，.(1)若，求；(2)若与的夹角为，求；(3)若与垂直，求与的夹角．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由可得出的夹角为0或，再根据,即可求出；（2）先求出,再利用模长公式求解；（3）根据与垂直，即可得出，从而可求出，进而得出与的夹角．【详解】（1）∵，∴与的夹角为或，∴=;（2）；（3），∴∴，

，∴14．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）在四边形中，已知，，.(1)若四边形是矩形，求的值；(2)若四边形是平行四边形，且，求与夹角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）以、作为一组基底表示出、，再根据数量积的运算律计算可得；（2）设与夹角为，结合（1）及数量积的定义计算可得.【详解】（1）四边形是矩形，，即，又，，，，，，，；（2）设与夹角为，由（1）得，，，即与夹角的余弦值．15．（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，分别是AD，DC的中点，为线段上一点（除端点外），且，设．(1)若，以为基底表示向量与；(2)求的取值范围．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由向量的线性运算可求得向量与.（2）先表示向量，再运用向量数量积的定义和运算律可求得，从而可求得取值范围.【详解】（1）依题意，，所以；由，得所以.（2）由（1）知，，依题意，，由，，得，因此，显然，则，即，所以的取值范围为.B能力提升1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据向量数量积的坐标表示以及夹角范围计算，考虑向量反向的情况可得结论.【详解】若“”可得，可得；当时，与的方向相反，其夹角为，即与的夹角为钝角或平角，充分性不成立；若“与的夹角为钝角”，即可知，解得，必要性成立；因此“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选：B2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设向量，的夹角为，求得的表达式，利用平方的方法，结合余弦函数的值域等知识求得正确答案.【详解】设向量，的夹角为，则，因为，所以，令，则，因为，所以，又，所以.故选：C上的动点，且满足，则的最大值为.【答案】/-0.54【分析】从向量的数量积的定义入手理解，将数量积最小问题转化为在上的投影数量最小问题，结合图象易于找到，计算即得；根据题意，建立如图坐标系，设动点，,表示出相关向量坐标代入题设条件，列出方程组，求出，计算的取值范围即得.【详解】

如图，由向量数量积的几何意义可知可理解为在上的投影数量与的乘积，要使最小，需使在上的投影数量最小，由图知，当且仅当点与重合时，投影的数量最小，即，故；

如上图，分别以所在直线为轴建立平面直角坐标系，则,不妨设，则，则，由代入坐标，即得，，解得：于是，因，故当且仅当时，的最大值为4.故答案为：C综合素养（新定义解答题）1．（23-24高一下·福建三明·阶段练习）利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则：①②；③④(1)设，为虚数单位，求，，；(2)设是两个复向量，①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立；②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数.【答案】(1)，，(2)①证明见解析；②【分析】（1）根据①③④即可解题；（2）①设，由，得出，结合复数的三角不等式得即可证明；②由①中复数的三角不等式等号成立