大题规范4 立体几何

解题帮快速破题规范解答大题规范4立体几何

立体几何解答题每年必考，从其在2023年新高考卷Ⅰ中的位置来看，难

度有所下降，说明试题的难度在灵活调整.从近几年的命题情况来看，设问主要采用“论证与计算”相结合的模式，考查考生

的直观想象、逻辑推理、数学运算素养，转化与化归(空间问题转化为平面问题)和

数形结合(根据空间位置关系，利用向量转化为代数运算)的思想方法.高频命题角度

有：(1)空间几何体中的线、面平行和垂直问题，注意空间线、面平行(垂直)的判定

定理和性质定理在解题中的应用；(2)空间角、空间距离的求解，掌握空间异面直线

所成角、线面角、二面角、点线距离、点面距离、线面距离的求法；(3)不同知识点

间的交汇，如空间几何体的体积与空间角、距离相融合等.在利用有关判定定理和性质定理时，应注意定理条件叙述的完整性，否则，极易被扣分！

[2023全国卷甲/12分]如图，在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

A

1

C

⊥平面

ABC

，

∠

ACB

＝90°，

AA

1＝2，

A

1到平面

BCC

1

B

1的距离为1.(1)证明：

A

1

C

＝

AC

；(2)已知

AA

1与

BB

1的距离为2，求

AB

1与平面

BCC

1

B

1所成角的正弦值.

(1)

(2)

(1)如图，过

A

1作

A

1

D

⊥

CC

1，垂足为

D

.

(1分)

观察图形特征与待证的结论，适当添加辅助线.∵

A

1

C

⊥平面

ABC

，

BC

⊂平面

ABC

，∴

A

1

C

⊥

BC

，

(2分)又∠

ACB

＝90°，∴

AC

⊥

BC

.

由线面垂直证得线线垂直，注意线在面内的说明.∵

A

1

C

，

AC

⊂平面

ACC

1

A

1，且

A

1

C

∩

AC

＝

C

，∴

BC

⊥平面

ACC

1

A

1.∵

A

1

D

⊂平面

ACC

1

A

1，∴

BC

⊥

A

1

D

，

(3分)又

CC

1，

BC

⊂平面

BCC

1

B

1，且

CC

1∩

BC

＝

C

，∴

A

1

D

⊥平面

BCC

1

B

1，由已知条件易证△

CA

1

C

1是直角三角形，又

CC

1＝

AA

1＝2，

A

1

D

＝1，∴

D

为

CC

1的中点，又

A

1

D

⊥

CC

1，∴

A

1

C

＝

A

1

C

1，又在三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AC

＝

A

1

C

1，∴

A

1

D

＝1.

(4分)

证明线面垂直，注意“线不在多，重在相交”，不要漏写两线相交的说明，否

则，易被扣分.∴

A

1

C

＝

AC

.

(5分)(2)如图，连接

A

1

B

，由(1)易证Rt△

A

1

CB

≌Rt△

A

1

C

1

B

1，∴

A

1

B

＝

A

1

B

1，故取

BB

1的中点

F

，连接

A

1

F

，∵

AA

1与

BB

1的距离为2，∴

A

1

F

＝2，又△

CA

1

C

1是等腰直角三角形，

A

1

D

⊥

CC

1，

A

1

D

＝1，

CC

1＝2，

建立空间直角坐标系

Cxyz

如图所示，

(6分)

必须判断经过点

C

的三条直线两两垂直，才能建立空间直角坐标系.

设平面

BCC

1

B

1的法向量为

n

＝(

x

，

y

，

z

)，

空间中点的坐标一定要求准确，向量的坐标利用“终减起”求解.取

x

＝1，则

y

＝0，

z

＝1，∴平面

BCC

1

B

1的一个法向量为

n

＝(1，0，1).

(9分)设

AB

1与平面

BCC

1

B

1所成的角为θ，

注意区分求线面角与二面角的向量公式，不要混淆.

注意及时下结论，避免丢分.

1.解答立体几何问题重在“建”——建模，建系3.利用向量法求线面角和二面角的关注点建立恰当的空间直角坐标系，利用待定系数法求出相应平面的法向量是解题的关键.

求解时，要注意：(1)点的坐标的准确性；(2)线面角与二面角公式的区分；(3)二面

角的平面角是锐角还是钝角；(4)所求为空间角的正弦值还是余弦值.2.求解空间中的平行与垂直问题的关键熟练把握空间中平行与垂直的判定定理和性质定理是解题的关键.在运用定理证明问

题时，要注意定理的条件要书写齐全.训练

[2024湖北部分重点中学联考/12分]如图，在三棱台

ABC

－

DEF

中，平面

BCFE

⊥平面

ABC

，∠

ACB

＝90°，

BC

＝2，

AC

＝3，

BE

＝

EF

＝

FC

＝1.(1)求证：

BF

⊥平面

ACFD

；[解析]延长

AD

，

BE

，

CF

相交于一点

K

，如图所示.因为平面

BCFE

⊥平面

ABC

，平面

BCFE

∩平面

ABC

＝

BC

，且AC

⊥

BC

，所以

AC

⊥平面

BCK

，又

BF

⊂平面

BCK

，因此

BF

⊥

AC

.

(2分)又

EF

∥

BC

，

BE

＝

EF

＝

FC

＝1，

BC

＝2，所以△

BCK

为等边三角形，且

F

为

CK

的中点，(3分)则