2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高二上学期10月月考数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市西城区第三十五中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A.若m//α,n//α,则m//n B.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C.若m⊥α，m⊥n，则n//α D.若m//α，m⊥n，则n⊥α2.下列说法正确的是(

)A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B.空间的基底有且仅有一个

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D.任一个向量p在基底a,b,3.若直线l的方向向量为a⇀=(1,−2,3)，平面α的法向量为n⇀A.l⊂α B.l//α C.l⊥α D.l与α相交4.如图，已知斜三棱柱ABC−A1B1C1，设AB=a,A.−12B.12a+bD.15.已知空间三点A1,3,−2,B2,5,1,Cp+1,7,q共线，则p和A.3，6 B.2，4 C.1，4 D.2，66.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为BA.π2 B.π3 C.π4 7.棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BA⋅CE=A.1 B.−1 C.3 D.8.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1A.33 B.22 C.9.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1、BB1的中点，M为棱A1B1上的一点，且A.3λ B.22 C.10.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M,N分别为BD1A.点P可以是棱BB1的中点 B.线段MP的最大值为32

C.点P的轨迹是正方形 D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.已知点P−3,1,5，则该点关于yOz平面的对称点坐标为

．12.若a=(2,−3,1),b=(2,0,3),c=(3,4,2)，则a⋅(b+2c)=

，若13.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则C14.正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为

15.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC

(填“垂直”或“不垂直”)；▵AEF的面积的最大值为

．

16.如图，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直．点P在正方形ABCD及其内部运动，点Q在矩形ABEF及其内部运动．设AB=2,AF=1，给出下列四个结论：①存在点P,Q，使PQ=3；②存在点P,Q，使CQ//EP；③到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个；④若PA⊥PE，则四面体PAQE体积的最大值为13其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD//BC，PA=AB=BC=2AD=2．

(1)设点M为AB上任意一点，求证：AD⊥PM；(2)求直线PB和平面PCD所成角的正弦值;(3)求二面角A−PD−C的余弦值．18.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA(1)求证：B1M//平面(2)求直线BC1与直线(3)若直线AB1与平面BCM所成角为π4，求点A119.(本小题12分)设nn≥2为正整数，若α=x1,x2,⋅⋅⋅,xn满足：①xi∈0,1,⋅⋅⋅,n−1，i=1,2,⋅⋅⋅,n；②对于1≤i<j≤n(1)设α=0,1,2，若β具有性质E3，请写出一个β及相应的(2)设α=0,1,2,3,4，请写出一个具有性质E5的β，满足(3)设α=0,1,2,3,4,5,6，是否存在具有性质E7的β，使得Tα,β=0,1,2,3,4,5,6参考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.B

6.D

7.A

8.C

9.D

10.D

11.3,1,5

12.−1

3

13.51

14.215.垂直

16.①③④

17.(1)因为PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AD，又因为AB⊥AD，PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB，所以AD⊥平面PAB，点M为AB上任意一点，则PM⊂平面PAB，所以AD⊥PM．

(2)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD，所以以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为PA=AB=BC=2AD=2，所以A0,0,0因为PB=设平面PCD的法向量为n=x,y,z取y=2，可得x=−1,z=1，所以n=设直线PB和平面PCD所成角的大小为θ，所以sinθ=直线PB和平面PCD所成角的正弦值3(3)平面APD的法向量为m=设二面角A−PD−C的平面角大小为α，所以cosα=因为二面角A−PD−C的平面角为钝角，所以二面角A−PD−C的余弦值−

18.(1)连接B1M，由三棱柱性质可得平面ABC//平面又B1M⊂平面A1B1(2)因为AA1⊥平面ABC，AB,AC⊂所以AA1⊥AB,A故AB,AC,AA故可建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz：

则A(0,0,0),A连接BC1，则由BC1⋅故直线BC1与直线AB(3)设M(0,a,1)，a∈0,1，则BM设平面BCM的法向量为n=(x,y,z)有{n⇀⋅BM⇀=−x+ay+z=0n即n⇀因为直线AB1与平面BCM所成角为所以cosA解得a=12，即n=(1,1,所以点A1到平面BCM的距离为A

19.(1)令β=0,1,2，即y1=0，y2=1，y(2)当α=0,1,2,3,4，∵4∈Tα,β=0,1,2,3,4，∴β=y1,y2,⋅⋅⋅,y5中的y1=4或者y5=0，不妨设y5=0，接下来，3∈T，∴可能y1=3或(3)不存在证明：不妨设α=0,1,2,3,4,5,6，β=假设Tα,β∵集合{0,1,2,3,4}中有3个奇数，4个偶数．设数列α中有x个奇数与有序数组β中x个偶数对应作差的绝对值，α中y个偶数与β中的y个奇数对应作差的绝对值