数学教材梳理系统抽样

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精庖丁巧解牛知识·巧学一、系统抽样的概念当总体中个体数较多时,样本容量就不宜太小，采用简单随机抽样抽取样本，就显得费事.这时可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取1个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫做系统抽样。在系统抽样中，由于抽样的间隔相等，因此系统抽样也被称作等距抽样（或叫机械抽样）。从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本，如果总体容量能被样本容量整除，则设k=，分为n组,每组k个,然后在第一组的1到k中随机抽出一个数s作为起始数，再顺次抽取第s+k，s+2k,…，s+（n—1)k个数,这样就得到了容量为n的样本.系统抽样有以下特征：（1）当总体容量N较大时，采用系统抽样.（2）将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样,这时间隔一般为k=［］。(3）预先制定的规则指的是:在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号。二、系统抽样的一般步骤一般地，从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，用系统抽样的一般步骤是:(1）采用随机的方式将总体中的个体编号（编号方式可酌情考虑,为方便起见，有时可直接利用个体所带有的号码，如学生的准考证号、街道门牌号等)；(2）确定分段间隔k,对总体编号分段,①当是整数时，取k=;②当不是整数时，通过从总体中随机剔除一些个体使剩余个体数N′能被n整除,这时k=;（3)在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l；（4）按照事先确定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l+k），再加k得到第3个个体编号（l+2k）,依次进行下去，直到获得整个样本.误区警示上述过程中，总体中的每个个体被取出（或被剔除）的可能性相等，也就是每个个体不被选取（或不被剔除)的可能性也相等，另外在第一段抽样时，采用的是简单随机抽样,每个个体被抽到的可能性均等,所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然都相等，这说明使用系统抽样法抽取样本的过程是公平的。三、系统抽样与简单随机抽样的联系类别特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取抽签法和随机数表法总体中的个体数较少抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等系统抽样将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体中的个体数较多典题·热题知识点一随机抽样与系统抽样的区别例1从编号为1—50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验,若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A.5,10，15,20，25B.3,13，23,33,43C.1，2,3,4,5D.2,4,6,16,32思路分析：可分为5组，每组10枚，采用系统抽样，所选的号码应该间隔相等且间隔为10.答案：B例2下列抽样实验中,最适宜用系统抽样法的是(）A.某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样B.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个入样C.从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个入样D.从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样思路分析：A中总体有明显层次，不适用系统抽样法；B中样本容量很小，适宜用简单随机抽样法中的随机数表法；D中总体数很小，故适宜用抽签法.只有C比较符合适用系统抽样法.答案：C方法归纳简单随机抽样适用于总体中的个体数较少时，系统抽样适用于总体元素个数较多的抽样.知识点二系统抽样的抽样方法与过程例3为了了解济南市高一学生实行新课标后期末考试数学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本.请用系统抽样法写出抽样的过程.思路分析：由于总体容量恰能被样本容量整除，所以分段间隔k==100；以下按系统抽样的4个步骤抽取样本。解：用系统抽样法抽取样本的过程如下：①对全体学生的数学成绩进行编号：1，2,3，…,15000；②分段:由于样本容量与总体容量的比是1∶100，所以我们可将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体；③在第一部分，即1号到100号中用简单随机抽样，抽取一个号码,比如是56；④以56作为起始数，然后顺次抽取156，256，356，…,14956.这样就得到容量为150的一个样本.方法归纳从上面的分析，可以发现系统抽样有以下特点：（1）适用于个体数较多，但均衡的总体；(2)系统抽样与简单随机抽样的联系在于:在总体均分后的每一部分进行抽样时，采用的是简单随机抽样；（3)在整个抽样过程中，每个个体被抽取的几率都是.例4海滨中学有职工1021人，其中管理人员20人。现从中抽取非管理人员40人,管理人员4人组成代表队参加某项活动.你认为应如何抽样?思路分析：由于样本来自不同层次，所以适宜分别用不同的抽样方法。从1001名非管理人员中抽取40人，适宜用系统抽样法；从20名管理人员中抽取4人，适宜用抽签法。解:首先在1001名非管理人员中抽取40人，用系统抽样法抽样过程如下：第一步:将1001名职工用随机方式编号；第二步：从总体中剔除1人，将剩下的1000名职工重新编号(分别为001，002，…，1000），并分成40段，每段25人;第三步：在第一段001,002，…，025这25个编号中,用简单随机抽样法抽出一个(如003）作为起始号码；第四步：将编号为003，028，053，…，978的个体抽出.然后再从20人中，抽取4人，用抽签法，其操作过程如下：第一步：将20名管理人员用随机方式编号，编号为01，02，…，20；第二步：将这20个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步：把得到的号签放入一个不透明的盒子里,充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取4个号签，并记录上面的编号；第五步:从总体中将与抽到的号签的编号相一致的个体取出。由以上两类方法得到的个体便是代表队队员.方法归纳（1)系统抽样比简单随机抽样更容易实施，可节约抽样成本.(2）系统抽样所得到的样本的代表性和具体的编号有关;而简单随机抽样抽取的样本的代表性与个体的编号无关。如果编号的个体特征随编号的变化呈现一定的周期性，可能会使系统抽样的代表性很差.例如，如果学号按照男生单号女生双号的方法编排，那么用系统抽样的方法抽取的样本就会是全部为男生或全部为女生,因此在编号时一定要采用随机编号。（3）从对总体的代表性看，系统抽样方法的第一段是简单随机抽取,而以后为等距离抽取，不如简单随机抽样中所有个体都是相互独立的被选机会那样有更强的代表性；但从抽取个体在总体中分布的均匀看，系统抽样的个体比简单随机抽样在总体中的分布更均匀，即从不同角度,两种方法各有优越性.由此可见，采用系统抽样法抽取样本，与用简单随机抽样法抽取样本相比虽不能提高样本的代表性,但抽样过程操作起来方便很多.问题·探究交流讨论探究问题在系统抽样的过程中，哪些因素容易使抽取的样本不具有代表性?该怎样避免此类偏差的产生呢？探究过程：人物甲：我们在研究咱们班同学身高的时候发现了这样一个问题，由于我们班每排有8个人，我们采用系统抽样的时候抽样距是8，结果我们计算结果总是不太合乎常理，后来我们发现主要是由于抽样距规定的恰好与每排的人数相同,这样我们在抽取的样本很容易偏高或偏低，所以我们的结果误差较大。人物乙：我也想到一种情况:比如我们想了解某一时刻公交车上的人数,若我们选择的每隔7天抽样一次的话，可能也会产生较大的误差,因为一周有7天，这样做的话就不能合理地调查一周当中其他时间的乘车人数，所以不准确。人物丙：若个体的编号是按某种顺序进行编排的，那么再利用系统抽样的方法进行抽样时，就很可能产生偏高或偏低的情况,这样统计的结果是不准确的，因为这样所抽取的样本已不能很好地代表总体的水平.