2024-2025学年重庆市南岸区广益中学高二（上）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市南岸区广益中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线3x+3y−1=0的倾斜角为(

)A.π6 B.π3 C.2π32.已知直线l1：(a−1)x+y+1=0，l2：2ax+y+3=0，若l1//lA.−1或1 B.0或1 C.1 D.−13.设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是(

)A.e1与e1−e2 B.e1+e2与e14.已知空间直角坐标系O−xyz中的点A(2,−1,−3)关于xOy平面的对称点为B，则|AB|的值为(

)A.14 B.4 C.6 D.5.如图，四棱锥P−OABC的底面是矩形，设OA=a，OC=b，OP=c，E是棱PC上一点，且PE=2EC，则BEA.1

B.−1

C.−13

6.直线l的方向向量为l，平面α与β的法向量分别为m，n，则下列选项正确的是(

)A.若l⊥α，则l⋅m=0 B.若l//β，则l=kn

C.若α⊥β，则m⋅7.已知向量a=(3,−2,−3)，b=(−2,x−1,2)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(

)A.(−5,+∞) B.(−5,73)∪(73,+∞)8.若θ∈R，则直线y=xcosθ−1的倾斜角α的取值范围为(

)A.[π4,3π4] B.[0,二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应

B.倾斜角为135°的直线的斜率为1

C.一条直线的倾斜角为α，则其斜率为k=tanα

D.直线斜率的取值范围是(−∞,+∞)10.如图所示，ABCD−A1B1CA.AC1⊥平面CB1D1

B.直线B1C与BD所成的角为60°

C.二面角C−11.在三维空间中，a×b叫作向量a与b的外积，它是一个向量，且满足下列两个条件：

①a⊥(a×b)，b⊥(a×b)，且a，b，a×b三个向量构成右手系(A.|AB1×AC|=|AD1×DB|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.如图所示，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l1⊥13.已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(2,−1)的直线l与线段AB有公共点，则l的斜率的取值范围为______．14.空间直角坐标系xOy中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0，过点P(x0,y四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知：a=(x,4,1)，b=(−2,y,−1)，c=(3,−2,z)，a//b，b⊥c，求：

(1)a，b，16.(本小题12分)

如图，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD=AB=2，M，N分别为AB，PC的中点，求证：

(1)MN//平面PAD；

(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值．17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，AB//CD，且CD=2AB=2，BC=22,∠ABC=90°，M为BC的中点．

(1)求证：平面PDM⊥平面PAM；

(2)若二面角P−DM−A为30°，求直线PC与平面PDM18.(本小题12分)

如图，在三棱锥A−BCD中，△BCD是边长为2的等边三角形，AB=AC，O是BC的中点，OA⊥CD．

(1)证明：平面ABC⊥平面BCD；

(2)若E是棱AC上的一点，从①CE=2EA；②二面角E−BD−C大小为60°；③A−BCD的体积为3，这三个论断中选取两个作为条件，证明另外一个成立．19.(本小题12分)

如图2，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD的对角线互相平分，AC∩BD=O；在直角边长为2的等腰直角△ADB中，∠ADB=90°；在等腰直角△PDB中，∠BPD=90°，M为PD的中点，PO⊥AC．

(1)求证：OM//平面BCP；

(2)求二面角C−BP−A的正弦值．

参考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.B

6.C

7.B

8.C

9.AD

10.AB

11.ACD

12.−13.(−∞,−1]∪[3,+∞)

14.215.解：(1)∵a∴x解得x=2，y=−4，故a=(2,4,1)，b又因为b⊥c，所以b⋅c=0故c(2)由(1)可得a+c=(5,2,3)设向量a+c与b+则cos

16.(1)证明：取PD中点Q，连接AQ，QN，则QN//DC，QN=12DC，

又因为AM//DC，AM=12DC，所以四边形AMNQ为平行四边形，

所以MN/​/AQ，因为MN⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，

所以MN/​/平面PAD；

(2)解：建立空间直角坐标系如图，因为PA=AD=AB=2，

所以P(0,0,2)，D(0,2,0)，M(1,0,0)，C(2,2,0)，PD=(0,2,−2)，PM=(1,0,−2)，PC=(2,2,−2)．

设平面PMC法向量为：n=(x,y,z)，

则n⋅PC=0，n⋅PM=0，解得x=2z，y=−z，令z=1，

17.(1)证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB=1，CD=2，BM=CM=2，

可得AM2=3，DM2=6，

过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE=1，AE=22，求得AD2=9，

则AD2=AM2+DM2，∴DM⊥AM．

∵PA⊥面ABCD，∴DM⊥PA，

又PA∩AM=A，∴DM⊥平面PAM，

∵DM⊂平面PDM，∴平面PDM⊥平面PAM；

(2)解：由(1)知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P−DM−A的平面角为30°，

则PA=AM⋅tan30°=1．

以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,1)，D(22,−1,0)，C(22,1,0)，M(2,1,0)，

18.证明：(1)因为AB=AC，O是BC的中点，

所以OA⊥BC，又因为OA⊥CD，

所以OA⊥平面BCD，

因为OA⊂平面ABC，

所以平面ABC⊥平面BCD．

(2)连接OD，又因为△BCD是边长为2的等边三角形，

所以DO⊥BC，由(1)知OA⊥平面BCD，所以AO，BC，

DO两两互相垂直．以O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系．

设|OA|=m，则O(0,0,0)，A(0,0,m)，B(1,0,0)，C(−1,0,0)，D(0,3,0)，

若选①②作为条件，证明③成立．

因为CE=2EA，所以E(−13,0,2m3)，易知平面BCD的法向量为n=(0,0,1)，

BE=(−43,0,2m3)，BD=(−1,3,0)，

设m=(x,y,z)是平面BDE的法向量，

则m⋅BE=0m⋅BD=0，所以y=3x3z=2xm，可取m=(1,33,2m)，

由二面角E−BD−C大小为60°可得cosθ=m⋅n|m|×|n|=2m1+13+4m2=12，解得m=3，

所以A−BCD的体积为13×2×3×12×3=3．

若选①③作为条件，证明②成立．

因为A−BCD的体积为3，所以13×2×3×12×|OA|=3，解得|OA|=3，

又因为CE=2EA，所以E(−13,0,2)，易知平面BCD的法向量为n=(0,0,1)19.解：(1)证明：∵四边形ABCD的对角线互相平分，AC∩BD=O，

∴O为BD的中点，

又M为PD的中点，

∴OM//PB，

∵OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，

∴OM//平面PBC；

(2)∵在等腰直角△PDB中，又O为BD的中点，

∴PO⊥BD，

又PO⊥AC，AC∩BD=O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD，

以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD=BD=2，AD⊥BD，

∴BC⊥BD，BC=2，AB=CD=22，

∵PB⊥P