广东省八校2025届高三上学期9月联合检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东省八校2025届高三上学期9月联合检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为(

)A.50 B.53 C.57 D.452.已知集合A={x|−27<x3<8}，B={x||x−2|≤3,x∈Z}，则A∩B=A.−1,0 B.0,1 C.−1,0,1 D.0,1,23.已知向量a=−1,2，b=3,λ，若a+2b与2A.−23 B.23 C.64.已知函数f(x)=sinx(x2A.−2 B.−1 C.0 D.25.已知曲线y=exax−lnx在点1,ae处的切线方程为y=kxA.−1 B.0 C.1 D.e6.已知函数fx=32sinωx+1A.23,56 B.23,7.已知抛物线C：y ​2=8x，圆F：(x−2)2+y ​2=4，直线l：y=k(x−2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M ​A.|M ​1M 3|·|M ​2M8.已知函数f(x)是定义域为R的函数，f(2+x)+f(−x)=0，对任意x1，x2∈[1,+∞)，(x1<x2)，均有f(x2)−f(x1)>0，已知A.(−2,2) B.(−2,0) C.(0,1) D.(1,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=a−ia∈R，且6iz的虚部为3，则(

)A.a=1 B.3z=22

C.z+2⋅10.欧拉函数φnn∈N∗的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：φ3=2A.φ4⋅φ6=φ8 B.当n为奇数时，φn=n−1

C.数列φ2n11.已知双曲线E:x2−y23=1的左、右焦点分别为F1、F2，过点C(1,32)的直线A.当点C为线段PQ的中点时，直线l的斜率为3

B.若A(−1,0)，则∠QF2A=2∠QAF2

C.|PF1|·|PF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x−ax2)5的展开式中的常数项是13.中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图(1)为俯视图，图(2)为立体切面图．E对应的是正四棱台中间位置的长方体，B,D,H,F对应四个三棱柱，A,C,I,G对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为

．

14.随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体(如图)的各面写上0∼9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，这样就得到一个产生0∼9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为

．

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记▵ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=125(1)求sinA+(2)若▵ABC的面积为5123，求16.(本小题12分)已知函数fx=e(1)当a>−2时，研究fx(2)若a≥0，当x=x1时，函数fx有极大值m；当x=x2时，fx17.(本小题12分)如图，四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，AB=PC=2，M,N分别为

(1)证明：MN⊥平面PAC；(2)求二面角C−PB−D的正弦值．18.(本小题12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，点O为坐标原点，线段(1)求C的方程；(2)设点E在直线x=4上，过F作EF的垂线交椭圆C于M,N两点．记▵MOE与▵NOE面积分别为S1,S219.(本小题12分)某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为12，被感染的白鼠数用随机变量X(1)若PX=5=PX=95(2)接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率p与参数θ0<θ<1的取值有关.团队A提出函数模型为p=ln1+θ−23θ2，团队B提出函数模型为p=121−e−θ.现将

(i)试写出事件“X1=x1,X2(ⅱ)在统计学中，若参数θ=θ0时使得概率PX1=x1,X2=x2,⋅⋅⋅,X10=x10参考答案1.A

2.C

3.D

4.A

5.D

6.B

7.C

8.D

9.AC

10.ACD

11.BCD

12.−2

13.28

14.120或0.0515.(1)根据题意由余弦定理可得b2又B=π3可得cosB=所以a+c2=b由正弦定理可得sinA+(2)易知S▵ABC解得b2=4，即由(1)中a+c=32b所以▵ABC的周长为a+b+c=5．

16.(1)易知函数fx的定义域为x∈R，则f′又因为a>−2，所以当x∈−2,a时，f′当x∈−∞,−2或x∈a,+∞时，因此可得fx在−2,a上单调递减，在−∞,−2(2)若a≥0，由(1)可知fx在x=−2处取得极大值，在x=a所以m=f−2即m−n=e设函数ga=ae所以ga在0,+∞上单调递增，所以g即m−n的取值范围为4e

17.(1)连接AC,BD，如下图所示：

由PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，可得PC⊥BD，又因为底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，显然PC∩AC=C,PC,AC⊂平面PAC，因此BD⊥平面PAC，又M,N分别为PD,PB的中点，所以MN⁄⁄BD；即MN⊥平面PAC；(2)记AC,BD的交点为O，取AP的中点为E，连接OE，易知OE⁄⁄PC，由(1)可得OE⊥平面ABCD；又AC,BD⊂平面ABCD，所以OE⊥AC,OE⊥BD，因为AC⊥BD，所以AC,BD,OE两两垂直；以O为坐标原点，以AC,BD,OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系；

又∠BAD=60∘，AB=PC=2，所以则C−所以CP=设平面CPB的一个法向量为m=可得m⋅CP=2z1=0m即m=1,−设平面PBD的一个法向量为n=可得n⋅BD=−2y2=0n即n=2,0,可得cosm设二面角C−PB−D为θ，可得sinθ=所以二面角C−PB−D的正弦值为42

18.(1)设F(c,0)，则c=a2−b2，由线段OA所以a2−b由Aa,0,B0,b得直线AB所以点F到直线AB的距离为bc−ab所以b=椭圆C的方程为x2(2)设E4,t,Mx1,则x0由(1)知F(1,0)，直线EF的斜率k1当t≠0时，直线MN的斜率k2因为点M,N在椭圆C上，所以x1整理得x1又x0所以y0x0=t因为直线OE的斜率为kOE所以O,G,E三点共线，即直线OE过线段MN的中点G，当t=0时，直线OE也过线段MN的中点G，所以M,N到直线OE的距离相等，即▵OME与▵ONE等底等高．所以S1

19.(1)由题知，随机变量X服从二项分布，X∼Bn,由PX=5即Cn得n=100，所以EX(2)(i)A=“X1