2024-2025学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省娄底市涟源市部分学校高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是(

)A.零向量没有方向

B.空间向量不可以平行移动

C.如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D.同向且等长的有向线段表示同一向量2.设复数z=i(i−1)，则|z|=(

)A.12 B.22 C.13.已知a=(2,3,−1)，b=(2,0,4)，c=(−4,−6,2)，则下列结论正确的是A.b//c B.a//b C.4.两平面α，β的法向量分别为u=(3,−1,z)，v=(−2,−y,1)，若α⊥β，则y+z的值是(    )．A.−3 B.6 C.−6 D.−125.学校开展学生对食堂满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生550人，高二年级有学生500人，高三年级有学生450人．现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人调查，则抽取的高二年级学生人数为(

)A.18 B.20 C.22 D.246.如图：在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1A.−12a+12b+c7.已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知二面角α−l−β中，平面α的一个法向量为n1=(32,12,A.余弦值为32 B.正弦值为12 C.大小为60° 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题是真命题的有(

)A.A，B，M，N是空间四点，若BA,BM,BN能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面

B.直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，直线m的方向向量为b=(2,1,−12)，则l与m垂直

C.直线l的方向向量为a=(0,1,−1)，平面α的法向量为n=(1,−1,−1)，则10.在空间直角坐标系Oxyz中，A(2,0,0)，B(1,1,−2)，C(2,3,1)，则(

)A.AB⋅BC=−5

B.|AC|=23

C.异面直线OB与AC所成角的余弦值为1511.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，P为棱A.存在点P，使D1P⊥AC1

B.存在点P，使PE=D1E

C.四面体EPC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(2,4,5),b=(4,x,y)，分别是直线l1、l2的方向向量，若l113.已知AB=(2,3,1)，AC=(4,5,3)，那么向量BC=

14.若a,b,c为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则|四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知向量a=(2,−1,2),b=(1,4,1)．

(1)求a+b,a−b,|216.(本小题12分)

已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，若F为C1C的中点，则

(1)求直线BB1与直线17.(本小题12分)

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b+a)(sinB−sinA)=c(sinC−sinA)．

(1)求B；

(2)若b=2，△ABC的面积为3，求△ABC的周长．18.(本小题12分)在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=2，四边形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC=4，M为PC中点，E在线段BC上，且BE=1．

(1)求证：DM//平面PAB；(2)求直线PB与平面PDE所成角的正弦值；(3)求点E到PD的距离．19.(本小题12分)如图所示，在三棱锥P−ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．(1)证明：BC⊥平面PAB；(2)若PA=AB=6，BC=3，在线段PC上(不含端点)，是否存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为105，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．参考答案1.D

2.D

3.C

4.B

5.B

6.B

7.B

8.B

9.BD

10.AC

11.AB

12.18

13.(2,2,2)

14.2115.解：(1)因为向量a=(2,−1,2),b=(1,4,1)．

由空间向量的坐标运算法则可知：

a+b=(2,−1,2)+(1,4,1)=(3,3,3)，

a−b=(1,−5,1)，|2a|=222+(−1)2+22=6．

(2)设a−b与a+2b的夹角为θ16.(1)解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1//CC1，

所以直线BB1与直线DF的夹角，

即直线CC1与直线DF的夹角，即为∠DFC，

在Rt△DCF中，DC=2，CF=1，

所以DF=5，则cos∠DFC=CFDF=15=55，

所以直线BB1与直线DF的夹角的余弦值为55；

(2)证明：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

取BD的中点O，连接A1O，FO，A1F，A1C1，

易得A1B=A1D=22，FB=FD=5，

所以A1O⊥BD，FO⊥BD，

又A1O⊂平面A1BD，17.解：(1)因为(b+a)(sinB−sinA)=c(sinC−sinA)，

由正弦定理可得(b+a)(b−a)=c(c−a)，

整理可得b2=a2+c2−ac，

而由正弦定理可得b2=a2+c2−2accosB，

所以cosB=12，B∈(0,π)，

解得B=π3；

(2)由(1)及S△ABC=12acsinB=12ac⋅18.解：(1)如图，取

BC

中点

F

，连接

MF,DF

因为

F

为

BC

中点，

BC//AD

，

AD=AB=2

，

BC=4

，所以

BF=AD

，

BF//AD所以四边形

ABFD

为平行四边形，所以

AB//DF

，又

DF⊄

平面

PAB

，

AB⊂

平面

PAB

，所以

DF//

平面

PAB

，因为

F

为

BC

中点，

M

为

PC

中点，则

MF//PB

，又

MF⊄

平面

PAB

，

PB⊂

平面

PAB

，所以

MF//

平面

PAB

，因为

MF∩DF=F,MF,DF⊂

平面

MDF

，所以平面

MDF//

平面

PAB

，又

DM⊂

平面

MDF

，故

DM//

平面

PAB

．(2)

根据题意，分别以

AB,AD,AP

所在直线为

x,y,z

轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，

A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),E(2,1,0)

，则

PB=(2,0,−2),PD设平面

PDE

的法向量为

n=(x,y,z)

则

PD⋅n=2y−2z=0PE⋅n取

y=2

，则

x=1,z=2

，所以平面

PDE

的一个法向量为

n=(1,2,2)

设直线PB与平面

PDE

所成角为

θ

，则

sin θ=|cos所以直线PB与平面

PDE

所成角的正弦值为

26(3)由(2)可知，

PD=(0,2,−2),PE所以点

E

到PD的距离为

(PE

19.(1)证明：过点A作AE⊥PB于点E，

因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC=PB，AE⊂平面PAB，

所以AE⊥平面PBC，

又BC⊂平面PBC，

所以AE⊥BC，

又PA⊥平面ABC，BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC，

又因为AE∩PA=A，AE，PA⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB．

(2)解：假设在线段PC上(不含端点)，存在点D，使得二面角B−AD−C的余弦值为105，

以B为原点，分别以BC、BA为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，

则A(0,6,0)，B(0,0,0)，C(3,0,0)，P(0,6,6)，

AC=(3,−6,0)，AP=(0,0,6)，PC=(3,−6,−6)，BA=(0,6,0)，

设平面ACD的一个法向量为m=(x,y,z)，